Límites: cómo saber a dónde va una función,
incluso cuando no puedes llegar ahí
Todo este tema se sostiene en una sola distinción: lo que pasa cerca de un punto no es lo mismo que lo que pasa en el punto. Aprender a separarlas es lo que convierte una gráfica en información.
Navega con las flechas ← → del teclado o los botones de abajo. Da clic dentro de la presentación primero para que el teclado responda. El selector de arriba salta al inicio de cada sesión.
De qué trata este tema
¿Sabías que los límites se usan en la industria para calcular la durabilidad de productos que ocupas a diario?
Cuando trabajas con una función real, muchas veces necesitas saber qué ocurre cerca de ciertos puntos de interés. Para eso existe el límite: una herramienta que permite anticipar la tendencia de un fenómeno a partir de su variable independiente y de la estructura de la función que lo rige. (Galván, 2013)
En economía se emplea al hablar de la tendencia de un producto o de su oferta en el mercado. En manufactura, para estimar cuántos ciclos aguanta una pieza antes de fallar, sin tener que romper una por una.
Hoja de ruta del Tema 2
- 2.1 Límite de una función — qué es, cómo se estima con tablas y gráficas, y para qué sirve.
- 2.2 Límites laterales — qué hacer cuando solo puedes acercarte por un lado, o cuando cada lado da algo distinto.
- 2.3 Límites infinitos — qué pasa cuando la función se dispara, y las rectas llamadas asíntotas que aparecen ahí.
Más adelante, en los Temas 3 y 4, aprenderás a calcular límites con reglas algebraicas y a analizar posiciones muy alejadas, donde graficar deja de ser práctico.
El frame que falta
Grabaste un video de un clavado. Al revisarlo, el archivo está dañado: justo el segundo 5 se perdió. Ese frame no existe, no se puede recuperar, no se puede abrir.
Pero tienes los frames del segundo 4.9, del 4.99 y del 4.999. Y también los del 5.1, del 5.01 y del 5.001.
Aunque el frame del segundo 5 no existe, tú puedes decir con total seguridad dónde estaba el clavadista en ese instante. No lo viste. Lo dedujiste por la tendencia.
Eso es un límite.
Lo que acabas de hacer
- No preguntaste "¿cuánto vale exactamente en el segundo 5?"
- Preguntaste "¿hacia dónde se dirigen los valores cuando el tiempo se acerca al segundo 5?"
- Te acercaste desde antes (4.9, 4.99…) y desde después (5.1, 5.01…).
- Ambos lados apuntaban al mismo lugar, y eso te bastó para responder.
Esa distinción —lo que pasa cerca de un punto contra lo que pasa en el punto— es el corazón del Tema 2.
La tira de frames · pasa el control sobre el frame perdido
El frame del segundo 5 está en negro: ese dato se perdió. Aun así, la altura que reporta la lectura sigue una tendencia clarísima desde los dos lados. Lo que lees en el hueco no lo mediste: lo dedujiste.
La pregunta que responde un límite
Lo que ya sabías hacer · Tema 1
"¿Cuánto vale f en x = a?"
Sustituyes a y obtienes un número. Se llama evaluar. Se escribe f(a).
Requiere que a esté en el dominio. Si no lo está, no hay respuesta.
Lo nuevo · Tema 2
"¿Hacia qué valor se dirige f(x) cuando x se acerca a a?"
Se llama calcular el límite. Se escribe lím (x→a) f(x).
No requiere que a esté en el dominio. Puede existir un límite en un punto donde la función ni siquiera está definida.
Guárdate esta frase, la vas a usar todo el semestre: el límite describe la vecindad, no el punto. Le importa lo que pasa alrededor de a, y expresamente ignora lo que pasa exactamente en a.
La función con la que vamos a trabajar
Toma esta función cuadrática, la misma que usa tu material del curso:
Es una parábola con vértice en (3, 3) que abre hacia arriba. Arrastra el control para mover x y observa qué le pasa a f(x) conforme te acercas a x = 5.
Enciende la banda: es la franja de valores que están "a menos de tanto" de 7. Por angosta que la hagas, siempre existe un tramo de x alrededor de 5 que cae dentro. Esa es la idea que en Tema 3 se formaliza con letras griegas.
Fíjate en la tercera lectura: la distancia a 7 se hace tan pequeña como quieras, siempre que acerques lo suficiente x a 5. Ese es el mecanismo completo del límite.
Acercarse por la izquierda
Vamos a hacerlo con números. Tomamos valores de x menores que 5, cada vez más pegados a 5, y calculamos f(x) = 3 + (x − 3)² en cada uno.
| x | f(x) |
|---|---|
| 4 | 4 |
| 4.5 | 5.25 |
| 4.7 | 5.89 |
| 4.9 | 6.61 |
| 4.95 | 6.8025 |
| 4.99 | 6.9601 |
| 4.999 | 6.996001 |
Comprueba un renglón tú
Verifica el renglón de x = 4.9 antes de ver el resultado.
f(4.9) = 3 + (4.9 − 3)²
f(4.9) = 3 + (1.9)²
f(4.9) = 3 + 3.61
f(4.9) = 6.61
Los resultados suben: 4 → 5.25 → 5.89 → 6.61 → 6.8025 → 6.9601 → 6.996001. Se están apilando debajo de 7 y cada vez más cerca.
Acercarse por la derecha
Ahora lo mismo, pero desde valores mayores que 5.
| x | f(x) |
|---|---|
| 6 | 12 |
| 5.5 | 9.25 |
| 5.3 | 8.29 |
| 5.1 | 7.41 |
| 5.05 | 7.2025 |
| 5.01 | 7.0401 |
| 5.001 | 7.004001 |
Junta las dos tablas
Por la izquierda los valores suben hacia 7: 6.9601 … 6.996001
Por la derecha los valores bajan hacia 7: 7.0401 … 7.004001
Los dos lados se están cerrando sobre el mismo número: 7.
Por eso podemos afirmar: "el límite de f(x) = 3 + (x − 3)² cuando x tiende a 5 es igual a 7".
Un detalle que no debe pasar desapercibido: en ninguna de las dos tablas aparece x = 5. Nunca lo evaluamos. Y aun así respondimos.
La tabla, en vivo
Antes de que la armes a mano en la libreta, mírala construirse. Elige una función, elige el valor al que te acercas, y aprieta el acercamiento con el control: la tabla se rehace por los dos lados.
Lo que hay que mirar: no los números uno por uno, sino la última columna. Si los dos lados aprietan sobre el mismo valor conforme la distancia se hace diminuta, ese valor es el candidato a límite. Si cada lado aprieta sobre algo distinto —o si no aprietan sobre nada— no hay límite. La función 1/x del último botón es justo ese caso; la desarmamos completa en la Sesión 3.
Cómo se escribe
Se lee: "el límite de 3 + (x menos 3) al cuadrado, cuando x tiende a cinco, es igual a siete".
lím
La instrucción. Significa "el valor al que se dirige lo que sigue".
x → 5
La condición. x se acerca a 5 sin llegar nunca a valer 5. La flecha significa "tiende a", no "es igual a".
= 7
La respuesta. Es el valor al que se dirige f(x), no el valor de f(5).
