Logaritmos y exponenciales:
la pregunta y la respuesta
Hoy no vamos a memorizar reglas. Vamos a entender una sola idea y verla desde los dos lados. Al final de estos 60 minutos vas a poder despejar x en cualquier ecuación con logaritmos o exponenciales, y vas a saber por qué funciona cada paso.
Las dos líneas de arriba dicen exactamente lo mismo. Si eso te suena raro, esta clase es para ti.
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¿A qué edad ya viviste la mitad de tu vida?
No la mitad en años. La mitad en experiencia percibida.
Modelo: percepción acumulada de vida
Las dos cifras miden cosas distintas. Años transcurridos es cuánto del intervalo 4→80 ya pasó (la línea punteada gris, una recta). Percepción acumulada es cuánta experiencia de vida sientes que llevas según el modelo (la curva cian). Mueve el control y compara: la curva va siempre muy por delante de la recta.
¿Por qué un logaritmo y no una recta?
Un año no "pesa" igual toda la vida:
- A los 5 años, un año nuevo es 1/5 de todo lo que has vivido: 20% más de mundo.
- A los 40 años, ese mismo año es 1/40: apenas 2.5% más.
Si la novedad que aporta cada año es proporcional a 1/t, entonces lo acumulado crece como ln(t). Esa es la forma de la curva que ves a la izquierda.
Guárdate esta idea: cuando algo aporta cada vez menos, en proporción a 1/t, lo que se va acumulando toma la forma de un logaritmo. Volveremos a ella más adelante.
Antes de avanzar
Escribe tu apuesta en la libreta: ¿a qué edad la percepción acumulada llega al 50%? Es decir, ¿en qué año sientes que ya viviste la mitad de toda la experiencia de una vida de 80 años? El modelo empieza a contar a los 4 años, que es más o menos donde arrancan los recuerdos.
La mitad llega a los 17.9 años
No a los 42. Y la razón es puro logaritmo.
Paso 1 · Qué significa "la mitad"
La percepción va de P(4) = ln 4 hasta P(80) = ln 80. Estar a la mitad significa que ln t está justo en el punto medio de esos dos números:
Ojo: promediamos la percepción, no la edad. Por eso el promedio se hace del lado del logaritmo.
Paso 2 · Aplicamos la ley del producto
La ley ln A + ln B = ln(A·B) nos deja juntar los dos logaritmos en uno solo:
Paso 3 · Un medio delante de un log es una raíz
Porque k·ln M = ln(Mk), con k = ½ obtenemos ½·ln 320 = ln(3201/2) = ln√320:
Si dos logaritmos con la misma base son iguales, sus argumentos son iguales. Redondeando: 18 años.
Media aritmética (la intuitiva)
Sirve cuando lo que crece se suma en partes iguales.
Media geométrica (la correcta aquí)
Sirve cuando lo que crece se multiplica en lugar de sumarse. En las dos tarjetas de abajo está el porqué, con números.
Primero: qué significa "el logaritmo convierte productos en sumas"
Míralo con números redondos, en base 10:
Del lado de los números, multiplicas:
Del lado de los logaritmos, sumas:
Porque log(100)=2, log(1000)=3 y log(100 000)=5. La multiplicación de allá se volvió una suma acá. Esa es toda la magia del logaritmo, y es exactamente para lo que se inventó en 1614: convertir multiplicaciones difíciles en sumas fáciles.
Y por eso "la mitad" se vuelve una raíz cuadrada
Ir de 4 a 80 en escala logarítmica significa multiplicar por algo, no sumarle algo. Concretamente, de 4 a 80 multiplicas por 20, porque 80 / 4 = 20.
Entonces "estar a la mitad del camino" quiere decir: dar dos pasos iguales, cada uno multiplicando por el mismo factor r, y llegar exactamente a 80.
El punto de en medio es el primer paso: 4 × 4.47 = 17.89. Y si haces el álgebra en general, 4·r = 4·√(80/4) = √(42 · 80/4) = √(4 · 80) — la raíz del producto. La raíz cuadrada aparece porque partiste en dos pasos iguales, y dos pasos multiplicativos iguales son un cuadrado.
Comprobación: 4 → 17.89 → 80. Los dos saltos multiplican por 4.47. En cambio 4 → 42 → 80 tiene saltos de ×10.5 y ×1.9: no son iguales para nada.
Sí, esto se generaliza: en tercios sería raíz cúbica
La lógica es siempre la misma. Si quieres partir el recorrido de 4 a 80 en n pasos multiplicativos iguales:
En 2 pasos (mitades): r = √20 ≈ 4.47
4 → 17.9 → 80
En 3 pasos (tercios): r = ∛20 ≈ 2.71
4 → 10.9 → 29.5 → 80
Regla de bolsillo: en escala lineal partimos con divisiones; en escala logarítmica partimos con raíces. Dividir entre 2 el logaritmo es sacar raíz cuadrada al número; dividirlo entre 3 es sacar raíz cúbica. Siempre.
