Vibraciones
y ondas
Una cuerda de guitarra, la suspensión de un coche, tus cuerdas vocales, la sirena de una ambulancia y un sismo que cruza el país. Todo eso se describe con la misma media docena de ecuaciones. Vamos a construirlas.
Movimiento
armónico simple
Hoy vas a construir las herramientas para describir matemáticamente cualquier cosa que se mueva de ida y vuelta alrededor de un punto de equilibrio: una cuerda de guitarra, un columpio, las cuerdas vocales al hablar, la suspensión de un coche.
Objetivos de la sesión
- Reconocer el Movimiento Armónico Simple (MAS) y sus tres condiciones.
- Definir amplitud, periodo y frecuencia, y relacionarlas matemáticamente.
- Calcular frecuencia angular y desplazamiento angular.
- Resolver un problema real de rotación (Ejemplo 1).
El mundo no deja de vibrar
En nuestra vida cotidiana encontramos numerosos fenómenos vibratorios: el sonido producido por las cuerdas de una guitarra o un violín al ser tocadas, o la vibración de las cuerdas vocales al hablar. Estos fenómenos se caracterizan por ser movimientos oscilatorios repetitivos alrededor de un centro de equilibrio, y la oscilación permanece en el objeto que vibra.
Las ondas, en cambio, son perturbaciones que se propagan a través del espacio y pueden ser mecánicas, acústicas, electromagnéticas o sísmicas, entre otras. Son fundamentales porque transportan energía de un lugar a otro sin transportar materia: así llega hasta nosotros la luz del Sol, que viaja en el vacío y le da a nuestro planeta luz y calor.
Precisión: las ondas mecánicas (sonido, olas, sismos) sí necesitan un medio material; las electromagnéticas (luz, radio) no lo necesitan y por eso cruzan el vacío. Lo verás con detalle en la sesión 3.
El estudio de las vibraciones y ondas es crucial para comprender fenómenos naturales como el sonido, mediante propiedades como la frecuencia, la amplitud, el periodo y la velocidad de propagación en diferentes medios.
Figura 2.0 · Tres osciladores muy distintos, la misma descripción: van y vienen alrededor de un centro. Lo único que cambia es qué tan seguido (frecuencia) y qué tan lejos (amplitud).
?Piensa antes de seguir (en parejas): ¿qué tienen en común un columpio, una cuerda de guitarra y tu corazón latiendo?
Los tres son movimientos periódicos alrededor de una posición de equilibrio: se repiten en intervalos de tiempo iguales y siempre hay algo que los regresa al centro (la gravedad en el columpio, la tensión en la cuerda, el músculo cardiaco). Por eso a los tres se les puede medir lo mismo: amplitud, periodo y frecuencia.
Lo que cambia es la escala: el columpio oscila cerca de 0.5 Hz, el corazón en reposo alrededor de 1.2 Hz (72 latidos por minuto) y la cuerda de guitarra entre 82 y 1 100 Hz. Y una precisión honesta: solo el columpio de ángulo pequeño y la cuerda se acercan al MAS ideal; el corazón es periódico pero no armónico simple, porque no lo mueve una fuerza proporcional al desplazamiento.
Movimiento armónico simple
Empezamos con el tipo más simple de oscilación: uno que se repite en el tiempo. Este tipo de vibración u oscilación se llama movimiento periódico. Un ejemplo de este movimiento es un niño que se balancea en un columpio.
El movimiento periódico idealizado (el que no se apaga con el tiempo) se llama movimiento armónico simple (MAS) y reúne las siguientes tres propiedades (Serway y Jewett, 2018):
El movimiento es periódico: se repite en intervalos de tiempo iguales.
Ocurre en ausencia de fricción, así que la amplitud no se apaga.
Lo produce una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento y dirigida siempre hacia el equilibrio.
En el MAS, un objeto oscila en torno a una posición de equilibrio. Una vez que el oscilador se aleja de esa posición, alcanzará una distancia máxima hacia ambos lados. Pensando en el niño del columpio: asumimos que no existe resistencia que detenga el movimiento, por lo que oscilará en torno a la posición de equilibrio (el centro) alcanzando la misma altura en ambos extremos en cada oscilación.
Ejemplos de MAS… y una precisión
Los ejemplos clásicos son el resorte y el péndulo de ángulo pequeño. El movimiento circular uniforme no es en sí mismo un MAS: lo que sí es MAS es su proyección sobre un diámetro —la sombra del punto que gira—. Por eso el mismo lenguaje (ω, T, f) sirve para un tocadiscos y para un resorte, y por eso el Ejemplo 1 de esta sesión es de rotación.
Figura 2.1 · La sombra del punto que gira recorre un MAS: x = A cosθ. Arrastra el deslizador y observa que la sombra va lento en los extremos y rápido en el centro.