Error de escritura que cuesta puntos
Escribir lím [3 + (x − 3)²] sin poner debajo x→5 es como escribir una fracción sin denominador: no dice nada. El "x→a" no es decoración, es parte de la operación.
Definición de límite
Sea y = f(x) una función definida en todo punto de algún intervalo abierto I, excepto posiblemente en algún valor x = a que pertenece al intervalo I, y sea L un número real.
Se dice que la función y = f(x) tiene límite L en x = a, y se denota:
Significa que, al evaluar la función en valores de x cada vez más cercanos al número a, los valores de la función se acercan al número L. (Stewart, 2021)
"Excepto posiblemente en x = a"
Estas cuatro palabras son las más importantes de la definición. La función puede no existir en a y el límite seguir existiendo. Es el frame perdido del video.
"L es un número real"
El límite, cuando existe, es un número concreto. No es un intervalo, no es "más o menos", y —como verás en la Sesión 3— no es infinito.
Aplicaciones del concepto de límite
El límite es el valor al que se dirige la función conforme x se acerca a un valor constante. Estas son dos situaciones cotidianas donde aparece esa idea.
Ejemplo 1 · Carga de un teléfono móvil
Conectas el celular al cargador. Al principio la batería sube rápido, pero conforme se acerca al 100 % la carga se vuelve más lenta.
Si observas el porcentaje a lo largo del tiempo, verás que el aumento se frena cada vez más. El límite describe el comportamiento de la carga conforme el tiempo avanza hacia la carga total.
Ejemplo 2 · Cocción de una pizza
Metes una pizza al horno. Al inicio se cocina muy rápido, pero conforme se acerca a estar completamente cocida, la velocidad de cocción disminuye.
El límite describe cómo el proceso se va acercando a su fin conforme el tiempo de cocción aumenta.
Precisión importante: son dos preguntas distintas, ambas de límites
Los dos ejemplos de arriba describen qué pasa conforme el tiempo crece. Eso se escribe con t→∞ y se llama límite al infinito; lo estudiarás a fondo en el Tema 4.
Lo que estamos trabajando en este tema es el límite en un punto: x→a, donde a es un número concreto. Es el caso del frame perdido. Comparten la misma idea de fondo —a dónde se dirige la función— pero la condición debajo del "lím" es distinta, y hay que escribirla bien.
Un ejemplo que sí es límite en un punto: la resistencia de un cable conforme la tensión se acerca a su punto exacto de ruptura. No puedes medir justo ahí —el cable se rompe—, así que mides tensiones cercanas por debajo y estimas la tendencia.
Cómo distinguirlos de un vistazo: si la pregunta es "¿qué pasa a la larga?", es límite al infinito. Si es "¿qué pasa justo alrededor de este valor?", es límite en un punto.
Tres funciones distintas, el mismo límite
Las tres gráficas de abajo son diferentes en x = 2. Aun así, las tres tienen exactamente el mismo límite cuando x→2.
A. f(2) = 4. La función pasa por ahí sin novedad.
B. f(2) no existe. Hay un hueco.
C. f(2) = 1. El punto está, pero fuera de lugar.
En los tres casos: lím (x→2) f(x) = 4.
Y el motivo es siempre el mismo: si tapas con el dedo lo que pasa justo en x = 2, las tres curvas se ven idénticas. El límite solo mira la vecindad, y la vecindad es la misma en las tres.
Lo que sí cambia entre ellas es el valor de f(2): vale 4 en A, no existe en B, y vale 1 en C. Eso no afecta al límite en absoluto. (En el Tema 5 verás que solo el caso A es "continuo"; B y C no lo son.)
Ejercicio 1 · Cuando sustituir no funciona
Plantea
Calcula, construyendo una tabla, el siguiente límite:
Empieza por intentar sustituir x = 3 y observa qué ocurre. Luego arma la tabla con 2.9, 2.99, 2.999 y con 3.001, 3.01, 3.1.
Paso 1 — Intentar sustituir. Al poner x = 3 obtienes (9 − 9)/(3 − 3) = 0/0. Eso no es un número: es una señal de que la sustitución directa no sirve aquí. La función no está definida en x = 3.
Paso 2 — La tabla.
| x | f(x) | x | f(x) |
|---|---|---|---|
| 2.9 | 5.9 | 3.1 | 6.1 |
| 2.99 | 5.99 | 3.01 | 6.01 |
| 2.999 | 5.999 | 3.001 | 6.001 |
Paso 3 — Conclusión. Los dos lados apuntan a 6:
Por qué pasa esto. Como x² − 9 = (x+3)(x − 3), la función es igual a x + 3 en todo punto excepto en x = 3. Su gráfica es la recta y = x + 3 con un hueco en (3, 6). Es exactamente el caso B de la diapositiva anterior. En el Tema 3 vas a formalizar este truco de factorizar.
Ejercicio 2 · Leer un límite en la gráfica
Camina hasta pegarte a x = 1 desde cada lado y lee a dónde va la altura. Después compárala con el punto relleno.
Plantea
Usando únicamente la gráfica, responde:
a) lím (x→1) g(x) = ?
b) g(1) = ?
c) ¿Son iguales tus dos respuestas?
a) lím (x→1) g(x) = 3. Viniendo desde la izquierda la curva sube hacia 3; viniendo desde la derecha baja hacia 3. Ambos lados coinciden.
b) g(1) = 1. El punto relleno está en (1, 1), y ese punto relleno es el valor real de la función.
c) No son iguales, y eso está perfectamente permitido. El círculo hueco en (1, 3) marca a dónde tiende la función; el círculo relleno en (1, 1) marca cuánto vale. Son dos preguntas distintas con dos respuestas distintas.
Cómo leer los círculos, siempre: hueco = la curva llega hasta ahí pero ese punto no pertenece a la función. Relleno = ese punto sí pertenece a la función.
Tres para comprobar que lo tienes
Resuelve los tres en tu libreta antes de revelar. Si fallas alguno, la diapositiva que lo explica está señalada en la respuesta.
1Estima el límite a partir de la tabla
Un ingeniero midió una función cerca de x = −2 y obtuvo estos datos. ¿Cuál es lím (x→−2) f(x)?
| x | −2.1 | −2.01 | −2.001 | −1.999 | −1.99 | −1.9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 7.9 | 7.99 | 7.999 | 8.001 | 8.01 | 8.1 |
2Construye tú la tabla
Estima lím (x→5) (x² − 25)/(x − 5) usando los valores 4.9, 4.99, 4.999 y 5.001, 5.01, 5.1. Antes de calcular, intenta sustituir x = 5 y anota qué obtienes.
3Decide si es verdadero o falso, y justifica
"Si f(7) = 12, entonces necesariamente lím (x→7) f(x) = 12."
1 · El límite es 8. Por la izquierda los valores suben (7.9 → 7.999) y por la derecha bajan (8.1 → 8.001). Los dos lados se cierran sobre 8. Fíjate en que la tabla no incluye x = −2, y no hace falta. (Ver: "Acercarse por la izquierda" y "por la derecha".)
2 · El límite es 10. Al sustituir obtienes (25 − 25)/(5 − 5) = 0/0, que no es un número: es el aviso de que hay que trabajar más. La tabla da 9.9, 9.99, 9.999 por la izquierda y 10.001, 10.01, 10.1 por la derecha.
