Sesión 1 · Contextualizar
La app dice 4.2 km.
El taxímetro cobra 6.1 km.
Los dos números están bien. Miden cosas distintas.
Cuando pides un viaje en tu celular, la aplicación recibe dos pares de números: tu ubicación y tu destino. Con eso calcula la distancia en línea recta y estima cuánto vas a tardar.
El taxímetro, en cambio, mide la distancia por las calles: vueltas, retornos, sentidos únicos.
Hoy vamos a construir la fórmula que usa la app. Es la misma que usa un dron para decidir si le alcanza la batería, y la misma que usa un buscador de imágenes para decidir qué tan parecidas son dos fotos.
Pregunta para arrancar
¿La distancia por calles puede ser menor que la distancia en línea recta? ¿Alguna vez? ¿Por qué?
Anota tu respuesta en una hoja. La retomamos al cerrar la clase.
Sesión 1 · Contextualizar
Antes de medir: ubicar
Un sistema de coordenadas rectangulares son dos rectas perpendiculares numeradas. Se cortan en el origen.
- El horizontal es el eje x o eje de las abscisas: positivo a la derecha.
- El vertical es el eje y o eje de las ordenadas: positivo hacia arriba.
- Los ejes parten el plano en cuatro cuadrantes, numerados I, II, III y IV en sentido contrario a las manecillas del reloj, empezando arriba a la derecha.
| Cuadrante | Signos (x, y) |
|---|---|
| I | (+, +) |
| II | (−, +) |
| III | (−, −) |
| IV | (+, −) |
Da clic o arrastra sobre el plano para mover el punto.
Sesión 1 · Llevar a la práctica
Caso fácil: puntos alineados
Cuando dos puntos están alineados horizontal o verticalmente, comparten una coordenada. La distancia es simplemente la resta de la coordenada que no comparten.
A(2, 3) B(−3, 3)
Comparten la y = 3 → están sobre una recta horizontal.
d = |2 − (−3)| = 5
El valor absoluto importa: una distancia nunca es negativa. Si restas al revés obtienes −5, y −5 no es una longitud.
Y si no están alineados…
Traza dos líneas imaginarias paralelas a los ejes. Se forma un triángulo rectángulo donde el segmento que une los puntos es la hipotenusa.
Ya conoces la herramienta para eso: Pitágoras.
Sesión 1 · Llevar a la práctica
Construye tú la fórmula
Arrastra A y B. Observa qué pasa con los catetos cuando cruzas un eje.
Los catetos del triángulo son las diferencias de las coordenadas:
Sustituyendo en Pitágoras, con d como hipotenusa:
El cuadrado elimina el signo, así que aquí ya no hace falta escribir el valor absoluto: restar al derecho o al revés da el mismo resultado.
Sesión 1 · Práctica guiada
Un avión sale de K rumbo a L
El avión despega en K(−300, −200) y aterriza en L(400, 300), con las coordenadas en kilómetros. ¿Cuántos kilómetros recorrió?
Identifica cuál punto es (x₁, y₁) y cuál es (x₂, y₂). Aquí:
(x₁, y₁) = (−300, −200) (x₂, y₂) = (400, 300)
Calcula los catetos:
a = |x₁ − x₂| = |−300 − 400| = |−700| = 700
b = |y₁ − y₂| = |−200 − 300| = |−500| = 500
d = √(700² + 500²)
d = √(490 000 + 250 000)
d = √740 000
d = 860.2325… ≈ 860.23
El avión recorrió 860.23 km de K a L. Como el problema habla de kilómetros, la respuesta lleva unidades: un número solo no responde la pregunta.
Sesión 1 · Práctica independiente
Tu turno · 3 problemas
Trabaja en tríos. Diez minutos. Cada quien resuelve uno y se lo explica a los otros dos.
a = |−5 − 7| = 12 b = |2 − (−3)| = 5
d = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13
Salió exacto porque 5, 12 y 13 forman una terna pitagórica. La mayoría de los casos no son tan amables: ahí redondeas a dos decimales.
AB = √(3² + 4²) = √25 = 5
BC = √(4² + 3²) = √25 = 5
CA = √(7² + 1²) = √50 ≈ 7.07
Sí es isósceles: dos lados miden exactamente lo mismo. Fíjate que no necesitaste medir con regla ni transportador; los números de las coordenadas bastaron para clasificar la figura. Eso es geometría analítica.