Tres propiedades para describir la oscilación
Amplitud (A)
El desplazamiento máximo desde el punto de equilibrio. Se mide en metros (m). De extremo a extremo hay 2A, no A.
Periodo (T)
El tiempo que tarda el cuerpo en completar un ciclo y volver a su posición y sentido originales. Su unidad es el segundo (s).
Frecuencia (f)
El número de ciclos completos en un segundo. Su unidad es el hertz (Hz).
Figura 2.2 · x(t) = A cos(ω t). La amplitud se lee en vertical y el periodo en horizontal: son independientes.
Desplazamiento angular (θ): el ángulo barrido por el oscilador o el cuerpo que gira, medido en radianes.
Frecuencia angular (ω): el ángulo barrido por unidad de tiempo, es decir cuántos radianes por segundo avanza el ciclo. Su unidad es rad/s.
Tabla 2.1 · Variables y unidades
| Variable | Símbolo | Unidad | Símbolo de unidad |
|---|---|---|---|
| Periodo | T | Segundo | s |
| Amplitud | A | Metro | m |
| Frecuencia | f | Hertz | Hz |
| Ángulo (desplazamiento angular) | θ | Radián | rad |
| Frecuencia angular | ω | Radián por segundo | rad/s |
Guarda esta tabla a la mano: la usarás en todo el Tema 2, y en la sesión 3 se le suman la longitud de onda (λ, m) y la densidad lineal (μ, kg/m).
Antes de sustituir, revisa unidades
Tres conversiones que aparecen en casi todos los problemas del tema:
- gramos → kilogramos: 180 g = 0.180 kg
- centímetros → metros: 3 cm = 0.03 m
- rpm → rev/s: dividir entre 60
Y una que cuesta calificaciones: al evaluar cos(ω t) o sen(ω t), la calculadora debe estar en radianes, no en grados.
Ejemplo 1 · El tocadiscos del DJ
Un DJ está utilizando un tocadiscos para mezclar música en una fiesta. Si el plato gira a 33 rpm, calcula:
- La frecuencia de rotación en rev/s.
- El periodo en segundos.
- La velocidad angular en rad/s.
a. Convertimos rev/min a rev/s (1 min = 60 s):
b. Con la Ec. 2.3:
c. Con la Ec. 2.5:
Verificación de sentido: 0.55 vueltas por segundo es poco menos de una vuelta, así que el periodo tiene que ser poco más de un segundo. 1.82 s cuadra.
Checkpoint · Tu turno
Una rueda de la fortuna da 2 vueltas completas cada 3 minutos. Antes de ver la solución, intenta calcular:
- La frecuencia en rev/s.
- El periodo en segundos.
- La velocidad angular en rad/s.
a. 3 min = 180 s, así que f = 2 rev / 180 s = 0.0111 rev/s
b. T = 1/f = 1/0.0111 = 90 s
Tiene sentido: 3 min ÷ 2 vueltas = 90 s por vuelta. Ese es el chequeo mental que conviene hacer siempre.
c. ω = 2πf = 2π(0.0111) = 0.0698 rad/s
Si tu resultado no coincidió, revisa las ecuaciones 2.2 a 2.5 en la diapositiva “Tres propiedades para describir la oscilación”.
Para discutir en equipo
1Dos columpios oscilan con la misma amplitud, pero uno tiene el doble de frecuencia que el otro. ¿Cuál se ve “más agitado”? ¿Por qué la frecuencia describe eso y la amplitud no?
El de mayor frecuencia. La amplitud dice qué tan lejos llega el columpio, pero no dice nada sobre el tiempo; la frecuencia dice cuántos viajes completos hace por segundo. Con la misma amplitud y el doble de frecuencia, el columpio recorre la misma distancia por ciclo en la mitad del tiempo: su rapidez máxima v_max = 2π A f se duplica y por eso se percibe agitado.
Dato para cerrar: dos oscilaciones pueden tener amplitud idéntica y verse completamente distintas, y ese es justo el motivo de tener dos variables separadas.
2Si un ventilador de techo gira más rápido, ¿su periodo aumenta o disminuye? Explica la relación con tus propias palabras, sin usar la fórmula.
Disminuye. El periodo es el tiempo que tarda una sola vuelta; si el ventilador gira más rápido, cada vuelta se completa en menos tiempo. Dicho sin fórmula: más vueltas por segundo significa menos segundos por vuelta.
Solo después de decirlo así conviene mostrar que eso es exactamente lo que dice T = 1/f: son cantidades inversas, y por eso una sube cuando la otra baja.
3¿Por qué en ingeniería (motores, discos duros, turbinas) es más útil hablar de rpm o rad/s en lugar de solo “qué tan rápido gira”?