Tu intuición ya conocía este resultado, aunque nunca lo hubieras calculado: por eso un verano de la primaria se recuerda eterno y un semestre de prepa "se fue volando". Bajo este modelo, a los 18 ya recorriste la mitad de tu percepción total de vida, aunque apenas llevas el 18% de los años.
El video que se volvió viral en la prepa
7:00 a.m.: una persona vio el video. Cada hora, el número de personas que lo vieron se duplica. A las 5:00 p.m. lo vio la escuela completa: 1024 estudiantes.
Modelo: N(t) = 2t, con t = horas desde las 7:00 a.m.
La pregunta trampa
¿A qué hora la mitad de la escuela (512 personas) ya había visto el video?
Una sola hora antes del final. Durante 9 de las 10 horas, el video parecía "no estar pasando nada". Todo el crecimiento visible ocurrió en el último tramo.
Y ahora la pregunta que solo un logaritmo responde
¿A qué hora exactamente iban 100 personas?
Aquí no hay potencia exacta que adivinar: el logaritmo es la única herramienta que baja la incógnita del exponente. 6.64 horas después de las 7:00 a.m. ≈ 1:38 p.m.
¿Y cómo calculas log2(100) si la calculadora no tiene esa tecla?
La calculadora solo trae log (base 10) y ln (base e). Pero puedes llegar ahí con lo que ya sabes:
- Le pones nombre a lo que buscas: t = log2(100), que significa 2t = 100.
- Le aplicas ln a los dos lados: ln(2t) = ln(100).
- Un exponente dentro de un logaritmo puede bajar como factor: t · ln(2) = ln(100).
- Despejas dividiendo: t = ln(100) / ln(2) ≈ 4.605 / 0.693 ≈ 6.64.
A esa maniobra se le llama cambio de base, y la vemos con calma en unos minutos. Por ahora quédate con que esa división no salió de la nada: salió de despejar t.
Las dos historias son la misma función vista al revés
Te doy el exponente, te devuelvo el resultado
"Pasaron 9 horas" → 29 = 512 personas
Crece despacio y luego explota. La mitad llega al final (hora 9 de 10).
Te doy el resultado, te devuelvo el exponente
"Van 512 personas" → log2(512) = 9 horas
Explota y luego crece despacio. La mitad llega al principio (año 18 de 80).
La gráfica: reflejo perfecto sobre la recta y = x
Las coordenadas simplemente se intercambian. Eso es lo que significa "función inversa": lo que una hace, la otra deshace.
Lo que hay que leer en esa imagen
- ex nunca toca el eje x, pero se le acerca por la izquierda: por eso siempre da positivo.
- ln x nunca toca el eje y, pero se le acerca por abajo: por eso solo acepta entradas positivas.
- Uno pasa por (0, 1); el otro pasa por (1, 0). Coordenadas intercambiadas.
Esas dos rectas a las que las curvas se acercan cada vez más sin llegar a tocarlas nunca —el eje horizontal para ex y el eje vertical para ln x— se llaman asíntotas, y son el Tema 4 del curso. Hoy ya conoces dos ejemplos de carne y hueso.
Un logaritmo es un cazador de exponentes
a — la base
El número que se repite multiplicándose. Debe ser positivo y distinto de 1.
b — el argumento
El resultado que ya tienes. Debe ser estrictamente positivo.
c — el logaritmo
El exponente que buscabas. Puede ser cualquier número real: positivo, cero o negativo.
Pruébalo: arma la potencia y lee el logaritmo
Base a
a = 2
Exponente c
c = 3
Son la misma frase en dos idiomas. Mueve los controles y compruébalo con exponentes negativos también.
Por qué la base no puede ser 1
Si a = 1, entonces 1c = 1 para cualquier c. Preguntar log1(8) sería preguntar "¿a qué potencia elevo 1 para obtener 8?" — no existe respuesta. Y log1(1) tendría infinitas. Por eso se excluye.
Por qué la base no puede ser negativa
Con a = −2 las potencias no forman una curva: brincan de signo en signo.
(−2)1 = −2 · (−2)2 = 4 · (−2)3 = −8 · (−2)4 = 16
Y con exponentes fraccionarios simplemente no hay resultado: (−2)1/2 sería √(−2), que no existe entre los números reales. Lo mismo pasa con la mayoría de los exponentes decimales.
Así que con base negativa no tienes una función continua que asigne un resultado a cada exponente: tienes puntos sueltos saltando arriba y abajo, con huecos en medio. Y si no hay una curva completa, no hay forma de recorrerla al revés — que es justo lo que hace un logaritmo.
Traduce sin pensarlo: exponencial ⇄ logarítmica
El 80% de los errores con logaritmos desaparecen cuando esta traducción te sale automática. Practícala hasta que sea aburrida.