Al origen: d = √(3² + 4²) = √25 = 5
A (7, 1): d = √((3−7)² + (4−1)²) = √(16 + 9) = √25 = 5
Está exactamente a la misma distancia de los dos. Todos los puntos que cumplen esa condición forman una recta: la mediatriz del segmento. Ese es un ejemplo de lugar geométrico, que es justo el nombre de este tema: el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición.
Sesión 1 · Activar el diálogo
Discutan en el grupo
Si en la fórmula cambio (x₁ − x₂) por (x₂ − x₁), ¿cambia la distancia? ¿Por qué el cuadrado "borra" el signo, y qué pasaría si en vez de elevar al cuadrado sumáramos los catetos tal cual? Prueben con dos puntos concretos antes de responder con palabras.
Volvamos al taxi: 4.2 km en línea recta contra 6.1 km cobrados. ¿Existe alguna ciudad, calle o situación donde el recorrido real sea menor que la línea recta? ¿Qué nos dice eso sobre lo que acabamos de calcular? Piensen qué significa que la línea recta sea un mínimo, no un promedio.
¿Pueden existir dos puntos distintos cuya distancia sea 0? ¿Y dos puntos distintos con la misma distancia al origen? Si la respuesta cambia entre las dos preguntas, ¿qué diferencia hay?
Sesión 1 · Retroalimentar
Los tres tropiezos de siempre
La raíz no se reparte entre los sumandos. Compruébalo con números fáciles: √(3² + 4²) = √25 = 5, pero 3 + 4 = 7. Si te da 7 sabes que sumaste catetos en lugar de aplicar Pitágoras.
✓ Primero suma los cuadrados, hasta el final saca la raíz.Al copiar coordenadas negativas es facilísimo perder un signo. Sustituye siempre entre paréntesis: (−300) − (400). Escribir los paréntesis te cuesta dos segundos y te ahorra el error más común de todo el tema.
✓ Sustituye con paréntesis, después simplifica.Si el problema habla de kilómetros, metros o cuadras, la respuesta lleva esa unidad. Un número sin unidad no responde la pregunta que te hicieron.
✓ 860.23 km recorridos de K a L.Salida rápida (3 min)
En media hoja: calcula la distancia entre (−2, −1) y (4, 7) y escribe una frase explicando de dónde sale el 10.
a = 6, b = 8, d = √100 = 10.
Sesión 1 · Anclar el propósito
Medir bien es decidir bien
La fórmula que dedujiste hoy se llama distancia euclidiana y es, literalmente, una de las operaciones más ejecutadas del mundo cada segundo:
- Un repartidor asignado al pedido más cercano recorre menos kilómetros: menos gasolina, menos tiempo, menos emisiones.
- En una ambulancia, elegir la base más cercana se mide en minutos de vida.
- En el software que desarrollo en IBM, comparar qué tan "parecidas" son dos cosas —dos fotos, dos usuarios, dos huellas— es exactamente esta fórmula, solo que con más de dos coordenadas.
Tu propósito
Detrás de esta fórmula hay una manera de pensar que te va a servir tengas la carrera que tengas: antes de opinar sobre una distancia, defínela. La app y el taxímetro no se contradecían; medían cosas distintas.
Muchas discusiones —en un equipo, en tu casa, en las noticias— no son desacuerdos sobre los datos, sino sobre qué se está midiendo.
Bitácora: escribe una situación de tu vida donde dos personas midan "lo mismo" de forma distinta.
Sesión 2 · Contextualizar
Un terreno, cuatro esquinas
y una cotización.
Una familia hereda un predio en las afueras de la ciudad. No es un rectángulo: es un cuadrilátero torcido, como casi todos los terrenos reales. Necesitan dos números para tomar decisiones:
- El perímetro, para cotizar la barda.
- El área, para saber cuánto vale y cuánto pagan de predial.
Con un GPS obtienen las coordenadas de las cuatro esquinas. Nada más. Con eso basta.
El reto de hoy
Dadas solo las coordenadas de las esquinas, calcular cuánto material se necesita y cuánta superficie hay adentro. Sin salir del salón y sin una sola cinta métrica.
Sesión 2 · Práctica guiada
Perímetro: sumar lados, uno por uno
El terreno tiene vértices en A(2, 2), B(−2, 3), C(−4, −2) y D(2, −3), en metros.