Porque “rápido” no se puede sustituir en una ecuación. Con ω en rad/s puedes calcular directamente la aceleración centrípeta a = ω² r que soporta un álabe de turbina, la velocidad lineal v = ω r del borde de un disco, la relación de engranes entre dos ejes o si el motor va a pasar por una frecuencia de resonancia peligrosa.
Ejemplo concreto: un disco duro de 7 200 rpm son 120 rev/s (754 rad/s). Con ese número el ingeniero calcula la fuerza sobre el plato; con “gira rápido” no calcula nada.
Errores comunes
Confundir periodo y frecuencia. Muchos estudiantes usan T y f como si fueran lo mismo. Recuerda: si algo pasa muy seguido (alta frecuencia), cada ciclo dura poco tiempo (periodo bajo). Son inversos, no iguales.
Pregunta guía: si la frecuencia sube, ¿el tiempo de un ciclo sube o baja? ¿Por qué T = 1/f tiene que cumplir eso?
Baja. En T = 1/f, la frecuencia está dividiendo: si f se duplica, T se reduce a la mitad. Numéricamente: f = 2 Hz → T = 0.5 s; f = 4 Hz → T = 0.25 s. Y el chequeo de unidades lo confirma: 1/(ciclos por segundo) = segundos por ciclo.
Confundir la amplitud con la distancia total recorrida. La amplitud A es la distancia desde el equilibrio hasta un extremo, no de extremo a extremo (eso sería 2A).
Pregunta guía: si el columpio se aleja 2 m a la izquierda y 2 m a la derecha del centro, ¿cuál es su amplitud? ¿Cuánto recorre en un ciclo completo?
A = 2 m (del centro a un extremo). De extremo a extremo hay 2A = 4 m, y un ciclo completo —ir y volver— recorre 4A = 8 m, aunque el desplazamiento neto del ciclo sea cero porque termina donde empezó.
Distancia recorrida y desplazamiento no son lo mismo: esa distinción es justo la que se cae en los exámenes.
¿Para qué te sirve esto?
En ingeniería
Cuando se diseña un sistema robótico, cada motor y cada brazo mecánico tiene que describirse con estas mismas variables: frecuencia de vibración, amplitud de un error, periodo de una señal. Un ingeniero que no domina esto no puede diagnosticar por qué un brazo robótico vibra más de lo debido o por qué un sensor da lecturas erráticas.
Y algo más profundo
El MAS describe cómo un sistema siempre regresa al equilibrio después de una perturbación, gracias a una fuerza restauradora. Es una buena metáfora: las personas también nos alejamos de nuestro centro por presiones externas, y lo que nos permite regresar —nuestros valores, hábitos, comunidad— actúa como esa fuerza restauradora.
La próxima vez que te sientas “fuera de equilibrio”, pregúntate: ¿cuál es mi fuerza restauradora?
El resorte:
el MAS más famoso
La suspensión de un coche, el mecanismo de un cerrojo, la cuerda de un reloj mecánico, el resorte de un colchón: todos dependen de que un resorte, al estirarse o comprimirse, siempre “quiera” volver a su forma original.
Hoy vamos a ponerle números exactos a esa idea de “querer volver” —la Ley de Hooke— y a describir con ecuaciones dónde está, qué tan rápido se mueve y cuánta energía tiene un objeto en cualquier instante de su oscilación.
Objetivos de la sesión
- Aplicar la Ley de Hooke y la segunda ley de Newton a un sistema masa-resorte.
- Calcular la energía potencial elástica y aplicar la conservación de la energía en el MAS.
- Usar las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
- Resolver un problema completo de un sistema masa-resorte (Ejemplo 2).
MAS y la Ley de Hooke
Para iniciar el estudio del movimiento armónico simple en un resorte, analizamos un resorte con una masa atada en un extremo. Si estiramos el resorte, una fuerza de restitución lo hará volver al punto de equilibrio. Debido a la inercia del movimiento, el bloque no se detiene ahí: sigue de largo y comprime el resorte, y la fuerza de restitución vuelve a empujarlo hacia el equilibrio. En ausencia de fricción, el sistema oscila indefinidamente con la misma amplitud de ambos lados.
Figura 2.3 · El bloque oscila de un lado a otro cuando se le perturba desde su posición de equilibrio; la flecha es la fuerza que ejerce el resorte. Basada en Serway, R. y Jewett, J. (2018). Física para ciencias e ingeniería. México: Cengage Learning.
Ley de Hooke
F = fuerza que ejerce el resorte sobre el bloque, la fuerza restauradora (N) · k = constante del resorte (N/m) · x = desplazamiento desde el equilibrio (m)
El signo negativo existe porque un desplazamiento positivo (hacia la derecha) produce una fuerza en dirección contraria (hacia la izquierda), y viceversa: la fuerza siempre “empuja de regreso” al equilibrio. Por eso restauradora.