La regla del dedo
En loga(b) = c:
- La base se queda de base.
- El resultado c sube a exponente.
- El argumento b queda solo del otro lado.
Truco visual: la base y el resultado "se juntan" formando la potencia.
Generador de ejercicios
Marcador: 0 / 0
Por qué log(0) y log(−5) no existen
No es un capricho. Es que la pregunta literalmente no tiene respuesta.
log(−5) no existe
Traducido: "¿a qué potencia elevo 10 para obtener −5?"
102=100, 100=1, 10−3=0.001… Una base positiva jamás produce un resultado negativo. No hay exponente que sirva.
log(0) no existe
"¿a qué potencia elevo 10 para obtener 0?"
Puedes acercarte todo lo que quieras, pero nunca llegas a cero exacto: log(0.001) = −3, log(0.000001) = −6, y así para siempre. Entre más chico haces el argumento, más negativo se vuelve el resultado, sin fondo. La curva baja pegada al eje vertical sin tocarlo jamás: asíntota vertical en x = 0.
log(0.2) SÍ existe
Es negativo, y eso está perfectamente bien.
log(0.2) ≈ −0.699 porque 10−0.699 ≈ 0.2. Argumento negativo y resultado negativo son cosas distintas: lo prohibido es el argumento.
Dominio y rango · logaritmo
Dominio: (0, ∞) — solo entradas positivas.
Rango: (−∞, ∞) — cualquier salida.
Dominio y rango · exponencial
Dominio: (−∞, ∞) — cualquier entrada.
Rango: (0, ∞) — solo salidas positivas.
Nota que están intercambiados. Otra vez el espejo: el dominio de una es el rango de la otra.
Las tres bases que vas a ver toda tu vida
log(x)
Sin subíndice, en calculadora y en ciencias, casi siempre significa base 10.
Vive en: Richter, pH, decibeles, notación científica.
log2(x)
Cuenta cuántas veces puedes duplicar o partir a la mitad.
Vive en: poblaciones que se duplican, hojas de papel que se doblan, el juego de adivinar un número partiendo a la mitad.
ln(x)
El logaritmo natural, base e ≈ 2.71828.
Vive en: todo lo que crece o decae de forma continua. Y en todo el cálculo diferencial.
Cuidado con la calculadora
La tecla log es base 10. La tecla ln es base e. No hay tecla para base 2 ni para base 7 — para esas usarás el cambio de base, que vemos en un momento. Y si un libro escribe log sin subíndice, casi siempre se refiere a base 10; en cálculo avanzado a veces significa ln. Cuando haya duda, fíjate en el contexto o pregunta.
De dónde sale e: nadie lo inventó, apareció solo
Un banco imaginario te ofrece 100% de interés anual sobre 1 peso. La pregunta es cuántas veces al año te lo paga.
Capital final de $1 con 100% anual, capitalizado n veces
n = cuántas veces al año el banco te deposita los intereses. Si n = 1 te paga una sola vez, al final del año. Si n = 12 te paga cada mes, pero solo la doceava parte del interés: 100%/12 = 8.33% cada vez.
Por eso la fórmula tiene esa forma: en cada pago tu dinero se multiplica por (1 + 1/n) —lo que tenías, más su parte de interés— y eso ocurre n veces seguidas, así que se eleva a la n.
| Cada… | n | (1 + 1/n)n |
|---|
Lo que está pasando
Cada vez que partes el año en más pedazos, los intereses empiezan a generar intereses antes. Pero no crece sin límite: la ganancia extra se hace cada vez más pequeña y el total se estanca en un número:
Ese es e. El símbolo límn→∞ se lee "el valor al que se acerca la expresión cuando n crece sin parar". No es un número que alcances: es el número al que te aproximas cada vez más. Y e es irracional —decimales infinitos sin patrón— igual que π.
Otra cara del mismo número
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + … — sumando solo 8 términos ya obtienes 2.71827. Dos caminos completamente distintos, el mismo número.
¿Por qué le llamamos logaritmo natural?
Porque ex es la única exponencial que crece exactamente al ritmo de su propio tamaño.
Ritmo con el que arranca ax desde el punto (0, 1)
La recta punteada marca la dirección con la que la curva sale del punto (0, 1): qué tan inclinada arranca. Mueve la base y busca dónde ese ritmo vale exactamente 1.000. Vas a caer en 2.718…, y no es coincidencia: el ritmo de arranque siempre resulta ser ln(a).
Qué significa "crecer al ritmo de su tamaño"
Imagina dos poblaciones de bacterias. Una tiene 100 individuos y otra tiene 1000. Si cada bacteria se reproduce igual, la segunda produce diez veces más bacterias nuevas por minuto, simplemente porque hay diez veces más. Lo que crece depende de cuánto hay.