Cuatro: AB, BC, CD y DA. El perímetro es la suma de la longitud de todos los lados, así que hay que cerrar la figura regresando de D hasta A. Ese último lado es el que más se olvida.
Antes de calcular, revisa si algún lado tiene vértices alineados: ahí te ahorras la raíz. D(2, −3) y A(2, 2) comparten la x, así que ese lado sale con una simple resta.
| Lado | (x₁, y₁) | (x₂, y₂) | Operación | Longitud |
|---|---|---|---|---|
| AB | (2, 2) | (−2, 3) | √((2−(−2))² + (2−3)²) = √17 | 4.12 m |
| BC | (−2, 3) | (−4, −2) | √((−2−(−4))² + (3−(−2))²) = √29 | 5.39 m |
| CD | (−4, −2) | (2, −3) | √((−4−2)² + (−2−(−3))²) = √37 | 6.08 m |
| DA | (2, −3) | (2, 2) | Alineados en x: |−3 − 2| | 5 m |
P = 4.12 + 5.39 + 6.08 + 5 = 20.59 m
Si la barda cuesta $480 por metro lineal: 20.59 × 480 = $9,883.20. Ese es el número que la familia puede llevar a la ferretería.
Sesión 2 · Llevar a la práctica
Área, método 1: partir en triángulos
Un polígono cualquiera se puede rebanar en triángulos, y el área del triángulo ya la conoces: base por altura entre dos.
Para el polígono M(−1, 4), N(2, 1), P(−1, −2), Q(−3, 2), la diagonal MP lo parte en dos triángulos y además es vertical, lo que la vuelve una base cómoda.
b = |yM − yP| = |4 − (−2)| = 6
h₁ = |xM − xQ| = |−1 − (−3)| = 2
h₂ = |xM − xN| = |−1 − 2| = 3
AMQP = (6 · 2) / 2 = 6
AMNP = (6 · 3) / 2 = 9
Atotal = 6 + 9 = 15 u²
Arrastra los vértices. Perímetro y área se recalculan solos.
Sesión 2 · Llevar a la práctica
Área, método 2: el determinante
Partir en triángulos funciona, pero si el polígono tiene ocho lados se vuelve un martirio. Existe un atajo: acomodas las coordenadas en columna, repites el primer vértice hasta abajo y multiplicas en diagonal.
La última fila (en oro) es el primer vértice repetido.
↘ hacia abajo · suman ↗ hacia arriba · restan
Multiplica siguiendo cada flecha: las naranjas se suman, las mentas se restan. Repetir el primer vértice hasta abajo no es un capricho: es lo que cierra el polígono. Sin esa fila te faltaría un lado.
Triángulo A(4, 2), B(−2, −3), C(3, −4)
Diagonales hacia abajo:
(4)(−3) + (−2)(−4) + (3)(2) = −12 + 8 + 6 = 2
Diagonales hacia arriba:
(4)(−4) + (3)(−3) + (−2)(2) = −16 − 9 − 4 = −29
Área = ½ |2 − (−29)| = ½ (31) = 15.5 u²
El mismo polígono MNPQ, ahora con determinante
Abajo: (−1)(1) + (2)(−2) + (−1)(2) + (−3)(4) = −19
Arriba: (−1)(2) + (−3)(−2) + (−1)(1) + (2)(4) = 11
Área = ½ |−19 − 11| = ½ (30) = 15 u²
Mismo resultado que con triángulos. Dos caminos distintos que llegan al mismo lugar: eso es una buena señal de que ninguno está mal.
Sesión 2 · Práctica independiente
Tu turno · 3 problemas
Los catetos están sobre los ejes: miden 6 y 8.
Hipotenusa = √(36 + 64) = √100 = 10
Perímetro = 6 + 8 + 10 = 24 u
Área = (6 · 8) / 2 = 24 u²
Coinciden en el número, pero no son lo mismo: 24 unidades de longitud contra 24 unidades cuadradas. Es coincidencia de este triángulo, no una regla.
Abajo: (1)(1) + (5)(4) + (6)(5) + (2)(1) = 1 + 20 + 30 + 2 = 53
Arriba: (1)(5) + (2)(4) + (6)(1) + (5)(1) = 5 + 8 + 6 + 5 = 24
Área = ½ |53 − 24| = 14.5 u²
Como 1 unidad = 10 m, cada unidad cuadrada vale 10 × 10 = 100 m². Entonces el terreno mide 1,450 m². Cuidado con este paso: al cambiar de escala, el área se multiplica por el cuadrado del factor, no por el factor.