Motivo: x² − 25 = (x+5)(x − 5), así que la función equivale a x + 5 en todo punto excepto en x = 5. Hay un hueco en (5, 10). (Ver: Ejercicio 1.)
3 · Falso. Conocer f(7) no te dice nada sobre el límite. Contraejemplo: el caso C de las tres gráficas, donde f(2) = 1 pero el límite vale 4. Que coincidan es un caso particular —el de las funciones continuas, Tema 5—, no una regla. (Ver: "Tres funciones distintas, el mismo límite".)
Para seguir practicando por tu cuenta
Simulador de aproximaciones numéricas al límite en un punto, de I. Larrosa. Puedes cambiar la función y ver el mismo proceso de la tabla en cualquier curva.
geogebra.org/m/yp7b2xdw
Discutan en tríos
Cinco minutos por pregunta. No busquen la respuesta "correcta" de inmediato: primero digan en voz alta lo que cada quien cree y por qué.
1
Si les digo que lím (x→4) f(x) = 10, ¿pueden afirmar con certeza que f(4) = 10? ¿Y al revés: si f(4) = 10, el límite tiene que ser 10?
2
Una compañera dice: "el límite es el valor al que nunca llega la función". ¿Está bien dicho? Busquen un ejemplo que le dé la razón y otro que se la quite.
3
En la tabla del inicio nos acercamos hasta x = 4.999. ¿Por qué no basta con eso para demostrar que el límite es 7? ¿Qué tendríamos que hacer para estar completamente seguros?
1. No y no. El límite no obliga a nada sobre f(4), y f(4) no obliga a nada sobre el límite. Son independientes. (Cuando sí coinciden, la función es continua en ese punto: eso es el Tema 5.)
2. Está mal dicho. A veces la función sí alcanza el valor del límite — el caso A de las tres gráficas, donde f(2) = 4 = límite. Y a veces no lo alcanza — el caso B. El límite no dice nada sobre si se alcanza o no.
3. Una tabla solo muestra un puñado de valores; siempre quedan infinitos valores sin revisar entre 4.999 y 5. La tabla sugiere el límite, no lo demuestra. Para demostrarlo se necesitan las leyes de los límites (Tema 3) o el álgebra de la función. Esta es una distinción intelectual importante: evidencia numérica no es lo mismo que demostración.
Los dos errores que más se repiten
Error 1 — "Límite es sustituir"
Muchos calculan f(a) y lo entregan como límite. Funciona en muchísimos casos por casualidad, y por eso el error sobrevive hasta que aparece un 0/0 y todo se cae.
Cómo detectarlo en ti: si al ver lím (x→3) (x² − 9)/(x − 3) tu primer impulso fue escribir "no existe" porque da 0/0, caíste en él. El 0/0 no es la respuesta; es el aviso de que hay que trabajar más.
Error 2 — Confundir "el límite no existe" con "la función no existe"
Son cosas distintas y pueden darse en cualquier combinación.
Cómo detectarlo en ti: si dijiste que en el Ejercicio 2 la gráfica "estaba mal" porque el hueco y el punto no coincidían, estás mezclando las dos ideas.
Autoevaluación rápida
Responde en tu libreta y luego destapa cada renglón. Si fallas una, regresa a la diapositiva de las tres gráficas.
Predecir sin poder medir
Trabajo como ingeniero de software en IBM. Una parte enorme de lo que hacemos consiste en responder preguntas sobre puntos que no podemos medir directamente.
Un sensor de temperatura no puede colocarse dentro de la cámara de combustión: se derretiría. Entonces se mide cerca, desde varios lados, y se deduce la tendencia. Eso es un límite.
Un sistema de frenado autónomo no puede esperar al instante del impacto para calcular su respuesta. Calcula hacia dónde tiende la trayectoria. Eso es un límite.
Un modelo de machine learning ajusta sus parámetros acercándose paso a paso a un mínimo que nunca toca exactamente. Eso también es un límite.
Lo que realmente estás entrenando
La habilidad de fondo no es calcular límites. Es esta: tomar una decisión bien fundamentada sobre algo que no puedes observar de manera directa, usando la evidencia de lo que sí puedes observar alrededor.
Un médico que lee la tendencia de unos análisis. Una analista que proyecta una demanda. Un entrenador que decide un cambio en el minuto 70 leyendo cómo viene el partido.
Ninguno tiene el dato exacto. Todos tienen la vecindad.
Para tu Propósito de Vida: ¿en qué parte de lo que quieres dedicarte vas a tener que decidir con información incompleta? Porque va a pasar, en todas las carreras. Esta forma de pensar —acercarse por los dos lados, comparar, y solo entonces concluir— es la diferencia entre adivinar y estimar con criterio.
Qué te llevas hoy
Debes poder hacer esto
- Explicar con tus palabras la diferencia entre f(a) y lím (x→a) f(x).
- Estimar un límite construyendo una tabla por los dos lados.
- Leer un límite en una gráfica distinguiendo círculo hueco de círculo relleno.
- Escribir correctamente la notación, con el "x→a" debajo del lím.
Tarea
ALEKS: módulo de estimación de límites por tabla y por gráfica.
Opcional, 10 minutos: abre el simulador de aproximaciones numéricas de GeoGebra y cambia la función para ver el mismo proceso en curvas distintas.
geogebra.org/m/yp7b2xdw
La próxima sesión: ¿qué pasa cuando los dos lados no apuntan al mismo número? Spoiler: pasa todo el tiempo, y tiene nombre.
Límites laterales
Qué hacer cuando acercarse por la izquierda y acercarse por la derecha dan respuestas distintas.
El estacionamiento de la plaza
La tarifa del estacionamiento de una plaza en Guadalajara funciona así:
- $25 por la primera hora o fracción
- $15 adicionales por cada hora o fracción siguiente
Sales del cine y llevas 59 minutos y 50 segundos. Pagas $25.
Te tardas veinte segundos más buscando las llaves. Ahora llevas 1 hora y 10 segundos. Pagas $40.
Veinte segundos de diferencia, quince pesos de diferencia. La función salta justo en la hora.
Costo total en pesos según el tiempo estacionado, en horas. Cruza el control por t = 1 muy despacio y mira dónde brinca la lectura.
La pregunta incómoda: ¿hacia qué costo tiende la función cuando el tiempo tiende a 1 hora? Si vienes de abajo, tiende a $25. Si vienes de arriba, tiende a $40. Dos respuestas distintas para la misma pregunta. Necesitamos herramientas nuevas.
Cómo se escribe cada lado
Límite por la izquierda
x se acerca a a tomando valores menores que a. En la gráfica: vienes caminando desde la izquierda.
Límite por la derecha
x se acerca a a tomando valores mayores que a. En la gráfica: vienes caminando desde la derecha.
Aclaración que evita el 90 % de los errores en esta parte
El signo + o − del exponente indica el lado por el que te acercas. No indica si el número es positivo o negativo.
| Se escribe | Significa | Valores de ejemplo |
|---|---|---|
| x → 5⁻ | desde la izquierda de 5 | 4.9 , 4.99 , 4.999 |
| x → 5⁺ | desde la derecha de 5 | 5.1 , 5.01 , 5.001 |
| x → −2⁻ | desde la izquierda de −2 | −2.1 , −2.01 , −2.001 |
| x → −2⁺ | desde la derecha de −2 | −1.9 , −1.99 , −1.999 |
Mira bien los dos últimos renglones: en x → −2⁺ los valores son −1.9, que es mayor que −2 aunque siga siendo negativo. "Más" quiere decir "por el lado de los mayores", nada más.