Nota de precisión: F es la fuerza del resorte, no la que tú aplicas para estirarlo. Para sostener el bloque estirado necesitas aplicar +kx, exactamente la contraria.
Refuerzo visual de 60 segundos. https://youtube.com/shorts/NINtrzegEO4
El enlace es externo a la Universidad Tecmilenio; al acceder a él considera que debes apegarte a sus términos y condiciones.
Segunda ley de Newton y energía del MAS
Si queremos saber con qué aceleración oscila la masa del resorte, usamos la segunda ley de Newton (F = ma) junto con la Ley de Hooke:
Como a = F/m y la fuerza restauradora es −kx, dividir entre la masa da la aceleración del oscilador en cada instante. Es proporcional al desplazamiento: vale cero en el equilibrio y es máxima en los extremos, donde a_max = kA/m.
Ojo con el orden: la aceleración es máxima justo donde la velocidad es cero (los extremos), y es cero donde la velocidad es máxima (el centro). No van juntas.
Energía del movimiento armónico simple
Cada vez que comprimimos o estiramos un resorte y lo soltamos, la energía que usamos para deformarlo queda guardada como energía potencial elástica y se transforma en energía cinética (energía de movimiento).
Como en el MAS ideal no hay fricción, se cumple la conservación de la energía:
x₀ = posición inicial (m) · v₀ = velocidad inicial (m/s) · x_f = posición final (m) · v_f = velocidad final (m/s)
Figura 2.4 · m = 0.25 kg, k = 25 N/m, A = 5 cm. La energía total E = ½ kA² no cambia: solo se reparte entre potencial (ámbar) y cinética (verde).
Ecuaciones de movimiento del MAS
Figura 2.5 · m = 0.180 kg, k = 4 N/m, A = 3 cm → ω = 4.714 rad/s. Fíjate en el desfase: cuando x está en un extremo, v vale cero y a es máxima.
Posición como función del tiempo
x en metros, t en segundos. Esta forma supone que el cuerpo se suelta desde el reposo en x = +A cuando t = 0, que es el caso de todos los problemas de este tema.
Velocidad como función del tiempo
La velocidad vale cero en el punto de máximo desplazamiento (la amplitud) y es máxima al pasar por el equilibrio.
Las dos dan lo mismo, porque ω = 2π f = √(k/m) y v_max = Aω.
Aceleración como función del tiempo
Unidades: posición en m, velocidad en m/s, aceleración en m/s². Consulta la Tabla 2.1 de la sesión 1 si dudas de un símbolo.
Frecuencia y periodo del sistema masa–resorte
Figura 2.6 · Laboratorio masa–resorte. La amplitud está fija en 5 cm a propósito: cámbiala mentalmente y verás que T no se mueve.
Combinando las ecuaciones anteriores, la frecuencia y el periodo de un sistema masa–resorte quedan solo en términos de la masa (m) y la constante del resorte (k):
Nota algo importante: ni la frecuencia ni el periodo dependen de la amplitud. Un resorte con la misma masa y la misma constante siempre oscila con el mismo periodo, sin importar qué tan fuerte lo estires (mientras se mantenga dentro de su rango elástico, es decir, mientras siga obedeciendo la Ley de Hooke).
Esa independencia es justo lo que hace útil a un reloj de péndulo: aunque la oscilación se vaya apagando, el ritmo no cambia.
Ejemplo 2 · Bloque y resorte
Un bloque de 180 gramos está unido a un resorte con una constante de 4 N/m y puede oscilar sin fricción. El bloque se aleja 3 cm de la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. Determina:
- El periodo de oscilación.
- La frecuencia de oscilación.
- La velocidad angular.
- La amplitud.
- El desplazamiento después de 3 segundos.
- La velocidad máxima.
- La velocidad después de 3 segundos.
- La aceleración después de 3 segundos.
Datos convertidos al SI: m = 0.180 kg, k = 4 N/m, A = 0.03 m.
a. Con la Ec. 2.20: T = 2π√(0.180/4) = 1.33 s
b. Con la Ec. 2.2: f = 1/T = 1/1.33 = 0.75 Hz
c. Con la Ec. 2.5: ω = 2πf = 2π(0.75) = 4.714 rad/s
d. La amplitud es la distancia máxima desde el equilibrio, que es justo desde donde se soltó: A = 0.03 m.
e. Con la Ec. 2.11, y la calculadora en radianes:
A los 3 s el bloque está prácticamente en el equilibrio (−0.15 mm), apenas cruzando hacia el lado negativo. Si tu calculadora estaba en grados, obtuviste 0.0299 m: revisa el modo.
f. Con la Ec. 2.13: v_max = 2πAf = 2π(0.03)(0.75) = 0.1414 m/s
g. Con la Ec. 2.12: v = −v_max sen(ωt) = −0.1414 sen(14.142) = −0.1414 m/s
Coherente con el inciso (e): si está pasando por el equilibrio, su rapidez tiene que ser la máxima. El signo indica que va hacia la izquierda.
h. Con la Ec. 2.16: a = −4π²f²x = −4π²(0.75)²(−1.49×10⁻⁴) = 3.3×10⁻³ m/s²
Casi cero, como debe ser: la aceleración es proporcional a x, y x es casi cero. Si redondeas x a −0.0001 m obtienes 2.2×10⁻³ m/s², del mismo orden; conviene arrastrar más cifras hasta el final.