Abajo: (1)(6) + (3)(10) + (5)(2) = 6 + 30 + 10 = 46
Arriba: (1)(10) + (5)(6) + (3)(2) = 10 + 30 + 6 = 46
Área = ½ |46 − 46| = 0
El área da cero porque no hay triángulo: los tres puntos son colineales. El determinante no se equivocó, te está avisando algo. De hecho, esta es la forma más rápida de comprobar si tres puntos están sobre la misma recta, y la vas a volver a usar en el Tema 3.
Sesión 2 · Activar el diálogo
Discutan en el grupo
¿Por qué la fórmula del determinante lleva valor absoluto? Prueben a recorrer los vértices en el orden contrario y comparen. ¿Qué información se está perdiendo al poner esas barras?
Al recorrer los vértices al revés, cada producto que iba "hacia abajo" pasa a ir "hacia arriba": el resultado cambia de signo, no de tamaño.
M, N, P, Q → −19 − 11 = −30 → ½(−30) = −15
M, Q, P, N → +30 → ½(30) = +15
Un área no puede ser negativa, y por eso van las barras. Lo que se pierde ahí es el sentido del recorrido: con signo positivo los vértices van en contra de las manecillas del reloj, con signo negativo a favor. En MNPQ el signo salió negativo, o sea que los listamos en el sentido de las manecillas.
Ese signo no es basura: en gráficos por computadora sirve para saber qué cara de un polígono estamos viendo, y en el Tema 3 lo van a usar para decidir de qué lado de una recta cae un punto.
¿Qué pasa si listan los vértices en desorden, por ejemplo M, P, N, Q? Dibújenlo. ¿El resultado sigue siendo el área del terreno? ¿Qué figura están midiendo en realidad?
No, y el número que sale ni siquiera es un área. Con M(−1, 4), P(−1, −2), N(2, 1), Q(−3, 2):
Abajo: (−1)(−2) + (−1)(1) + (2)(2) + (−3)(4) = −7
Arriba: (4)(−1) + (−2)(2) + (1)(−3) + (2)(−1) = −13
Área = ½ |−7 − (−13)| = ½ (6) = 3 u²
Al dibujarlo se ve por qué: los lados MP y NQ se cruzan en (−1, 1.6) y el cuadrilátero se convierte en un moño, dos triángulos pegados de punta. Uno mide 5.4 u² y el otro 2.4 u², y como se recorren en sentidos opuestos el determinante los resta en vez de sumarlos: 5.4 − 2.4 = 3.
La regla que sale de aquí: los vértices se listan siguiendo el perímetro, todos en el mismo sentido. El determinante no valida el orden que le den, calcula obedientemente el área de la figura que ustedes describieron.
Dos terrenos tienen exactamente el mismo perímetro. ¿Tienen forzosamente la misma área? Si no, ¿cuál forma les daría más superficie por el mismo dinero de barda? Comparen un cuadrado de 5 × 5 con un rectángulo de 9 × 1.
No. El perímetro no determina el área: los dos terrenos de la pista cuestan lo mismo de bardar y no se parecen en superficie.
Cuadrado 5 × 5 → perímetro 20 u, área 25 u²
Rectángulo 9 × 1 → perímetro 20 u, área 9 u²
Casi el triple de terreno por la misma barda. Entre todos los rectángulos de un perímetro dado gana el cuadrado, y entre todas las figuras gana el círculo: con esos mismos 20 u de barda encerraría ≈ 31.8 u². Mientras más alargada es la figura, más barda gastan en encerrar menos superficie.
Conviene voltearlo al revés para la vida real: si lo que tienen fijo es el terreno, la forma más compacta es también la que menos barda necesita.
Sesión 2 · Retroalimentar
Dónde se cae la mayoría
Si el polígono tiene cuatro vértices, tiene cuatro lados. Calculaste AB, BC y CD y sentiste que ya acabaste, pero falta DA para cerrar la figura. Un truco: cuenta los lados antes de calcular y ponles nombre; después tacha cada uno conforme lo resuelvas.