Para cualquier base, ese ritmo es la altura de la curva multiplicada por un factor fijo: ln(a). Con base 2 el factor es 0.693; con base 10 es 2.303. Es un número de conversión que arrastras a todas partes.
Con a = e ese factor vale exactamente 1 y desaparece: ex crece justo al 100% de lo que vale en cada momento. Ni más, ni menos. Por eso es la base "natural": es la que describe el crecimiento puro, sin factores de traducción encima.
Y encaja con la historia del banco
No es casualidad que el interés del 100% anual capitalizado continuamente diera exactamente e: "100% continuo" significa, palabra por palabra, crecer todo el tiempo al ritmo de lo que tienes. La tabla de la diapositiva anterior y esta gráfica están describiendo el mismo fenómeno desde dos ángulos.
Más adelante en el curso vas a aprender a calcular este "ritmo" con precisión para cualquier función, no solo para las exponenciales. Cuando llegue ese día, e va a ser tu mejor amiga: es la base que deja las cuentas limpias. Por eso los libros la usan por defecto.
Dónde te has topado con e sin saberlo
La regla es siempre la misma: cuando la velocidad con que algo cambia depende de cuánto hay de ese algo, aparece e. En cada fórmula, t es siempre el tiempo transcurrido.
Tu celular cargando
Q(t): carga acumulada al tiempo t · Qmáx: carga total que cabe · R: resistencia del circuito · C: capacitancia. El producto RC es el "tiempo característico": qué tan lento carga.
De 0 a 80% vuela; el último 20% tarda una eternidad. Lo verás otra vez en Física, Tema 5.
El café enfriándose
T(t): temperatura al tiempo t · Tamb: temperatura del cuarto · T0: temperatura inicial · k: qué tan rápido se enfría (depende de la taza y del material).
Entre más caliente está respecto al cuarto, más rápido pierde calor. Ley de enfriamiento de Newton.
Interés compuesto continuo
A: monto final · P: capital inicial (lo que metiste) · r: tasa anual en decimal (8% se escribe 0.08) · t: años.
La misma fórmula sirve para tus ahorros y para la deuda de una tarjeta. Con signos opuestos en tu vida.
Bacterias y virus
N(t): cuántos hay al tiempo t · N0: cuántos había al inicio · k: tasa de reproducción (positiva si crece).
Cada célula se divide sin importar cuántas haya: lo que crece depende de cuánto hay.
Carbono-14
m(t): masa radiactiva que queda · m0: masa inicial · λ (lambda): constante de desintegración del material. El signo menos indica que disminuye.
Para fechar un hueso o un códice hay que despejar t, y eso exige ln. Sin logaritmos no hay arqueología.
La campana de Gauss
x: qué tan lejos estás del promedio · y: qué tan frecuente es ese caso. Como x está al cuadrado, alejarse hacia cualquier lado da lo mismo: la curva es simétrica.
La forma de las calificaciones de un grupo, de las estaturas, de los errores de medición.
Y el cable de luz de tu calle
x: distancia horizontal desde el punto más bajo del cable · y: altura del cable en ese punto. Una cadena colgando entre dos postes no forma una parábola: forma una catenaria. Galileo se equivocó con esta y tardaron 50 años en corregirlo.
Cómo se "cancelan" entre sí (y por qué no es magia)
Nada se cancela de verdad. Lo que pasa es que una función deshace lo que hizo la otra.
ln(e5) = 5
Léelo como pregunta: "¿a qué potencia elevo e para obtener e5?"
La respuesta está escrita ahí mismo: a la 5. No hay nada que calcular. Vale para cualquier valor real de x: ln(ex) = x.
eln 7 = 7
ln 7 es, por definición, el exponente al que hay que elevar e para obtener 7.
Así que elevar e a ese exponente devuelve 7. Vale solo si x > 0, porque ln x ni siquiera existe fuera de ahí.
La máquina y la antimáquina
Escribe un número positivo y observa el viaje de ida y vuelta:
Esta es exactamente la maniobra que usarás para despejar x: aplicar la función inversa a los dos lados de la ecuación.
La regla de oro del despeje
Si la x está arriba (en un exponente), aplica ln a los dos lados para bajarla. Si la x está atrapada dentro de un logaritmo, eleva la base a los dos lados para liberarla. Es una sola idea con dos direcciones.
Las leyes de los logaritmos salen solas de las leyes de exponentes
En las tres demostraciones usamos el mismo truco: llamar p = logaM y q = logaN, lo que significa M = ap y N = aq.
Ley del producto
Por qué: M·N = ap·aq = ap+q. Si el resultado es a elevado a p+q, entonces su logaritmo es p+q. Multiplicar por dentro = sumar por fuera.
Ley del cociente
Por qué: M/N = ap/aq = ap−q. Dividir por dentro = restar por fuera. Es la misma ley con el signo cambiado.