Recta numérica · de qué lado estás parado
Prueba con a negativa. Notarás que el lado + siempre queda a la derecha del dibujo, aunque los números de ese lado sigan siendo negativos. Ese es todo el truco.
Cuándo existe el límite
Teorema de existencia del límite
El límite lím (x→a) f(x) existe y vale L si y solo si los dos límites laterales existen y son iguales a L:
Dicho de forma práctica: si los dos lados no coinciden, el límite no existe. Y no hay negociación posible: no se promedia, no se escoge uno, no se dice "más o menos".
Ambos existen y coinciden
El límite existe y vale ese valor común.
Ambos existen pero difieren
El límite no existe. Los laterales sí existen, cada uno por su lado.
Alguno no existe
El límite no existe. Verás este caso en la sesión 3.
Cuidado con esta escritura: algunos apuntes encadenan el teorema como "límx→a⁻ f(x) = L = límx→a⁺ f(x) = L". Está mal escrito y confunde. Lo correcto es enunciar las dos condiciones por separado y unirlas con "y", como aparece en el recuadro de arriba.
Ejemplo resuelto · Los dos lados coinciden
Regresemos a la función de la sesión anterior y hagámoslo ahora con el lenguaje formal de los laterales.
Plantea
Determina hacia dónde tiende f(x) = 3 + (x − 3)² a medida que x tiende a 5, analizando los dos límites laterales.
Límite por la izquierda — valores 4.9, 4.99, 4.999 dan 6.61, 6.9601, 6.996001:
Límite por la derecha — valores 5.1, 5.01, 5.001 dan 7.41, 7.0401, 7.004001:
Conclusión. Los dos laterales existen y valen lo mismo, así que por el teorema:
Y ojo con la redacción final: f(x) se aproxima cada vez más a 7 cuando x se acerca a 5, sin tomar nunca exactamente el valor x = 5.
Detalle de escritura: el signo del exponente va pegado al número, no al x. Se escribe x→5⁻, nunca x⁻→5. Y si se te olvida el signo, ya no estás escribiendo un lateral: estás escribiendo el límite completo, que es otra cosa.
Ejemplo resuelto · Los dos lados no coinciden
Volvemos al estacionamiento. Llamemos C(t) al costo en pesos cuando llevas t horas.
Los dos laterales en t = 1 están marcados: el relleno es el valor real C(1); el hueco marca a dónde tiende la función por la derecha sin llegar a valer ahí.
Plantea
Determina, usando la gráfica:
a) lím (t→1⁻) C(t)
b) lím (t→1⁺) C(t)
c) lím (t→1) C(t)
d) C(1)
a) 25. Con 0.9 h o 0.99 h todavía pagas la primera hora.
b) 40. Con 1.01 h ya entraste a la segunda hora o fracción.
c) No existe. Los laterales existen pero son distintos (25 ≠ 40), así que el teorema no se cumple.
d) C(1) = 25. Exactamente a la hora todavía estás dentro de "la primera hora", por eso el punto relleno está en (1, 25). Fíjate: la función sí está definida en t = 1, y aun así el límite no existe. Es la situación inversa a la del Ejercicio 1 de la sesión pasada.
Cuando los laterales difieren, la gráfica tiene un salto. Es la forma visual del "el límite no existe".
Ejercicio 3 · Lee todo de una sola gráfica
Dos puntos de interés: x = −1, donde hay un hueco con el valor desplazado, y x = 2, donde hay un salto.
Determina los ocho valores usando solo la gráfica. Contesta en tu libreta y luego destapa cada renglón.
Ejercicio 4 · Sin gráfica, solo con la regla
Plantea
Considera la función definida por partes:
Determina los dos límites laterales en x = 3 y di si lím (x→3) f(x) existe.
Paso 1 — Elegir la pieza correcta para cada lado. Esta es toda la dificultad del ejercicio.
Por la izquierda, x vale 2.9, 2.99, 2.999 … todos menores que 3, así que se usa la pieza x + 4.
Por la derecha, x vale 3.1, 3.01, 3.001 … todos mayores que 3, así que se usa la pieza 2x + 1.
Paso 2 — Calcular cada lateral.
Paso 3 — Comparar. Los dos laterales existen y ambos valen 7. Por el teorema:
Nota sobre el paso 2. Aquí sí sustituimos, y está bien hecho: cada pieza por separado es una recta, y en las rectas la sustitución directa sí entrega el límite. Vas a justificar formalmente por qué en el Tema 3.
Las dos piezas, en la misma gráfica
Mueve b y verás que solo hay un valor que empalma las dos piezas. En cualquier otro, los laterales siguen existiendo —cada rama llega a algún lado— pero el límite completo deja de existir. La existencia del límite es frágil: depende de un solo número.
Tres para comprobar que lo tienes
1Escribe los valores correctos
Da tres valores de x que usarías para calcular cada uno:
a) lím (x→−3⁻) f(x)
b) lím (x→−3⁺) f(x)
c) lím (x→0⁻) f(x)
2Función por partes
Para la función
calcula los dos laterales en x = 2, di si el límite existe y cuánto vale h(2).
3Razona sin calcular
De una función p se sabe que lím (x→1⁻) p(x) = 6, que lím (x→1⁺) p(x) = 6 y que p(1) no está definida. ¿Existe lím (x→1) p(x)? ¿Cómo se vería la gráfica en ese punto?
1 · a) −3.1, −3.01, −3.001 (menores que −3). b) −2.9, −2.99, −2.999 (mayores que −3, aunque sigan siendo negativos). c) −0.1, −0.01, −0.001.
Si en (b) escribiste −3.1, revisa la recta numérica de la diapositiva "Cómo se escribe cada lado": el + siempre apunta a la derecha de la recta numérica.
2 · Por la izquierda se usa la pieza 3x − 1, porque 1.9, 1.99, 1.999 son menores que 2: lím (x→2⁻) h(x) = 3(2) − 1 = 5.
Por la derecha se usa x + 4: lím (x→2⁺) h(x) = 2 + 4 = 6.
Como 5 ≠ 6, el límite no existe. Y h(2) = 2 + 4 = 6, porque la condición "si x ≥ 2" sí incluye al 2. Compáralo con el Ejercicio 4, donde las piezas empalmaban y el límite sí existía: la diferencia está solo en el número que acompaña a la segunda pieza.
3 · Sí existe y vale 6. El teorema solo exige que los dos laterales existan y coincidan; no pide nada sobre p(1). En la gráfica se vería un círculo hueco en (1, 6): la curva llega hasta ahí por los dos lados, pero el punto no pertenece a la función.
Para seguir practicando por tu cuenta
Ejercicio 13 de Prometeo (UNAM): lees límites laterales sobre gráficas, escribes tus respuestas y el sistema te verifica en el momento. Si te equivocas, corriges y vuelves a comprobar.
prometeo.matem.unam.mx/recursos/VariosNiveles/iCartesiLibri/recursos/Calculo_Diferencial_e_Integral_I/index.html?page=76
Discutan en tríos
1
En el estacionamiento, el límite no existe en t = 1. ¿Significa eso que la función está "rota" o "mal hecha"? ¿Se les ocurre por qué a una empresa le conviene una tarifa que salta en lugar de una que suba parejito?