✓ Cuatro vértices → cuatro distancias, siempre.El arreglo del determinante necesita que el primer renglón se copie al final. Si no lo haces, te falta una diagonal en cada dirección y el área sale mal sin que nada te avise.
✓ n vértices → n + 1 renglones en el arreglo.Longitud y superficie no son la misma magnitud. Si escribes "el área es 15 u", la respuesta está incompleta aunque el número sea correcto.
✓ Perímetro en u o m; área en u² o m².Salida rápida (3 min)
Calcula el área del triángulo (0, 0), (4, 0), (0, 3) con los dos métodos y escribe cuál te resultó más rápido y por qué.
Ambos dan 6 u².
Sesión 2 · Anclar el propósito
Quien mide el terreno pone el precio
Estas fórmulas no son un ejercicio escolar: son el corazón de oficios completos.
- Catastro y notarías: la superficie escriturada de un predio se calcula así. Un error en un vértice cambia el valor de una herencia.
- Agricultura de precisión: un dron delimita una parcela con GPS y calcula cuántos litros de fertilizante se necesitan.
- Videojuegos y gráficos: todo lo que ves en pantalla está hecho de triángulos, y su área se calcula con el determinante, millones de veces por segundo.
Tu propósito
Hoy resolviste el mismo problema por dos caminos distintos y llegaste al mismo número. Esa costumbre —verificar por otra vía antes de afirmar— es lo que separa a quien entrega trabajo confiable de quien entrega trabajo que hay que revisar.
Sirve para un plano, para una cuenta y para una noticia que te llega por mensaje.
Bitácora: ¿en qué decisión reciente te habría convenido comprobar por un segundo camino?
Sesión 3 · Contextualizar
¿Dónde nos vemos?
Dos camiones de paquetería salen el mismo día: uno de San Luis Potosí, otro de Querétaro. En lugar de que cada chofer haga el viaje completo, la empresa quiere que se encuentren a la mitad del camino, intercambien remolques y cada quien regrese a su ciudad esa misma noche.
Menos horas al volante, menos hoteles, choferes que duermen en su casa. Todo depende de calcular bien un punto.
Y una versión más difícil
¿Y si no quieres la mitad exacta? Por ejemplo, que un chofer haga un tercio del camino y el otro dos tercios, porque uno arranca más tarde.
Ese es el problema de dividir un segmento en una razón dada, y es lo segundo que vemos hoy.
Sesión 3 · Llevar a la práctica
El punto medio es un promedio
El punto medio divide un segmento en dos partes iguales. Su coordenada x es el promedio de las abscisas y su coordenada y es el promedio de las ordenadas. Nada más.
Cada unidad es un kilómetro medido desde un punto de referencia. No importa cuál sea ese punto: la fórmula del punto medio funciona igual, porque solo usa las coordenadas que ya tienes.
(x₁, y₁) = (−400, 200) (x₂, y₂) = (100, −300)
x = (−400 + 100) / 2 = −300 / 2 = −150
y = (200 + (−300)) / 2 = −100 / 2 = −50
Pm = (−150, −50)
Ahí se encuentran los camiones. Y una ventaja práctica de esta fórmula: puedes comprobarla a ojo en la gráfica. Si el punto que calculaste no cae visiblemente entre los dos extremos, algo salió mal en la aritmética.
Sesión 3 · Llevar a la práctica
Antes de la fórmula: ¿qué es una razón?
Una razón es una comparación entre dos cantidades hecha con una división. Al decir "tres de agua por uno de concentrado" ya diste una razón: 3 a 1, que se escribe 3:1 o 3/1. Ya las usas a diario:
- Agua de limón: 3 vasos de agua por 1 de concentrado → 3:1.
- Pantalla 16:9: el ancho comparado con el alto.
- Mapa 1:50 000: un centímetro de papel por 50 000 del mundo real.
Aquí las dos cantidades que comparamos son los dos pedazos en que un punto P parte el segmento AB: cuánto mide AP contra cuánto mide PB.
La idea que hay que traer siempre
Una razón compara un pedazo contra el otro pedazo, nunca contra el total. En 3:1 hay cuatro partes: el agua es 3 de 4, no 3 de 3. Por eso r = 1/2 significa "el primer pedazo mide la mitad de lo que mide el segundo", y no "la mitad del camino".
Reparte el camino SLP → Querétaro (707 km) en partes iguales y decide cuántas le toca conducir a cada chofer.