Checkpoint · Tu turno
Un resorte tiene k = 9 N/m y sostiene una masa de 0.25 kg, que se estira 5 cm y se suelta desde el reposo. Antes de revelar, calcula:
- El periodo T.
- La frecuencia f.
- La velocidad máxima vmax.
a. T = 2π√(0.25/9) = 2π(0.1667) = 1.047 s
b. f = 1/T = 0.955 Hz
c. v_max = 2πAf = 2π(0.05)(0.955) = 0.300 m/s
Comprobación por energía: E = ½ kA² = ½(9)(0.05)² = 0.01125 J, y v_max = √(2E/m) = √(0.09) = 0.300 m/s. Mismo resultado por dos caminos.
Para discutir en equipo
1Si duplicas la masa del bloque pero mantienes la misma constante k, ¿el periodo aumenta o disminuye? ¿Tu intuición coincide con lo que dice T = 2π√(m/k)?
Aumenta, pero no al doble: crece en un factor √2 ≈ 1.41. Con m = 0.180 kg y k = 4 N/m el periodo es 1.33 s; con 0.360 kg pasa a 1.88 s. La intuición física coincide: más masa es más inercia, y al sistema le cuesta más trabajo frenarla y regresarla, así que cada ciclo tarda más.
La raíz cuadrada es la parte que sorprende: cuadruplicar la masa sí duplica el periodo, pero duplicarla no.
2¿Por qué la velocidad máxima ocurre exactamente en el punto de equilibrio y no en los extremos de la oscilación? Relaciónalo con la energía potencial y la cinética.
Porque la energía total E = ½ kA² es constante y se reparte entre potencial y cinética. En los extremos (x = ±A) toda la energía es potencial elástica, así que K = 0 y el bloque está momentáneamente detenido. Al pasar por el equilibrio (x = 0) la potencial vale cero —U = ½ k(0)² = 0— y toda la energía es cinética: ahí la rapidez es máxima.
Dicho con fuerzas: entre el extremo y el centro la fuerza restauradora siempre apunta hacia el centro, así que acelera al bloque en todo ese tramo; deja de acelerarlo justo al cruzar x = 0, donde la fuerza vale cero. Vuelve a la Figura 2.4 y muévela: la barra verde es máxima solo en el centro.
3Si un ingeniero automotriz quiere una suspensión “más suave” (que absorba baches sin rebotar tanto), ¿qué tendría que modificar: la masa, la constante del resorte, o ambas? Justifica con la fórmula.
La palanca real es k: bajar la constante del resorte baja la frecuencia natural f = 1/(2π)√(k/m) y hace el coche más “suave”. Aumentar la masa lograría lo mismo matemáticamente, pero es una pésima idea de ingeniería: un coche más pesado frena peor, gasta más combustible y castiga la estructura.
La segunda mitad de la pregunta es la interesante: “que no rebote” no se resuelve con el resorte, sino con el amortiguador, que aporta el rozamiento que nuestro modelo de MAS ignora a propósito. El resorte decide qué tan blanda es la suspensión; el amortiguador decide cuántas veces rebota antes de quedarse quieta.
Por eso un coche con amortiguadores gastados sigue teniendo la misma k y aun así “flota”: le falta disipación, no rigidez.
Errores comunes
Olvidar que la Ley de Hooke describe la fuerza, no la energía. Al mezclar F = −kx con U = ½kx² se acaban confundiendo signos y unidades.
Pregunta guía: ¿qué representa el signo negativo en F = −kx? ¿Tiene sentido que U = ½kx² nunca sea negativa, aunque x sí pueda serlo?
El signo negativo indica dirección: la fuerza del resorte apunta siempre al lado contrario del desplazamiento, hacia el equilibrio. La energía, en cambio, no tiene dirección —es un escalar—, y como x aparece al cuadrado, U es positiva tanto si el resorte se estira (x > 0) como si se comprime (x < 0). Deformar cuesta energía en ambos sentidos.
Chequeo de unidades: F se mide en newtons (kg·m/s²) y U en joules (N·m). Si te salió una energía en newtons, mezclaste las dos ecuaciones.
Pensar que un resorte “más estirado” oscila más rápido. El periodo del sistema masa–resorte no depende de la amplitud, solo de m y k.