2
¿Puede una función tener límite por la izquierda en un punto y no tener límite por la derecha en ese mismo punto? Intenten dibujar una. Si creen que no se puede, expliquen por qué.
3
La velocidad de un elevador, la temperatura de un salón, el saldo de tu cuenta bancaria. ¿Cuáles de estas tres cantidades pueden saltar y cuáles no pueden físicamente saltar? ¿Qué tienen en común las que sí saltan?
1. No está rota: modela fielmente una regla de negocio que es discreta por diseño. Cobrar por bloques simplifica el cobro y aumenta el ingreso promedio. Muchísimos fenómenos reales saltan; el salto no es un defecto del modelo, es una característica del fenómeno.
2. Sí se puede. Ejemplo: f(x) = x para x < 0, y f(x) = sen(1/x) para x > 0. Por la izquierda tiende a 0; por la derecha oscila sin estabilizarse y no tiene límite. Un caso más al alcance de su nivel: cualquier función que por la derecha se dispare al infinito, como verán mañana.
3. El saldo bancario salta (los depósitos son instantáneos y discretos). La temperatura y la velocidad del elevador no pueden saltar: son magnitudes físicas que cambian de forma continua, porque un salto instantáneo exigiría energía infinita. Lo que tienen en común las que saltan: son convenciones o conteos, no procesos físicos.
Los errores de esta sesión
Error 1 — Leer el signo como "número negativo"
Ante x → −4⁺ muchos escriben valores como −4.1. Está al revés: el + pide valores mayores que −4, o sea −3.9, −3.99. Truco: dibuja la recta numérica y marca el punto. El + siempre apunta hacia la derecha del dibujo, sin importar si el número es positivo o negativo.
Error 2 — Promediar los laterales
Si por la izquierda da 25 y por la derecha da 40, la respuesta no es 32.5. No es "aproximadamente 30". Es no existe, y punto. El límite es un número único al que se dirigen ambos lados; si no hay tal número, no hay límite.
Error 3 — Usar la pieza equivocada
Al calcular el lateral por la izquierda en x = 3, algunos usan la pieza definida para x ≥ 3 porque "el 3 está ahí". El límite por la izquierda nunca toca el 3: solo usa valores menores. Pregúntate siempre: "los valores 2.9, 2.99, 2.999, ¿en qué renglón de la definición caen?".
Autoevaluación rápida
Los umbrales importan
Casi todo lo que va a decidir tu vida adulta está lleno de saltos, no de rampas.
El promedio mínimo para conservar una beca. El ingreso exacto en el que cambias de tasa fiscal. El puntaje de corte para entrar a una carrera. La diferencia entre 0.1 puntos de un lado y del otro no es proporcional: es un salto.
Quien entiende dónde están los umbrales y de qué lado está parado, decide mejor. Quien piensa que todo cambia parejito, se lleva sorpresas caras.
En ingeniería es lo mismo
En los sistemas que construimos, los saltos son los puntos peligrosos: es donde un sensor cambia de escala, donde un sistema entra en modo de emergencia, donde un servidor se satura.
Buena parte del trabajo de diseño consiste en encontrar dónde están esos saltos antes de que el sistema los encuentre solo. Analizar por los dos lados es literalmente el procedimiento.
Para pensar hoy: identifica un umbral que ya exista en tu vida ahora mismo —académico, deportivo, económico— y pregúntate de qué lado estás y qué tan cerca de la orilla. Eso es analizar límites laterales, aunque no lo escribas con notación.
Qué te llevas hoy
Debes poder hacer esto
- Escribir correctamente x→a⁻ y x→a⁺, y dar valores de ejemplo aunque a sea negativo.
- Enunciar el teorema de existencia y aplicarlo en los dos sentidos.
- Leer los dos laterales de una gráfica con saltos y huecos.
- Elegir la pieza correcta de una función definida por partes para cada lado.
Tarea
ALEKS: módulo de límites laterales y funciones por partes.
Práctica interactiva opcional: Ejercicio 13 de Prometeo (UNAM), donde lees laterales sobre gráficas y el sistema te verifica en el momento. Búscalo como "Prometeo UNAM cálculo diferencial existencia del límite".
La próxima sesión: ya vimos que el límite puede no existir porque los lados no coinciden. Mañana veremos la otra forma de que no exista: cuando la función se dispara y no se estabiliza en ningún número.
Límites infinitos
Cuando la función no se acerca a ningún número, sino que se dispara sin freno. Hoy aprendes a describir con precisión un límite que no existe.
Repartir entre cada vez menos gente
Se juntan para un regalo de $600. Reparten el costo entre los que le entren.
| Personas | Cada quien paga |
|---|---|
| 10 | $60 |
| 5 | $120 |
| 2 | $300 |
| 1 | $600 |
| 0.5 (media persona) | $1,200 |
| 0.1 | $6,000 |
| 0.001 | $600,000 |
Media persona no existe, claro. Pero la función matemática 600/x sí admite esos valores, y su comportamiento es revelador: mientras más se acerca x a cero, más se dispara el resultado. Sin techo.
La pregunta de hoy
¿Hacia qué número tiende 600/x cuando x tiende a 0?
Intenta responderla y vas a notar que no puedes. No hay ningún número al que se esté acercando: los valores crecen y siguen creciendo, y por grande que propongas un candidato, la función lo rebasa.
No es que la respuesta sea difícil de encontrar. Es que no hay tal número. Y eso, en matemáticas, también es una respuesta — solo que hay que aprender a escribirla bien.
La función 1/x, con números y con gráfica
| x | 1/x |
|---|---|
| 0.1 | 10 |
| 0.01 | 100 |
| 0.001 | 1 000 |
| 0.0001 | 10 000 |
| 0.00001 | 100 000 |
| x | 1/x |
|---|---|
| −0.1 | −10 |
| −0.01 | −100 |
| −0.001 | −1 000 |
| −0.0001 | −10 000 |
| −0.00001 | −100 000 |
Mueve el control hacia 0 desde cada lado. Fíjate en cómo la lectura de 1/x se dispara en direcciones opuestas: no es que crezca "mucho", es que no se detiene en ningún número.
Cómo se escribe, y qué significa de verdad
Cuando los valores de una función crecen sin cota conforme x se acerca a a, se escribe:
Esto quiere decir que los valores de f(x) se pueden hacer tan grandes como quieras, eligiendo una x lo bastante cerca de a, pero con x ≠ a. (Zill y Wright, 2018)
La aclaración más importante de esta sesión
El infinito no es un número. No está en los números reales. No se puede sumar, no se puede alcanzar, no se puede escribir en una calculadora.
Entonces, cuando escribimos lím f(x) = ∞, ese signo "=" no está diciendo que el límite valga algo. Está funcionando como una descripción del comportamiento: "los valores crecen sin cota".
Recuerda la definición de la sesión 1: el límite es un número real L. Si el resultado es infinito, no hay número real, y por lo tanto el límite no existe. Lo que sí hacemos es describir cómo no existe.
Forma correcta de decirlo: "el límite no existe; la función tiende a infinito".