El punto medio aparece solo cuando las dos cantidades son iguales.
Sesión 3 · Llevar a la práctica
Del punto medio a la razón, en tres pasos
La fórmula de la razón no es una fórmula nueva que haya que memorizar aparte: es la del punto medio con una sola palabra cambiada. Vamos a construirla, para que no haya que creérsela.
Para ir de A a B avanzas x₂ − x₁ en x. El punto medio es avanzar la mitad de ese avance y parar ahí:
x = x₁ + ½(x₂ − x₁)
Desarrolla y aparece la fórmula de siempre:
x₁ + x₂/2 − x₁/2 = (x₁ + x₂)/2
Mismo resultado, otra manera de leerlo: arranca en A y avanza una fracción del camino. Esa lectura es la que nos va a llevar a la razón.
Si en lugar de ½ avanzas una fracción cualquiera t del camino:
x = x₁ + t(x₂ − x₁)
y = y₁ + t(y₂ − y₁)
Con t = 0 te quedas en A, con t = 1 llegas a B y con t = ½ caes en el punto medio. Esta es, literalmente, la fórmula con la que un editor de video calcula los cuadros intermedios de una animación.
El problema no te da t: te da r = AP/PB = a/b. Si AP mide a partes y PB mide b partes, el camino completo tiene a + b partes y tú avanzaste a de ellas:
t = a / (a + b) = r / (1 + r)
Sustituye ese t en el paso 2 y saca denominador común:
x = x₁ + [r/(1+r)]·(x₂ − x₁)
= [x₁(1+r) + r·x₂ − r·x₁] / (1+r)
= (x₁ + r·x₂) / (1 + r)
Ahí está, sin magia. Y el 1 + r del denominador no es un adorno: es el total de partes del camino, contado en tamaños de b.
Tabla de traducción, para tenerla a la vista mientras resuelves. Los errores de este subtema son casi siempre errores de esta tabla, no de aritmética.
| r | a : b | Partes | t | ¿Dónde cae P? |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 : 1 | — | 0 | en A |
| 1/3 | 1 : 3 | 4 | 1/4 | a ¼ de A |
| 1/2 | 1 : 2 | 3 | 1/3 | a ⅓ de A |
| 1 | 1 : 1 | 2 | 1/2 | punto medio |
| 2 | 2 : 1 | 3 | 2/3 | a ⅔ de A |
| 3 | 3 : 1 | 4 | 3/4 | a ¾ de A |
| r → ∞ | — | — | casi 1 | pegado a B |
Dos números que no son el mismo
r compara pedazo contra pedazo (AP contra PB). t compara un pedazo contra el total (AP contra AB). Confundirlos es el error número uno del subtema.
r = 1/2 → t = 1/3 · r = 1 → t = 1/2
Sesión 3 · Práctica guiada
La razón, en tres problemas reales
Cómo detectar la r en un enunciado
El paso difícil no es sustituir: es leer. Traduce primero, calcula después.
| Si el problema dice… | entonces |
|---|---|
| "a la mitad del camino" | r = 1 |
| "al doble de lejos de A que de B" | r = 2 |
| "tres veces más cerca de A" | r = 1/3 |
| "en la razón 2 a 3, desde A" | r = 2/3 |
| "a un tercio del camino desde A" | t = 1/3 → r = 1/2 |
Cuando el enunciado te da la fracción del camino t, conviértela con r = t / (1 − t).
El chofer de SLP(−400, 200) arranca tres horas más tarde, así que le toca conducir una parte del camino y al de Qro(100, −300) las otras dos. ¿Dónde intercambian remolques?
AP = 1 parte, PB = 2 partes → r = 1/2 → 3 partes → t = 1/3
x = (−400 + (1/2)(100)) / (3/2) = (−350)(2/3) = −233.33
y = (200 + (1/2)(−300)) / (3/2) = (50)(2/3) = 33.33
P = (−233.33, 33.33)
Comprobación con la fórmula de distancia de la sesión 1: AP = 235.7 km y PB = 471.4 km, y 235.7 / 471.4 = 0.5 ✓. El camino completo mide 707.1 km, así que el primer chofer hace un tercio de él.
En un videojuego un personaje va de A(2, 1) a B(10, 7) en 4 cuadros de animación. ¿Dónde está en cada cuadro? Aquí el enunciado te da t, no r, así que primero se traduce.