Ley de la potencia
Por qué: Mk = (ap)k = apk. Es la más útil de las tres: es la que baja el exponente y te deja despejar.
loga(1) = 0
porque a0 = 1
loga(a) = 1
porque a1 = a
loga(ak) = k
la cancelación de siempre
loga(1/M) = −logaM
caso del cociente con M=1
Las tres leyes que NO existen
ln(A + B) ≠ ln A + ln B ·
ln(A)/ln(B) ≠ ln(A/B) ·
(ln A)2 ≠ 2·ln A
El logaritmo solo convierte productos en sumas. Nunca sumas en sumas. Las revisamos con números en la fase de retroalimentación.
Cambio de base: cómo calcular log7(300) sin tecla de base 7
La deducción, paso a paso
1. Ponle nombre a lo que buscas: sea x = loga(b).
2. Traduce a forma exponencial: ax = b.
3. Aplica ln a los dos lados: ln(ax) = ln(b).
4. Usa la ley de la potencia para bajar la x: x · ln(a) = ln(b).
5. Despeja dividiendo:
Funciona con cualquier base intermedia (ln, log, base 2…), siempre que uses la misma arriba y abajo. Regla mnemotécnica: "el de adentro arriba, el de abajo abajo".
Calculadora de logaritmo en cualquier base
Base a
Argumento b
Prueba mental rápida: log7(300) debe estar entre 2 y 3, porque 72=49 y 73=343. Y 300 está más cerca de 343. Siempre acota antes de calcular: así detectas errores de dedo en la calculadora.
Antes de despejar, hazte una sola pregunta
Está en el exponente
3x = 20
Aplica logaritmo a los dos lados y usa la ley de la potencia para bajarla.
Está dentro de un log
log2(x) = 5
Eleva la base a los dos lados para liberarla.
Está en la base
x5 = 32
Saca raíz. Aquí no necesitas logaritmos — confundir este caso es el error más común.
Y siempre, sin excepción, tres pasos previos
- Aísla la parte exponencial o logarítmica antes de atacarla. Nada de aplicar ln con sumas pegadas.
- Compacta a un solo logaritmo si hay varios, usando las leyes.
- Verifica el dominio al final: cualquier solución que meta un número ≤ 0 dentro de un log se descarta.
La x está en el exponente
1 · La exponencial ya está sola
No hay nada que sumar ni dividir antes. Podemos atacar directo.
2 · Aplico ln a los dos lados
ln(e2x) = ln(15)
Es legal porque si dos cantidades positivas son iguales, sus logaritmos también.
3 · ln y e se deshacen
2x = ln(15)
Aquí no usé ninguna ley nueva: ln(ealgo) = algo.
4 · Despejo como cualquier ecuación lineal
Verificación: e2(1.354) = e2.708 ≈ 15 ✓
1 · Aplico ln a los dos lados
ln(3x) = ln(20)
Podría usar log base 10 y el resultado sería idéntico. Uso ln por costumbre de cálculo.
2 · Bajo el exponente con la ley de la potencia
x · ln(3) = ln(20)
Este es el paso clave de todo el tema: ln(Mk) = k·ln M convierte un exponente en un factor que sí puedes mover.
3 · Divido entre ln(3)
Acota primero: 32=9 y 33=27, así que x debía caer entre 2 y 3, cerca de 3. ✓
Cuidado: ln20/ln3 no se simplifica a ln(20/3). Son cosas distintas: 2.727 vs 1.897.
1 · Aíslo la exponencial
5·2x = 80 → 2x = 16
Si aplicas ln antes de aislar, obtienes ln(5·2x+3) y no hay ley que lo abra: el logaritmo no reparte sobre sumas.
2 · ¿Es una potencia conocida?
16 = 24, así que 2x = 24
Cuando las bases coinciden, los exponentes deben coincidir. No hace falta calculadora.
3 · Respuesta
Si no fuera potencia exacta (por ejemplo 2x = 17), seguirías con x = ln17/ln2.
1 · Busco una base común
9 = 32 y 27 = 33
Cuando los dos lados se pueden escribir con la misma base, este camino es más limpio que meter logaritmos.
2 · Reescribo con potencia de potencia
(32)x = (33)x−1 → 32x = 33x−3
Ley de exponentes: (am)n = amn. Ojo con distribuir: 3(x−1) = 3x − 3.
3 · Igualo exponentes y resuelvo
2x = 3x − 3 → −x = −3
Verificación: 93 = 729 y 272 = 729 ✓
La x está atrapada dentro de un logaritmo
1 · Traduzco a forma exponencial
x − 3 = e2
Equivale a elevar e a los dos lados: eln(x−3) = e2, y del lado izquierdo se deshacen.
2 · Despejo
3 · Verifico el dominio
Necesito x − 3 > 0, es decir x > 3. Como 10.389 > 3, la solución es válida ✓
Con log2(x) = 5 sería idéntico: x = 25 = 32. Cambia la base, no el método.