Forma incorrecta: "el límite vale infinito", como si ∞ fuera un resultado numérico.
Los dos lados de 1/x
Aplicamos lo de la sesión 2: analizamos cada lado por separado.
Desde la derecha, dividimos 1 entre números positivos cada vez más chicos. El resultado crece sin cota hacia arriba.
Desde la izquierda, dividimos 1 entre números negativos cada vez más chicos en valor absoluto. El resultado se desploma sin cota hacia abajo.
No existe, por partida doble:
- Porque ninguno de los dos laterales llega a un número real: uno se va a +∞ y el otro a −∞.
- Porque, aunque quisiéramos describir el comportamiento con un solo símbolo, los dos lados van en direcciones opuestas. Ni siquiera podemos escribir "= ∞", porque eso solo aplicaría si ambos lados subieran.
Respuesta a escribir en un examen: "lím (x→0) 1/x no existe", y a continuación los dos laterales para justificarlo. Escribir solo "no existe" sin los laterales deja la respuesta a medias.
Comprueba antes de pasar a asíntotas
Todavía no hemos hablado de asíntotas. Antes de darles nombre, asegúrate de dominar el comportamiento que las produce.
1Los dos lados de 5/x
Determina lím (x→0⁺) 5/x y lím (x→0⁻) 5/x. Después decide qué pasa con lím (x→0) 5/x.
2Un denominador al cuadrado
Determina los dos laterales de f(x) = 3/(x − 1)² en x = 1. Prueba con x = 0.99 y x = 1.01 y observa el signo del denominador en cada caso.
3Verdadero o falso, y justifica
a) "Si lím (x→a) f(x) = ∞, el límite existe y su valor es infinito."
b) "∞ − ∞ = 0, porque cualquier cosa menos sí misma da cero."
c) "Un límite puede no existir de dos maneras distintas."
1 · Por la derecha divides 5 entre positivos diminutos: 5/0.001 = 5 000, y sigue creciendo. Da +∞. Por la izquierda divides entre negativos diminutos: 5/(−0.001) = −5 000. Da −∞.
Como los lados van en direcciones opuestas, lím (x→0) 5/x no existe, y además no se puede describir con un solo símbolo ∞. Es el mismo comportamiento de 1/x: el 5 solo estira la curva, no cambia el patrón.
2 · Con x = 1.01 el denominador es (0.01)² = 0.0001, positivo, y f = 30 000. Con x = 0.99 el denominador es (−0.01)² = 0.0001, positivo también, porque el cuadrado borra el signo. Y f = 30 000 otra vez.
Los dos laterales tienden a +∞, así que aquí sí se escribe lím (x→1) f(x) = ∞. Sigue siendo un límite que no existe como número real, pero el comportamiento es describible con un solo símbolo.
3 · a) Falso. El símbolo describe el comportamiento; el límite exige un número real y ∞ no lo es. La redacción correcta es "no existe; la función tiende a infinito".
b) Falso. El infinito no es un número, así que no se le puede restar. Escribir ∞ − ∞ no es una operación válida.
c) Verdadero. Ya viste las dos: los laterales existen pero difieren (el salto del estacionamiento), o algún lateral se dispara sin estabilizarse (lo de hoy). Distinguirlas importa, porque la gráfica se ve completamente distinta en cada caso.
Qué es una asíntota
Ya viste el comportamiento en 1/x: la curva se dispara y se pega al eje. Ahora el nombre. Una asíntota es una recta —no una parte de la gráfica— a la que la curva se aproxima tanto como quieras.
Definición formal
La recta ℓ es una asíntota de la curva y = f(x) si la distancia entre el punto P = (x, f(x)) y la recta ℓ tiende a cero conforme P se aleja indefinidamente sobre la curva.
Todo el contenido está en dos palabras: distancia y tiende a cero. La separación entre curva y recta se hace tan pequeña como quieras, y ya no vuelve a crecer.
De dónde salen los tres tipos
Un punto puede alejarse sobre la curva de dos maneras: porque x crece sin cota, o porque f(x) se dispara al acercarse a un valor. Cada manera produce un tipo de asíntota.
| tipo | condición con límites | la recta |
|---|---|---|
| vertical | lím (x→a⁻) f(x) = ±∞ o lím (x→a⁺) f(x) = ±∞ | x = a |
| horizontal | lím (x→+∞) f(x) = L o lím (x→−∞) f(x) = L | y = L |
| oblicua | lím (x→±∞) [ f(x) − (mx + b) ] = 0 | y = mx + b |
En esta sesión trabajas solo la primera fila: es la única que se resuelve con lo que ya sabes, los límites laterales. Las otras dos necesitan límites en el infinito y llegan en el Tema 4.
Cuidado con la frase de siempre. "Se acerca sin tocarla nunca" es cierta para las verticales —ahí la función ni siquiera está definida—, pero la definición formal solo exige que la distancia tienda a cero. Una asíntota horizontal sí puede ser cruzada por la curva y seguir siendo asíntota.
Del diccionario · entrada apócrifa
asíntota (del gr. ἀσύμπτωτος, 'que no se encuentran') 1. f. Cosa que se desea y que se acerca de manera constante, pero que nunca llega a cumplirse. [2015, Whittier]
El deseo baja hacia la realidad y se le pega cada vez más, sin llegar. Traducido al tema: es una asíntota horizontal, de las del Tema 4.
La entrada circula en internet como si fuera de diccionario, y no lo es. Pero la de verdad tampoco anda lejos: el diccionario de la lengua define la asíntota como una recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo a una curva sin llegar nunca a encontrarla.
La etimología es la mejor definición corta que hay: a- (no) + syn- (juntos) + ptōtos (que cae). Lo que no llega a caer junto.
Asíntota vertical
La recta vertical x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f si al menos uno de los dos límites laterales en a tiende a +∞ o a −∞.
En el caso de 1/x, la recta x = 0 (el eje vertical) es una asíntota vertical: la curva se le pega cada vez más sin tocarla nunca.
Tres cosas que debes tener claras
- La asíntota no es parte de la gráfica. Se dibuja punteada porque es una guía, no la función.
- La curva nunca la toca. Si la tocara, la función estaría definida ahí y no se dispararía.
- Basta con que un lado se dispare. No hace falta que los dos lo hagan.
Adelanto: en el Tema 4 vas a estudiar también las asíntotas horizontales, que aparecen cuando x crece sin cota en lugar de acercarse a un punto. Son la otra cara de la misma moneda.
Explorador · k / (x − a)ⁿ
La recta punteada roja es la asíntota vertical. Cambia el exponente y observa lo único que importa: si el denominador conserva el signo (n par) o lo cambia (n impar) al cruzar a.
Cómo saber si hay asíntota vertical, sin graficar
En funciones racionales —una fracción con polinomios— el procedimiento es corto. Ubica los valores de x que anulan el denominador y revisa qué hace el numerador ahí mismo.
Denominador → 0 y numerador → un número distinto de 0
Hay asíntota vertical. La fracción se dispara, porque estás dividiendo algo que no se encoge entre algo que se encoge sin parar.
Denominador → 0 y numerador → 0 también
No lo sabes todavía. Es el caso 0/0, y hay que trabajarlo con álgebra. Muchas veces resulta un hueco, no una asíntota.