Cuadro 1: t = 1/4 → r = (1/4)/(3/4) = 1/3
x = (2 + (1/3)(10)) / (4/3) = (16/3)(3/4) = 4
y = (1 + (1/3)(7)) / (4/3) = (10/3)(3/4) = 2.5
Cuadro 2: t = 1/2 → r = 1 → (6, 4) ← el punto medio
Cuadro 3: t = 3/4 → r = 3 → (8, 5.5)
Mira la secuencia de r: 1/3, 1, 3. Avanza a pasos iguales por el camino, pero r no crece a pasos iguales: se dispara conforme P se acerca a B, porque el pedazo PB se va haciendo diminuto y está en el denominador.
Una tubería recta va del pozo A(2, 3) al tanque B(14, 9), en kilómetros. Por reglamento la válvula debe quedar al triple de lejos del pozo que del tanque. ¿En qué coordenadas se instala?
AP = 3·PB → r = 3 = 3/1 → 4 partes → t = 3/4
x = (2 + 3(14)) / (1 + 3) = 44/4 = 11
y = (3 + 3(9)) / 4 = 30/4 = 7.5
P = (11, 7.5)
Comprobación por avances: de A a P avanzas (9, 4.5); de P a B avanzas (3, 1.5). El primero es exactamente el triple del segundo ✓. Ese truco de comparar avances te sirve para revisar cualquier problema de razón sin volver a sacar raíces.
Sesión 3 · Llevar a la práctica
Cuando el reparto no es mitad y mitad
Cualquier punto P dentro del segmento AB lo parte en dos pedazos que no tienen que ser iguales. Comparamos sus longitudes con la razón:
Si r = a/b, el segmento queda dividido en a + b partes. Las coordenadas de P son:
Cuando r = 1, los dos pedazos miden lo mismo y la fórmula se convierte exactamente en la del punto medio. Compruébalo sustituyendo r = 1: te queda (x₁ + x₂)/2.
Mueve el deslizador y lee las cuatro cosas a la vez: la razón como a : b, en cuántas partes queda el camino, la fracción t que avanzaste y las longitudes reales de los dos pedazos. Las marquitas sobre el segmento son esas partes iguales, para que las puedas contar.
Sesión 3 · Práctica guiada
Ejemplo completo con r = 1/2
Divide el segmento AB en la razón r = 1/2, donde A(−1, 4) y B(2, 1).
r = a/b = 1/2 → a = 1, b = 2 → a + b = 3 partes
Entonces AP mide un tercio del segmento y PB mide dos tercios. Ojo con esto: r = 1/2 no significa "a la mitad". Significa que el primer pedazo es la mitad de largo que el segundo. Si quisieras la mitad exacta, r valdría 1.
x = (−1 + (1/2)(2)) / (1 + 1/2) = (−1 + 1) / (3/2) = 0 / (3/2) = 0
y = (4 + (1/2)(1)) / (1 + 1/2) = (4.5) / (1.5) = 3
P = (0, 3)
Verifica en la gráfica del interactivo: pon r en 0.5 y observa que P queda pegado a A, no en medio. La distancia de A a P es la mitad de la distancia de P a B.
Sesión 3 · Práctica independiente
Tu turno · 3 problemas
x = (−7 + 5) / 2 = −2 / 2 = −1
y = (3 + (−9)) / 2 = −6 / 2 = −3
Pm = (−1, −3)
Aquí la fórmula se usa al revés. Si 6 es el promedio de 2 y x₂, entonces (2 + x₂)/2 = 6.
2 + x₂ = 12 → x₂ = 10
−5 + y₂ = 2 → y₂ = 7
B = (10, 7)
Comprueba: el punto medio de (2, −5) y (10, 7) es ((2+10)/2, (−5+7)/2) = (6, 1). ✓ Una manera intuitiva de verlo: de A a M avanzaste 4 en x y 6 en y; para llegar a B repites exactamente ese avance.