Pregunta guía: en las ecuaciones 2.19 y 2.20, ¿aparece la amplitud A en algún lado? ¿Qué nos dice eso?
No aparece. Ni en f = 1/(2π)√(k/m) ni en T = 2π√(m/k) hay rastro de A, así que el ritmo de la oscilación es el mismo con 1 cm que con 10 cm de amplitud. A eso se le llama isocronía.
Lo que sí cambia con la amplitud es la rapidez: v_max = 2π A f crece proporcionalmente a A. Con más amplitud el bloque recorre más distancia en el mismo tiempo, así que va más rápido pero tarda lo mismo en completar el ciclo. “Más rápido” y “más seguido” no son lo mismo.
¿Para qué te sirve esto?
En ingeniería
Cada vez que un ingeniero calibra la suspensión de un vehículo, el mecanismo de cierre de una puerta automática o el sistema antisísmico de un edificio, está resolviendo exactamente este problema: elegir la masa y la constante correctas para que el sistema regrese al equilibrio de forma controlada, sin oscilar peligrosamente.
Los rascacielos altos llevan un amortiguador de masa sintonizada: un bloque enorme montado sobre resortes, ajustado justo para oscilar en contrafase con el edificio. Es esta sesión, a escala de 660 toneladas.
Y algo más profundo
Fuera del laboratorio, esta idea también aplica a cómo manejamos la presión: la “constante” de tu resiliencia —tus hábitos, tu red de apoyo— determina qué tan rápido regresas a tu equilibrio después de un problema y qué tan violenta es esa recuperación.
Entender el sistema te da el poder de diseñarlo mejor, ya sea un puente o tu propia rutina.
Del péndulo
a la onda
Antes de que existieran los relojes de cuarzo, la humanidad calibró siglos de tiempo con un solo objeto: una cuerda y una masa colgando. Los relojes de péndulo dominaron la medición del tiempo durante casi 300 años, y su precisión dependía de una sola ecuación que verás hoy.
Después saltaremos de “algo que oscila en un punto” a “algo que viaja”: las ondas. Desde una cuerda de guitarra hasta un terremoto, todas comparten el mismo vocabulario: cresta, valle, amplitud y longitud de onda.
Objetivos de la sesión
- Calcular la frecuencia y el periodo de un péndulo simple.
- Identificar las partes de una onda: cresta, valle, amplitud y longitud de onda.
- Distinguir ondas transversales de longitudinales.
- Calcular la velocidad de propagación de una onda en una cuerda.
El péndulo simple
Figura 2.7 · Péndulo simple. Cuando θ es pequeño (menos de unos 15°), su movimiento se modela como un MAS alrededor de θ = 0. Basada en Serway, R. y Jewett, J. (2018). Física para ciencias e ingeniería. México: Cengage Learning.
El péndulo consiste en una cuerda de longitud L y un cuerpo de masa m. La longitud del arco x que recorre el cuerpo desde el centro está dada por x = Lθ, así que al sustituir x en la Ley de Hooke (Ec. 2.7) la fuerza queda como F = −kLθ.
El peso del cuerpo es W = mg, con g = 9.81 m/s². La componente del peso que mueve al cuerpo a lo largo del arco es F = −mg sen θ y, cuando el ángulo θ es pequeño, sen θ ≈ θ, por lo que F ≈ −mgθ.
Combinando ambas expresiones: −kLθ = −mgθ, de donde k/m = g/L. Sustituyendo en f = 1/(2π)√(k/m):
El número 0.4985 ya trae adentro la gravedad terrestre: es √(9.81)/2π. Solo sirve en la Tierra; en la Luna hay que volver a la Ec. 2.21 completa.
Dato clave
En un péndulo no importa la masa: la frecuencia y el periodo dependen únicamente de la longitud de la cuerda y de la aceleración gravitacional. La masa se cancela porque es a la vez la que pesa (fuerza) y la que se resiste a moverse (inercia).
La aproximación sen θ ≈ θ es lo que hace válido todo esto: con θ = 10° el error es de 0.1 %; con θ = 45° ya se pasa del 4 % y el péndulo deja de ser un MAS honesto.
Ejemplo 3 · El reloj de péndulo
Un arquitecto está calibrando un reloj de péndulo para un edificio histórico. El péndulo tiene una longitud de 2 metros y, para asegurar la precisión del reloj, el arquitecto necesita calcular la frecuencia y el periodo.
a. Con la Ec. 2.21: f = 0.4985 √(1/2) = 0.3525 Hz
b. Con la Ec. 2.2: T = 1/f = 1/0.3525 = 2.837 s
Comprobación directa con la Ec. 2.22: T = 2π√(2/9.81) = 2.837 s. Mismo resultado por los dos caminos.