Compara estos dos, que se parecen mucho y se comportan distinto
| Función | En x = 3, numerador | En x = 3, denominador | Qué hay en x = 3 |
|---|---|---|---|
| (x + 1)/(x − 3) | 4 (≠ 0) | 0 | asíntota vertical |
| (x² − 9)/(x − 3) | 0 | 0 | hueco en (3, 6) |
El segundo es el ejercicio que resolviste en la sesión 1: te dio 6, un número perfectamente normal. El denominador se hacía cero, sí, pero el numerador también, y al factorizar se cancelaban. Denominador cero no implica automáticamente asíntota.
Clasificador · elige una función y revisa las dos evaluaciones
Las dos evaluaciones
Numerador en el punto: 4
Denominador en el punto: 0
Veredicto
—
Ejercicio 5 · Dos denominadores parecidos
Plantea
Analiza los límites laterales en x = 2 de estas dos funciones y decide, para cada una, si el límite existe y si hay asíntota vertical.
Para f(x) = 1/(x − 2)². Prueba con x = 2.01: el denominador es (0.01)² = 0.0001, y f = 10 000. Con x = 1.99: el denominador es (−0.01)² = 0.0001 también positivo, porque está al cuadrado. Y f = 10 000 otra vez.
Como ambos lados se disparan hacia arriba, se escribe lím (x→2) f(x) = ∞. El límite no existe como número real, pero sí podemos describir el comportamiento con un solo símbolo. Hay asíntota vertical en x = 2.
Para g(x) = 1/(x − 2). Con x = 2.01 el denominador es 0.01, positivo, y g = 100. Con x = 1.99 el denominador es −0.01, negativo, y g = −100.
Los lados van en direcciones contrarias, así que no se puede escribir "= ∞": solo se dice que el límite no existe. Igual hay asíntota vertical en x = 2, porque basta con que un lado se dispare. La diferencia entre las dos funciones es el cuadrado, que borra el signo del denominador.
Las dos, una encima de la otra
En menta, 1/(x − 2)²: las dos ramas suben. En ámbar, 1/(x − 2): una sube y la otra baja. Misma asíntota, comportamientos distintos.
Ejercicio 6 · Clasifica sin graficar
Plantea
Para cada función, di qué ocurre en el valor indicado: asíntota vertical, hueco, o nada especial. Justifica revisando numerador y denominador.
- f(x) = (x+5)/(x − 4) en x = 4
- f(x) = (x² − 4)/(x − 2) en x = 2
- f(x) = (x − 1)/(x²+1) en x = 1
- f(x) = 7/(x+3)² en x = −3
1. Asíntota vertical. Numerador en 4: 4 + 5 = 9, distinto de cero. Denominador: 0. Se dispara. Además los laterales van en direcciones opuestas (−∞ por la izquierda, +∞ por la derecha), así que el límite no existe y no se puede escribir con un solo ∞.
2. Hueco. Numerador en 2: 4 − 4 = 0. Denominador: 0. Caso 0/0. Factorizando, x² − 4 = (x+2)(x − 2), y la función equivale a x + 2 salvo en x = 2. El límite existe y vale 4; hay un hueco en (2, 4).
3. Nada especial. Denominador en 1: 1 + 1 = 2, no se anula. La función está perfectamente definida ahí y vale 0/2 = 0. El límite es 0. Advertencia: este inciso está puesto para que no asumas que "hay una x en el denominador" implica problema. Hay que revisar, no suponer.
4. Asíntota vertical. Numerador: 7, constante distinta de cero. Denominador: (−3 + 3)² = 0. Y como está al cuadrado, el denominador es positivo por ambos lados, así que los dos laterales tienden a +∞. Aquí sí se escribe lím (x→−3) f(x) = ∞.
Las dos formas de no existir, lado a lado
Un límite que no existe no siempre se ve igual. Estas son las tres situaciones que has visto en el tema, dibujadas a la misma escala para que la diferencia sea evidente de un vistazo.
Sí existe. Los dos lados llegan al mismo número. Que haya un hueco no cambia nada.
No existe · salto. Los dos laterales existen, pero valen cosas distintas. Sesión 2.
No existe · explosión. Ningún lateral llega a un número real. Sesión 3.
Cómo se responde cada uno en un examen: el primero, con un número. El segundo, "no existe" y los dos laterales para justificarlo. El tercero, "no existe" y la descripción del comportamiento con ±∞.
Lo que las tres comparten: en ninguna importó el valor de la función en el punto. Todo se decidió mirando alrededor. Si en algún momento del tema te apoyaste en f(a) para responder, ahí estuvo el error.
Los tres subtemas en un solo bloque
Cuatro situaciones mezcladas. Para cada una hay que decidir primero qué tipo de caso es, y solo después calcular. Esa decisión es la parte que se evalúa.
1
Estima lím (x→4) (x² − 16)/(x − 4) y di si hay asíntota vertical en x = 4.
2
Para f(x) = (3x+1)/(x+2), analiza los dos laterales en x = −2 y di si hay asíntota vertical.
3
De una función q se sabe que lím (x→3⁻) q(x) = 2 y lím (x→3⁺) q(x) = ∞. ¿Existe lím (x→3) q(x)? ¿Hay asíntota vertical en x = 3?
4
Localiza todas las asíntotas verticales de f(x) = (x+1)/(x² − 9) y describe qué pasa en cada una.
1 · En x = 4 el numerador da 16 − 16 = 0 y el denominador 0. Caso 0/0: hay que trabajarlo. Como x² − 16 = (x+4)(x − 4), la función equivale a x + 4 salvo en x = 4. El límite existe y vale 8. No hay asíntota: hay un hueco en (4, 8).
2 · En x = −2 el numerador da 3(−2) + 1 = −5, distinto de cero, y el denominador 0. Se dispara, así que sí hay asíntota vertical en x = −2.
Los signos: con x = −1.99 el denominador es 0.01 (positivo) y la fracción da un negativo enorme, o sea −∞ por la derecha. Con x = −2.01 el denominador es −0.01 (negativo) y la fracción da un positivo enorme: +∞ por la izquierda. El límite no existe y no se puede escribir con un solo ∞.
3 · No existe el límite: el lateral izquierdo llega a un número real, pero el derecho se dispara, así que no coinciden. Y sí hay asíntota vertical en x = 3, porque basta con que uno de los dos lados tienda a infinito. Este caso es la mezcla de las dos formas de no existir.
4 · El denominador se anula donde x² − 9 = 0, es decir en x = 3 y x = −3. Hay que revisar el numerador en cada uno.
- En x = 3: numerador 3 + 1 = 4 ≠ 0 → asíntota vertical.
- En x = −3: numerador −3 + 1 = −2 ≠ 0 → asíntota vertical también.
Una función puede tener varias asíntotas verticales, una por cada raíz del denominador que no se cancele con el numerador.
Verifica tus respuestas graficando
Captura cada función en la graficadora de GeoGebra y compara con lo que dedujiste. Ver el hueco del inciso 1 y las dos asíntotas del inciso 4 confirma el razonamiento mucho mejor que la respuesta escrita.
geogebra.org/graphing?lang=es
Discutan en tríos
1
Escribimos lím f(x) = ∞ con signo de igual, pero decimos que el límite no existe. ¿No es contradictorio usar un "=" para decir que algo no existe? ¿Cómo lo explicarían con sus palabras a alguien de otro grupo?