1 + r = 1 + 2/3 = 5/3
x = (−2 + (2/3)(8)) / (5/3) = (−2 + 16/3) / (5/3) = (10/3) / (5/3) = 2
y = (1 + (2/3)(6)) / (5/3) = (1 + 4) / (5/3) = 5 · (3/5) = 3
P = (2, 3)
Verificación: de A(−2, 1) a P(2, 3) avanzas (4, 2). De P a B(8, 6) avanzas (6, 3). La razón entre esos avances es 4/6 = 2/3. ✓
Sesión 3 · Activar el diálogo
Discutan en el grupo
Sustituyan r = 1 en la fórmula de la razón y simplifiquen. ¿Qué obtienen? ¿Qué significa que una fórmula "contenga" a la otra como caso particular?
¿Qué punto obtienen con r = 0? ¿Y qué pasa con P conforme r crece muchísimo, digamos r = 100 o r = 1000? Usen el deslizador y describan hacia dónde se va P.
Si el punto P cayera fuera del segmento, prolongando la recta más allá de B, ¿la razón AP/PB seguiría siendo positiva? ¿Qué tendría que pasar con los signos? Piensen en la dirección del recorrido, no solo en la longitud.
Sesión 3 · Retroalimentar
Dónde se cae la mayoría
Es el error número uno de este tema. r = 1/2 divide el segmento en 3 partes, y P queda a un tercio de A. El punto medio corresponde a r = 1, porque ahí los dos pedazos miden lo mismo. Antes de sustituir, pregúntate: ¿en cuántas partes queda dividido? (a + b, no b).
✓ Punto medio ⟺ r = 1 ⟺ AP = PB.Casi siempre este error es confundir r (pedazo contra pedazo) con t (pedazo contra el total). Si el enunciado te habla de "un tercio del camino", eso es t, no r: conviértelo con r = t / (1 − t) antes de sustituir.
En la razón el orden sí importa: AP/PB no es lo mismo que BP/PA. Si cambias cuál punto es (x₁, y₁), obtienes otro punto P, igual de válido pero para otra pregunta. Marca A y B en tu dibujo antes de escribir la fórmula.
✓ (x₁, y₁) es siempre el punto desde donde se mide.El punto medio es un promedio, y un promedio se suma y se divide. Si restas, obtienes la diferencia entre las coordenadas, que es otra cosa: eso es un cateto, no una posición.
✓ Suma y divide entre 2. Si el resultado no cae entre los dos puntos en tu dibujo, revísalo.Salida rápida (3 min)
Encuentra el punto medio de (−3, 8) y (9, −2), y después el punto que divide ese segmento en razón r = 2.
Punto medio (3, 3); con r = 2: (5, 4/3) ≈ (5, 1.33).
Sesión 3 · Anclar el propósito
Repartir es una decisión, no solo una cuenta
La fórmula de hoy responde una pregunta que aparece en todos lados: ¿dónde ponemos el punto de encuentro?
- Dónde instalar una clínica para que quede accesible a dos comunidades.
- Cómo repartir el costo de un viaje entre quienes recorrieron distancias distintas.
- Cómo un editor de video calcula los cuadros intermedios entre dos posiciones de un objeto: exactamente esta fórmula, con r moviéndose de 0 a 1.
Tu propósito
Fíjate en algo: el punto medio es justo solo si las dos partes empiezan en igualdad de condiciones. Si un chofer sale tres horas más tarde, "la mitad del camino" ya no es lo equitativo, y por eso existe la razón r.
Repartir bien exige dos cosas: saber calcular, y saber qué reparto es el correcto. La primera te la enseña esta clase. La segunda te toca a ti decidirla.
Bitácora: describe un reparto que fue "igual para todos" pero no fue justo.
Cierre del Tema 1
Checkpoint
Antes de pasar al Tema 2, asegúrate de poder hacer esto sin consultar apuntes:
- Ubicar un punto en el plano e identificar su cuadrante por los signos.
- Calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera.
- Obtener el perímetro de un polígono a partir de sus vértices.
- Calcular el área por descomposición en triángulos y por determinante.
- Encontrar el punto medio de un segmento.
- Dividir un segmento en una razón dada.
La pregunta que se queda abierta
¿Cómo crees que se aplica el plano cartesiano en las pantallas táctiles que usas todos los días?
Tráela pensada. Con ella arranca el Tema 2, donde le vamos a poner una pendiente a la recta que hoy solo medimos.
Referencias del tema: Baldor, A. (2019). Geometría y trigonometría, 4ª ed. · Cuéllar, J. (2019). Matemáticas 3, 5ª ed. · Ruiz, J. (2018). Matemáticas 3: Geometría analítica básica, 4ª ed.