?Para pensar (en equipo): si el arquitecto llevara este mismo reloj a la Luna (donde g ≈ 1.62 m/s²), ¿el reloj adelantaría o atrasaría? Usa la Ec. 2.22 para justificar tu respuesta.
Atrasaría, y muchísimo. En la Ec. 2.22 la gravedad está en el denominador dentro de la raíz: si g baja, T sube. En la Luna:
Cada oscilación tardaría 6.98 s en lugar de 2.837 s, es decir 2.46 veces más. Un reloj calibrado para la Tierra marcaría una hora cuando en realidad habrían pasado casi dos horas y media.
El mismo razonamiento, en pequeño, explica por qué un reloj de péndulo se atrasa unos segundos al día si lo subes a una montaña alta: allá arriba g es ligeramente menor. Los relojeros del siglo XIX ajustaban la longitud de la varilla ciudad por ciudad.
Anatomía de una onda
Figura 2.8 · Anatomía de una onda. La amplitud se mide en vertical (del equilibrio a la cresta) y la longitud de onda en horizontal (de cresta a cresta).
Cresta
El desplazamiento máximo positivo desde el punto de equilibrio.
Valle
El desplazamiento máximo negativo desde el punto de equilibrio.
Amplitud (A)
La distancia desde el punto de equilibrio hasta la cresta. De cresta a valle hay 2A.
Longitud de onda (λ)
La distancia de cresta a cresta o de valle a valle: corresponde a un ciclo completo. Se mide en metros.
Periodo y frecuencia siguen significando lo mismo que en la sesión 1, solo que ahora se miden en un punto fijo del medio: T es lo que tarda en pasar un ciclo completo por ahí, y f cuántos ciclos pasan por segundo.
Ondas mecánicas: transversales y longitudinales
Una onda mecánica es aquella que requiere un medio material para propagarse: el sonido necesita el aire (o el agua, o el acero) para viajar, y las olas del mar necesitan agua. Existen dos tipos según cómo vibran las partículas del medio respecto a la dirección en que avanza la onda.
Onda transversal
Las partículas del medio vibran de forma perpendicular a la dirección en que se mueve la onda. Ejemplo: un entrenador de crossfit con cuerdas ancladas a la pared — al subir y bajar los brazos se forman ondas que se desplazan hacia la pared, pero cada punto de la cuerda solo sube y baja.
Figura 2.9a · La onda viaja →, la partícula marcada solo sube y baja ↑↓.
Onda longitudinal
Las partículas del medio vibran en la misma dirección en que avanza la onda, formando zonas de compresión y de expansión (rarefacción). Ejemplo: el aire empujado por las cuerdas vocales al hablar.
Figura 2.9b · La onda viaja →, la partícula marcada va y viene ←→ sin avanzar con ella.
Basado en Serway, R. y Jewett, J. (2018). Física para ciencias e ingeniería. México: Cengage Learning. En ambos casos la onda transporta energía, no materia: el corcho que flota en el mar sube y baja, pero no llega a la playa.
Las dos ondas en un resorte real. https://youtube.com/shorts/15a2i3HgnPY
El enlace es externo a la Universidad Tecmilenio; al acceder a él considera que debes apegarte a sus términos y condiciones.
Velocidad de una onda
La fórmula general para la velocidad de una onda sinusoidal relaciona su longitud de onda con su frecuencia:
v = velocidad (m/s) · λ = longitud de onda (m) · f = frecuencia (Hz)
Y si en vez de la frecuencia conocemos el periodo:
No siempre conocemos la frecuencia o la longitud de onda. En esos casos la velocidad se calcula a partir del medio: para una cuerda, con la fuerza de tensión que actúa sobre ella (FT) y su densidad lineal (masa por unidad de longitud).
m = masa de la cuerda (kg) · L = longitud de la cuerda (m) · μ en kg/m · FT en newtons
Una cuerda de guitarra se desafina al cambiar su tensión: cambiar FT cambia la velocidad de propagación y, con ella, la frecuencia de vibración. La afinación es esa frecuencia. Por eso las cuerdas graves son las más gruesas: más μ, menos v, menos f.
Figura 2.10 · Laboratorio de cuerda. El pulso viaja más rápido con más tensión y más lento con una cuerda más pesada.
Ejemplo 4 · El puente colgante
Un ingeniero está diseñando un sistema de cables para un puente colgante. Uno de los cables mide 4 metros de longitud y tiene una masa de 100 kg. El cable está sometido a una tensión de 17 000 N. ¿A qué velocidad se propaga una onda a lo largo del cable? Si el cable completa 3 ciclos de vibración en 2 segundos, ¿cuál es la longitud de onda de la vibración?