1 · Misma base a los dos lados
Puedo igualar directamente los argumentos: 2x + 1 = x + 7
Por qué es legal: el logaritmo es inyectivo — nunca devuelve el mismo valor para dos entradas distintas. Si sus salidas coinciden, sus entradas coinciden.
2 · Resuelvo
3 · Verifico el dominio
2(6)+1 = 13 > 0 ✓ y 6+7 = 13 > 0 ✓ Solución válida.
1 · Compacto con la ley del producto
log3[x(x − 2)] = 1
Dos logaritmos sumados = un solo logaritmo del producto. Ahora hay una sola x atrapada.
2 · Forma exponencial
x(x − 2) = 31 = 3 → x2 − 2x − 3 = 0
3 · Factorizo
(x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 o x = −1
4 · Filtro por dominio ← el paso que todos olvidan
Con x = −1: quedaría log3(−1), que no existe. Se descarta.
Con x = 3: log3(3) + log3(1) = 1 + 0 = 1 ✓
A x = −1 se le llama solución extraña: es raíz de la ecuación algebraica que construimos, pero no de la ecuación original.
1 · Subo el coeficiente como exponente
ln(x2) = ln(36)
Ley de la potencia leída al revés: k·ln M = ln(Mk).
2 · Igualo argumentos
x2 = 36 → x = 6 o x = −6
3 · Filtro por dominio
La ecuación original tenía ln(x), que exige x > 0. Entonces x = −6 se descarta.
Detalle fino que vale oro: 2·ln(x) y ln(x2) no tienen el mismo dominio. El primero solo admite positivos; el segundo admite negativos también. Al reescribir, el dominio original manda.
Los tres casos que se ven raros (y no lo son)
1 · Reconozco la estructura
e2x = (ex)2, así que la ecuación es (ex)2 − 5(ex) + 6 = 0
Es una cuadrática donde la "variable" no es x, sino ex completo.
2 · Cambio de variable
Sea u = ex: u2 − 5u + 6 = 0 → (u−2)(u−3) = 0
Dar nombre a lo que se repite es una de las técnicas más poderosas del álgebra. Úsala también en integrales, más adelante.
3 · Regreso a x
ex = 2 → x = ln 2 ≈ 0.693
ex = 3 → x = ln 3 ≈ 1.099
Las dos son válidas: ex puede valer cualquier positivo. Si hubiera salido u = −1, se descartaría, porque una exponencial nunca da negativo.
1 · Identifico dónde está la x
Está en la base, no en el exponente. El exponente es un número conocido.
Comparación directa: en 5x = 32 la incógnita es el exponente → logaritmo. En x5 = 32 la incógnita es la base → raíz.
2 · Aplico la operación inversa correcta
x = 321/5 = 5√32 = 2
3 · Compara con su gemelo
x5 = 32 → x = 2
Raíz quinta
5x = 32 → x = ln32/ln5 ≈ 2.153
Logaritmo
Se parecen en el papel y no tienen nada que ver. Siempre pregúntate primero dónde está la x.
Inviertes tu dinero al 8% anual con capitalización continua. ¿En cuántos años se duplica?
1 · Traduzco "se duplica"
Significa A = 2P: 2P = P·e0.08t
2 · Divido entre P
2 = e0.08t
El capital inicial se cancela: el tiempo de duplicación no depende de cuánto dinero metas. Un resultado precioso y nada obvio.
3 · Aplico ln
ln 2 = 0.08t → t = ln2 / 0.08 ≈ 0.6931 / 0.08
4 · La versión de bolsillo
t ≈ 69 / (tasa en %) — la famosa "regla del 70". Ahora sabes de dónde sale: ln 2 ≈ 0.69.
Y del otro lado: una tarjeta de crédito al 45% anual duplica tu deuda en 69/45 ≈ 1.5 años. Es la misma matemática trabajando en tu contra.
Tres preguntas para discutir antes de responder
Regla: primero se ponen de acuerdo en el trío y justifican con palabras, no con cuentas. Después revelan.
Si duplicar tu dinero toma 8.66 años, ¿cuánto toma cuadruplicarlo?
¿17.3 años, más de 17.3, o menos?
Exactamente 17.32 años. Ni más ni menos.
Porque ln 4 = ln(2²) = 2·ln 2. Cuadruplicar es "duplicar dos veces", y el logaritmo convierte esa multiplicación en una suma de tiempos iguales. Cada duplicación cuesta lo mismo, sin importar desde qué cantidad partas.
Un sismo de magnitud 7 comparado con uno de magnitud 5: ¿cuántas veces más grande?
¿1.4 veces, 2 veces, 100 veces?
100 veces más amplitud de onda.
