Funciones
Tu tarifa de taxi, tus seguidores, la batería de tu celular, el brillo de tu pantalla. Todo eso son funciones. Vamos a aprender a reconocerlas, escribirlas y leerlas en una gráfica.
El precio ya estaba decidido
antes de que te subieras
Cada kilómetro mueve el punto sobre la misma recta. La pendiente es lo que te cobran por kilómetro.
La máquina que nunca duda
Una entrada → una salida. Es función.
La regla del
"exactamente"
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B.
Stewart (2021)
x es la variable independiente (tú le asignas el valor). f(x) es la variable dependiente (su valor lo decide la regla).
Cada entrada tiene una sola salida. Sí es función.
La prueba de
la recta vertical
Arrastra la línea naranja por toda la gráfica. Si en algún lugar la toca dos veces o más, esa curva no es función.
Hasta ahora: sí es función.
Discutan en tríos
Un caso que rompa la regla
Piensen en algo de su vida diaria donde una misma entrada dé dos salidas distintas. ¿Existe? ¿Por qué eso vuelve imposible predecir?
¿El clima es función del día?
Si les doy una fecha, ¿pueden darme exactamente una temperatura? ¿Qué tendrían que cambiar de la pregunta para que sí sea función?
¿Y si el taxímetro no fuera función?
Una app donde el mismo trayecto a veces cuesta $80 y a veces $200, sin razón. ¿La seguirían usando? ¿Qué se rompe exactamente?
Votación relámpago 1 dedo = sí es función · 2 dedos = no · click para revelar
"Si dos x llegan al mismo y, no es función"
Confunden la dirección de la regla.
Pregunta, no corrijas: «¿Puede haber dos personas aquí que midan exactamente lo mismo? ¿Deja de ser cierto que cada quien tiene una estatura?»
"Toda gráfica bonita es función"
Aplican la prueba solo donde la curva se ve normal y no barren toda la gráfica.
Pregunta, no corrijas: «Ya la revisaste aquí. ¿Seguro que en todos los demás lugares pasa lo mismo? Enséñame dónde buscaste.»
Pensar en funciones
es pensar en consecuencias
Preguntarte "¿de qué depende esto?" es lo que separa a alguien que reacciona de alguien que anticipa.
Escribe una frase en tu cuaderno
"Algo que me importa es ______ y depende de ______."
Medicina
El efecto depende de la dosis. Equivocarte de función se paga con vidas.
Negocios
Cuánto vendes depende del precio. Toda la estrategia vive ahí.
Ingeniería y diseño
Lo que resiste un puente depende de la carga; lo que la gente compra depende de dónde pusiste el botón.
Una función, cuatro idiomas
1 · Verbalmente
La compañía cobra una tarifa fija de $350 al mes más $50 por cada gigabyte extra que uses.
2 · Numéricamente
| GB usados (G) | Costo total (C) |
|---|
3 · Visualmente
En el plano coordenado, cada punto P se ubica con un par único (a, b): a es la abscisa (coordenada x) y b la ordenada (coordenada y).
4 · Algebraicamente
Evaluar es sustituir y calcular:
De un idioma a los otros tres
Trío A · les doy la tabla
| 0 h | $45 |
| 1 h | $70 |
| 2 h | $95 |
| 3 h | $120 |
Renta de bici. Escriban la fórmula, la gráfica y la explicación verbal.
Trío B · les doy la fórmula
Batería de un dron en porcentaje, t en minutos. Hagan tabla, gráfica y explicación. ¿Hasta qué valor de t tiene sentido?
Trío C · les doy la frase
"Un puesto de esquites cobra $25 el vaso y gasta $300 fijos al día."
Modelen la ganancia. Tabla, gráfica y fórmula. ¿Cuántos vasos para no perder?
¿Cuál representación es "la buena"?
Ninguna. La tabla es precisa pero incompleta; la gráfica muestra la tendencia pero no valores exactos; la fórmula predice cualquier valor pero no se "ve"; la frase se entiende sin matemáticas pero no calcula nada. Un profesional usa las cuatro.
Función lineal: y = mx + b
Pendiente: cuánto sube y por cada 1 que avanza x.
Intersección con el eje y: el valor cuando x = 0.
Forma punto-pendiente
Úsala cuando conoces un punto y la pendiente, en vez de la intersección.
Aplicación: suscripción de streaming
Una plataforma de videojuegos cobra un plan básico de $200 al mes más un cargo por cada juego que rentes. Alguien que renta 7 juegos paga $725.
a) Plantea la función del pago total según el número v de juegos.
b) ¿Cuánto cuesta rentar 12 juegos en un mes?
| Juegos (v) | Costo (C) |
|---|---|
| 0 | 200 |
| 7 | 725 |
El valor inicial es la intersección con el eje y:
La pendiente sale de los dos puntos conocidos:
La función queda:
Evaluamos en v = 12:
Se pagarían $1,100 al mes.
¿Y si otra tienda vende cada juego en $180 sin mensualidad?
¿A partir de cuántos juegos conviene comprar en vez de rentar? Grafiquen las dos rectas y busquen dónde se cruzan.
Función potencia: y = k·x^a
Función de potencia
a = n entero positivo. La familia de las parábolas y sus hermanas mayores.