2
Una asíntota es una recta a la que la curva se acerca infinitamente sin tocar jamás. ¿Se les ocurre algo en el mundo real que se comporte así: que te acerques cada vez más a una meta y nunca la alcances del todo?
3
En física, la presión de un gas ideal a temperatura constante es P = k/V. Cuando el volumen tiende a cero, la presión tiende a infinito. Pero en la vida real ningún pistón alcanza presión infinita. ¿Qué le pasa al modelo antes de llegar ahí?
1. El "=" ahí es una convención de notación, no una igualdad numérica. Se lee "tiende a", no "es igual a". Es una etiqueta que describe cómo falla el límite, y resulta útil porque no todos los "no existe" son iguales: uno con salto y uno con explosión son situaciones muy distintas.
2. Ejemplos razonables: la carga de una batería acercándose al 100 %, el precio de un producto acercándose al costo de producción sin llegar, una habilidad que se pule cada vez más sin llegar a la perfección. Cuidado: la mayoría de estos son asíntotas horizontales (Tema 4), y notarlo ya es un buen razonamiento.
3. El modelo deja de ser válido. La ley de gases ideales supone partículas sin volumen propio y sin interacción, y esas suposiciones se rompen a altas presiones; el gas se licúa o el material del pistón cede. Lección de fondo: cuando un modelo predice infinito, casi siempre está avisando que se salió de su rango de validez. Un ingeniero lee ese infinito como una alarma, no como un resultado.
Los errores de esta sesión
Error 1 — Tratar el infinito como número
Escribir "el límite vale ∞" y darlo por resuelto. Peor todavía: operar con él, como escribir ∞ − ∞ = 0. Cómo corregirlo: cada vez que escribas ∞, léelo en voz alta como "crece sin cota". Si la frase deja de tener sentido, la escritura estaba mal.
Error 2 — Ver un cero en el denominador y gritar "asíntota"
El denominador anulándose es condición necesaria, no suficiente. Falta revisar el numerador. Cómo corregirlo: haz siempre las dos evaluaciones —numerador y denominador— antes de concluir. Dos segundos de revisión evitan un ejercicio completo mal.
Error 3 — Olvidar el signo del denominador
Contestar +∞ por los dos lados en 1/(x − 2) porque "se hace muy grande". Del lado izquierdo el denominador es negativo, y el resultado se va a −∞. Cómo corregirlo: sustituye un número concreto, 1.99, y mira el signo con tus ojos. No lo razones de memoria.
Autoevaluación rápida
Cuando el resultado es infinito, algo se rompió
En ingeniería, un infinito casi nunca es una respuesta. Es una alarma.
Un modelo estructural que predice esfuerzo infinito en una esquina está avisando que ahí se va a agrietar. Un algoritmo cuyo tiempo de cómputo se dispara está avisando que no va a escalar. Una división entre cero en producción tumba el servicio.
En los sistemas en los que trabajo, buena parte del diseño consiste en encontrar de antemano dónde están esos puntos y ponerles un límite artificial antes de que la realidad los encuentre.
La habilidad de fondo
Reconocer cuándo tu modelo dejó de aplicar.
Vas a usar modelos toda tu vida: presupuestos, planes de estudio, proyecciones de un negocio, expectativas sobre una relación. Todos son válidos dentro de un rango, y todos se rompen fuera de él.
Quien confunde "mi modelo dice infinito" con "va a pasar algo infinito" toma decisiones malas. Quien lee el infinito como "aquí ya no sé", tiene la humildad intelectual que distingue al buen profesional.
Para tu Propósito de Vida: parte de actuar con justicia y con criterio es saber hasta dónde alcanza lo que sabes. Un límite infinito es la manera que tienen las matemáticas de decirte "hasta aquí llega este mapa". Reconocer ese borde —en un cálculo o en una decisión— es una forma de honestidad.
Toda la notación del tema, en una tabla
Consúltala cuando estudies para el examen. Cada renglón dice qué se escribe, qué significa y cómo se responde.
| Se escribe | Significa | Cómo se responde |
|---|---|---|
| f(a) | El valor de la función exactamente en a | Un número, o "no está definida" |
| límx→a f(x) | A qué se dirige f cerca de a, sin tocar a | Un número real, o "no existe" |
| límx→a⁻ f(x) | A qué se dirige f viniendo desde la izquierda de a | Un número real, ±∞, o "no existe" |
| límx→a⁺ f(x) | A qué se dirige f viniendo desde la derecha de a | Un número real, ±∞, o "no existe" |
| límx→a f(x) = ∞ | Los valores crecen sin cota por ambos lados | El límite no existe; así se describe cómo falla |
| x = a es asíntota vertical | Al menos un lateral en a tiende a +∞ o a −∞ | Se dibuja punteada; la curva nunca la toca |
El procedimiento, en tres preguntas
- ¿Puedo sustituir? Si sale un número, ese es el límite.
- ¿Salió 0/0? Factoriza o haz tabla: suele haber un hueco.
- ¿El denominador se anula y el numerador no? Se dispara: revisa cada lateral por separado y su signo.
Las tres frases que no debes escribir
- "El límite vale infinito" — di que no existe y que tiende a infinito.
- "El límite es aproximadamente 32.5" — si los laterales difieren, no existe.
- "No existe porque da 0/0" — el 0/0 es un aviso, no una conclusión.
Checkpoint del tema completo
Antes de pasar al Tema 3, asegúrate de poder hacer todo esto. Si algo falla, la diapositiva correspondiente está en este mismo material.
Conceptos
- Explicar qué es el límite de una función y en qué se diferencia de evaluar.
- Reconocer aplicaciones del concepto de límite en situaciones cotidianas.
- Identificar límites laterales y saber cuándo garantizan la existencia del límite.
- Identificar límites infinitos y distinguirlos de un límite que sí existe.
- Localizar asíntotas verticales revisando numerador y denominador.
Procedimientos
- Estimar un límite con una tabla por los dos lados.
- Leer límites y valores de función en una gráfica con huecos y saltos.
- Calcular laterales en funciones definidas por partes eligiendo la pieza correcta.
- Escribir la notación completa y correcta, incluidos los signos de lado.
Lo que sigue — Tema 3, Leyes de los límites: hasta ahora estimaste límites con tablas y gráficas, que es lento y no demuestra nada. En el siguiente tema aprendes reglas algebraicas para calcularlos de forma directa y exacta, sin depender de representaciones gráficas ni de tablas de datos, incluidos los casos 0/0 que hoy resolviste a mano. Esa base es la que te va a permitir abordar la derivada en el Módulo 2.
Referencias del tema
Galván, D. (2013). Cálculo diferencial: un enfoque constructivista (2ª ed.). Cengage. · Rojas, C. (2022). Cálculo diferencial e integral Módulo I. Descartes. · Stewart, J. (2021). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Cengage. · Zill, D. y Wright, W. (2018). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (4ª ed.). McGraw-Hill.
Tecmilenio no guarda relación alguna con las marcas mencionadas como ejemplo. Las marcas son propiedad de sus titulares conforme a la legislación aplicable; se utilizan con fines académicos y didácticos, por lo que no existen fines de lucro, relación publicitaria o de patrocinio.