La escala de magnitud es logarítmica base 10: cada punto multiplica por 10 la amplitud, así que 107−5 = 102 = 100. En energía liberada la diferencia es de unas 1000 veces (31.62). Por eso el 7.1 de 2017 y el 8.2 del mismo año no son "casi iguales": una escala logarítmica comprime diferencias enormes en números pequeños.
¿Por qué log(0) no existe, pero ln(0.5) sí y da negativo?
Explíquenlo con la frase "¿a qué potencia elevo…?"
ln(0.5) ≈ −0.693 porque e−0.693 ≈ 0.5: un exponente negativo produce un número entre 0 y 1. Perfectamente posible.
Para log(0) tendrías que encontrar un exponente que dé cero exacto, y no existe: por más negativo que lo hagas, siempre te queda algo. El resultado puede ser negativo; el argumento no puede ser cero ni negativo.
Reto rápido: seis despejes, tres minutos
Resuélvelos en la libreta antes de abrir nada. Cada tarjeta abre primero cómo plantearlo y después la solución completa.
¿64 es potencia exacta de 4? Si sí, no necesitas calculadora.
64 = 43 → 4x = 43 → x = 3
La exponencial ya está sola. Aplica ln a los dos lados y recuerda que se cancela con e.
x + 1 = ln 10 → x = ln10 − 1 ≈ 2.3026 − 1 = 1.3026
La x está dentro del log: eleva la base. Un resultado negativo no significa que x sea negativa.
x = 5−2 = 1/25 = 0.04. Positiva y menor que 1, como debía ser.
Aquí no hay nada que despejar. Solo aplica la cancelación en cada término.
ln(e3) = 3 y eln4 = 4 → 7. Sin calculadora.
Compacta con la ley del producto, pasa a forma exponencial (base 10) y filtra por dominio.
log[x(x−3)] = 1 → x²−3x = 10 → (x−5)(x+2)=0. x = −2 se descarta (log de negativo). x = 5 ✓
7 no es potencia exacta de 2. Acota primero: la respuesta debe caer entre 2 y 3.
x = ln7/ln2 ≈ 1.9459/0.6931 ≈ 2.807. Y sí, cayó entre 2 y 3 ✓
Los seis tropiezos que casi todos cometemos
Marca verdadero o falso. Cada respuesta te muestra un contraejemplo numérico: la mejor defensa cuando dudes en un examen.
Marcador: 0 / 6
Cómo revisar tu propia respuesta sin preguntarle a nadie
Estos cinco filtros atrapan casi cualquier error antes de entregar.
1 · Sustituye la solución en la ecuación original
No en la que reescribiste a media hoja: en la original. Ahí es donde vive el dominio real del problema.
2 · Revisa que ningún log reciba un número ≤ 0
Si tu solución mete un cero o un negativo dentro de un logaritmo, esa raíz es extraña y se descarta. No la taches: escribe por qué la descartas, eso también se califica.
3 · Acota antes de calcular
Para 3x = 20: como 3²=9 y 3³=27, la respuesta va entre 2 y 3. Si la calculadora te da 27, apretaste algo mal.
4 · Verifica el signo con lógica, no con fórmula
Logaritmo de un número mayor que 1 → positivo. De un número entre 0 y 1 → negativo. Exponencial → siempre positiva, sin excepciones.
5 · Pregúntate si el resultado tiene sentido en el contexto
Si estás calculando años para duplicar una inversión y te sale −3, algo se invirtió. Si te sale 400, revisa la tasa.
¿Dónde estás parado ahorita?
Nadie ve esto más que tú. La única respuesta inútil es la que no es sincera.
"Sigo sin poder traducir log2(8) = 3 a forma exponencial."
Qué hacer hoy: vuelve a la diapositiva del traductor y haz 15 ejercicios seguidos. Solo eso. Es la base de todo lo demás y se domina en 20 minutos.
"Traduzco bien, pero me trabo cuando hay que usar las leyes o filtrar el dominio."
Qué hacer hoy: rehaz los casos 7 y 8 tapando la solución. Escribe la razón de cada paso al margen, con tus palabras.
"Resolví los seis del reto rápido y puedo explicar por qué funciona cada paso."
Qué hacer hoy: explícaselo a alguien del trío que marcó rojo. Enseñar es el examen de verdad — y ahí descubres los huecos que no sabías que tenías.
Tarea en ALEKS
Los temas de logaritmos, propiedades y ecuaciones exponenciales están habilitados hasta el domingo. ALEKS te va a dar la repetición que esta clase no alcanza a darte; esta clase te dio el porqué. Los dos juntos son el trato completo.
Por qué el mundo mide en escalas logarítmicas
Cuando algo varía por factores de millones, no puedes graficarlo en una recta. El logaritmo lo comprime para que quepa en la cabeza humana.