Los tres tipos
· Potencia: a = n entero positivo
· Raíz: a = 1/n
· Recíproca: a ≤ −1
Traduce en 30 segundos
"y es el 4 % del cubo de x." Escríbelo como función potencia: ¿quién es k y quién es a?
Aplicación · la batería de tu celular
Se desgasta rápido al principio y luego más lento. ¿Cuánta batería queda a las 3.5 horas? B(3.5) = 100(3.5)^(−0.5) ≈ 53.45 %
Función polinomial
Grado 3 admite hasta 3 raíces reales y hasta 2 vueltas.
"Hasta" no es "siempre". Compruébalo con las otras pestañas: x³ tiene grado 3 y cero vueltas; x² + 1 tiene grado 2 y ninguna raíz real.
Cuando crecer se vuelve
multiplicar, no sumar
| Meses | Seguidores | ÷ anterior |
|---|
a es el factor de cambio: por cuánto se multiplica cada mes.
a > 1 → creciente. Si 0 < a < 1, la función decrece.
Cuando el cambio es continuo
El primer caso de COVID en México fue en febrero de 2020. Si crecía de forma continua a razón del 5 % mensual: P = e^(0.05t) con b = 1, porque se partió de un solo caso.
La inversa: la función que deshace
Si y = f(x), la inversa se obtiene despejando x como función de y: x = f⁻¹(y).
Su gráfica es la original reflejada respecto a la recta y = x.
El logaritmo es la inversa de la exponencial
con y > 0 y a real positivo distinto de 1.
Logaritmo natural
Es la inversa de la exponencial de base e y se escribe ln. Si y = eˣ, entonces x = ln y, con y > 0.
Propiedades del logaritmo
| Base 10 · log | Base e · ln |
|---|---|
| log(AB) = log A + log B | ln(AB) = ln A + ln B |
| log(A/B) = log A − log B | ln(A/B) = ln A − ln B |
| log(A^B) = B·log A | ln(A^B) = B·ln A |
| log(10^A) = A | ln(e^A) = A |
| 10^(log A) = A | e^(ln A) = A |
| log 10 = 1 · log 1 = 0 | ln e = 1 · ln 1 = 0 |
Para ecuaciones de base a usa log; para base e usa ln.
Aplicación · el brillo de tu pantalla
El ojo no percibe la luz de forma lineal: subir el brillo de 10 % a 20 % se nota mucho más que de 80 % a 90 %, aunque la intensidad cambie igual.
B = brillo percibido · x = porcentaje de brillo · B₀ = constante de calibración.
Despejar x usando las propiedades
Ese es el poder del logaritmo: bajar la variable del exponente.
Laboratorio de transformaciones
f(x − h): mueve en horizontal h unidades.
f(x) + k: mueve en vertical k unidades.
c·f(x): alarga si |c|>1, contrae si |c|<1, refleja en x si c<0.
Gráfica original, sin transformar.
Tabla de transformaciones
| Si y = | La gráfica… |
|---|---|
| f(x − c) | se traslada c a la derecha |
| f(x + c) | se traslada c a la izquierda |
| f(x) + c | sube c unidades |
| f(x) − c | baja c unidades |
| −f(x) | se refleja en el eje x |
| f(−x) | se refleja en el eje y |
| −f(−x) | se refleja en el origen |
| c·f(x), c > 1 | se alarga vertical |
| c·f(x), c < 1 | se contrae vertical |
Con c > 0.
"f(x − 3) mueve a la izquierda"
El signo engaña.
Pregunta, no corrijas: «Para que dentro del paréntesis quede 0, ¿qué valor tiene que tener x ahora? ¿Es mayor o menor que antes?»
"Toda curva que sube rápido es exponencial"
Confunden x³ con 2ˣ mirando solo la forma.
Pregunta, no corrijas: «Divide cada término entre el anterior. ¿Te da siempre lo mismo? ¿Y si en vez de dividir restas?»
"log(A + B) = log A + log B"
Inventan una propiedad que no existe. La suma vive en el producto, no al revés.
Pregunta, no corrijas: «Compruébalo con A = 10 y B = 10. ¿Cuánto da cada lado?»
Lo que te llevas del Tema 1
Checkpoint
✓ Comprender la definición de función.
✓ Identificar y diferenciar los tipos de función.
✓ Interpretar el significado de las variables de cada tipo.
Tu repertorio ahora
Lineal · potencia · raíz · recíproca · polinomial · exponencial · logarítmica · inversas y sus transformaciones.
Ocho formas de describir cómo el mundo depende de algo.
Tarea en ALEKS
Temas de funciones, dominio y rango, funciones lineales, exponenciales y logarítmicas.
Ahí practicas el procedimiento; aquí construimos la intuición.
Para explorar por tu cuenta
Los mismos recursos que trae tu material en plataforma. Escríbelos en el navegador:
phet.colorado.edu/es/simulations/graphing-lines · rectas y pendiente
geogebra.org/graphing · calculadora gráfica para todo el semestre
Ya sabes de qué depende algo y con qué forma cambia. La siguiente pregunta es más rara y más poderosa: ¿qué pasa cuando te acercas muchísimo a un punto, sin llegar nunca?
Tema 2 · Límites. Y con eso arranca de verdad el cálculo.