Sismos · Richter
Cada punto = 10× más amplitud. Un 8 no es "un poco peor" que un 7: es diez veces mayor y libera unas 32 veces más energía. En México eso no es dato de examen, es información de supervivencia.
pH
pH = −log[H⁺]. Refresco pH 3, agua pH 7: 10 000 veces más ácido el refresco. Ese signo negativo existe solo para que los números salgan bonitos.
Decibeles
Tus audífonos a 100 dB no son "un poco más fuertes" que 80 dB: son 100 veces más intensos. Por eso el daño auditivo llega antes de lo que parece.
Notas musicales
Una octava = duplicar la frecuencia. La escala musical es logarítmica base 2, y tu oído la percibe como pasos iguales. Nadie te lo dijo, pero tu oído sabe logaritmos.
Estrellas
La magnitud estelar es logarítmica y va al revés: entre más brillante, más pequeño el número. Herencia de los griegos, formalizada con logaritmos en el siglo XIX.
Percepción humana
Ley de Weber-Fechner: la sensación crece con el logaritmo del estímulo. Tus sentidos ya usaban esta función mucho antes de que Napier la escribiera. Y sí — también tu percepción del tiempo.
El truco de partir a la mitad
Piensa un número entre 1 y un millón. Te lo adivino en 20 preguntas.
Cada pregunta elimina la mitad de las opciones
Solo pregunto "¿es mayor que la mitad?". Con tu sí o tu no descarto la mitad y repito. El número de preguntas es exactamente log2 de las opciones, porque estoy contando cuántas veces puedo partir a la mitad antes de quedarme con una sola.
Por qué esto me importa en mi trabajo
En IBM diseño sistemas que buscan datos entre millones de registros. La diferencia entre revisarlos uno por uno y partir a la mitad es la diferencia entre una aplicación que responde al instante y una que se queda pensando media hora. Ese ahorro es puro logaritmo.
Y cuando grafico resultados donde unos valen 3 y otros valen 3 000 000, en escala normal los pequeños desaparecen. En escala logarítmica todos caben en la misma hoja y se pueden comparar. Es la misma compresión de la escala de Richter, aplicada a otra cosa.
No estudié logaritmos "por si acaso". Los uso porque son la herramienta que convierte lo que crece sin control en algo que se puede medir, comparar y decidir. Eso aplica igual en robótica, medicina, finanzas, música o política pública. Lo que cambia es el nombre de lo que estás midiendo.
Pensar en escalas es una forma de decidir mejor
Casi todas las decisiones importantes de tu vida no son lineales. Son exponenciales. Y el error de intuición es siempre el mismo: subestimamos lo que se multiplica.
A tu favor
Mejorar 1% diario durante un año: 1.01365 ≈ 37.8.
Treinta y ocho veces mejor. No por talento: por la estructura de lo que se compone. Y como en el video viral, durante meses vas a sentir que no pasa nada. La curva se ve plana justo antes de despegar.
En tu contra
Una tarjeta de crédito al 45% anual duplica la deuda en ≈ 1.5 años.
La misma matemática, el mismo ert, el signo cambiado. Saber leer esa curva es, muy en serio, una herramienta de libertad económica.
Y volviendo a los 17.89 años
Ese modelo no es una profecía ni una tragedia: es un modelo, con supuestos discutibles, y ustedes ya tienen las herramientas para cuestionarlo. Pero dice algo que vale la pena escuchar: la novedad es lo que hace que el tiempo se sienta largo.
Un año lleno de cosas que nunca habías hecho pesa más que cinco de rutina. Si la curva se aplana con la costumbre, la manera de estirarla es aprender algo difícil, ir a un lugar nuevo, hacer preguntas incómodas. Hoy, aprender por qué funciona un logaritmo —y no solo cómo se calcula— es exactamente ese tipo de año.
Lo que te llevas hoy
Si la x está dentro del log, sal con la base.
Y al final, siempre revisa el dominio.
Qué sigue en el curso
- Tema 10: funciones exponenciales y logarítmicas dentro del cálculo. Hoy ya sabes por qué la base e es la cómoda.
- Tema 11: técnicas que se apoyan en sacarle logaritmo a los dos lados para simplificar expresiones difíciles.
- Tema 12: modelos de crecimiento y decaimiento aplicados a problemas reales.
Para practicar esta semana
- ALEKS: módulo de propiedades de logaritmos y ecuaciones exponenciales.
- PhET · Plinko / Curve Fitting: phet.colorado.edu — visualiza cómo se ven los datos en escala logarítmica.
- Desmos: grafica y = ax con un deslizador para a y observa qué pasa al cruzar 2.718.
Tu tarea de una línea
Explícale a alguien de tu casa por qué un sismo de 8 no es un poco peor que uno de 7. Si logras que lo entienda, ya entendiste logaritmos.
Cálculo Diferencial · Clase extra · Prof. Eugenio Ramírez · Tecmilenio · Agosto 2026