1. Densidad lineal con la Ec. 2.25:
2. Velocidad con la Ec. 2.26:
3. La frecuencia sale del dato “3 ciclos en 2 segundos”: f = 3/2 = 1.5 Hz. Despejando λ de la Ec. 2.23:
Detalle honesto: la longitud de onda (17.4 m) es más de cuatro veces la longitud del cable (4 m). Matemáticamente el resultado es correcto, pero significa que en ese cable no cabe ni un ciclo completo: en la sesión 5 verás que un cable fijo en los dos extremos solo puede vibrar con λ = 2L/n, es decir 8 m, 4 m, 2.67 m… Este ejercicio entrena el uso de las fórmulas; la restricción física llega al final del tema.
Un caso real: ondas sísmicas
Las ondas sísmicas se clasifican en de cuerpo, que viajan por el interior de la Tierra (ondas P y ondas S), y superficiales, que viajan por la superficie (ondas Love y Rayleigh).
- Ondas P (primarias): longitudinales, las más rápidas (≈ 6 km/s en la corteza). Son las primeras en llegar y las menos destructivas.
- Ondas S (secundarias): transversales, más lentas (≈ 3.5 km/s). Sacuden de lado y hacen la mayor parte del daño junto con las superficiales.
A decir de Griem (2020), la velocidad de propagación de las ondas P y S depende de propiedades de las rocas como:
Figura 2.11 · Tipos de ondas sísmicas y sus tiempos de llegada. Clasificación según el Instituto Geográfico Nacional de la República Argentina; velocidades típicas de corteza continental.
https://youtube.com/shorts/-YbOKE1PBuE
El enlace es externo a la Universidad Tecmilenio; al acceder a él considera que debes apegarte a sus términos y condiciones.
Distancia al epicentro contra tiempos de llegada, con vP = 6.0 km/s y vS = 3.5 km/s.
Checkpoint · Tu turno
Una cuerda de 2.5 m de longitud tiene una masa de 50 g y está sometida a una tensión de 60 N. Antes de revelar, calcula:
- La densidad lineal μ.
- La velocidad de propagación de la onda.
a. 50 g = 0.050 kg, así que μ = 0.050 / 2.5 = 0.02 kg/m
b. v = √(60/0.02) = √3000 = 54.77 m/s
Son justo los valores que trae por defecto el laboratorio de la Figura 2.10: regresa dos diapositivas y compáralo.
Para discutir en equipo
1¿Por qué las ondas P (longitudinales) siempre llegan antes que las ondas S (transversales) a un sismógrafo? Piensa en cómo se transmite cada tipo de onda a través de la roca.
Porque cada una “usa” una resistencia distinta de la roca. La onda P avanza comprimiendo y expandiendo el material, y la roca se resiste muchísimo a que le cambien el volumen: su velocidad depende del módulo de volumen más el de corte, v_P = √((B+4/3 S)/ρ). La onda S avanza cortando, deslizando capas de lado, y ahí la roca es mucho menos rígida: v_S = √(S/ρ).
Como el numerador de vP es siempre mayor, la P siempre gana: en la corteza va a unos 6 km/s contra 3.5 km/s de la S, cerca de 1.7 veces más rápido. Por eso se llaman primaria y secundaria: no por su importancia, sino por el orden de llegada.
Dato extra: las ondas S no pueden atravesar líquidos, porque un líquido no resiste el corte. Esa “sombra” de ondas S es la evidencia de que el núcleo externo de la Tierra es líquido.
2Un guitarrista aprieta más la clavija de una cuerda. ¿Qué le pasa a la tensión, a la velocidad de la onda y a la frecuencia? ¿Sube o baja el tono?
Apretar la clavija aumenta la tensión FT. Por la Ec. 2.26, v = √(F_T/μ) aumenta. Como la longitud de la cuerda y su densidad no cambiaron, la longitud de onda del modo fundamental sigue siendo la misma (λ = 2L), así que por v = λf la frecuencia aumenta: el tono sube.
Con números: cuadruplicar la tensión duplica la velocidad y duplica la frecuencia, es decir sube el tono una octava. Y al revés: la cuerda más grave de la guitarra es la más gruesa porque un μ mayor baja v y con ella la frecuencia.
3Si las ondas P llegan primero, ¿qué tan útil sería un sistema que detecte esa primera onda y envíe una alerta antes de que lleguen las ondas S, más destructivas? ¿Conoces algún sistema así en México?
Es exactamente el principio del SASMEX, el Sistema de Alerta Sísmica Mexicano, en operación desde 1991. Sensores en la costa de Guerrero y Oaxaca detectan la onda P, un algoritmo estima la magnitud en segundos y la alerta viaja por radio —a la velocidad de la luz— mientras las ondas destructivas siguen avanzando a unos pocos kilómetros por segundo.
La ventaja depende de la distancia: usa el simulador de la Figura 2.11. A 300 km del epicentro hay unos 36 s entre la P y la S; a 100 km, unos 12 s; y muy cerca del epicentro, prácticamente cero (por eso ninguna alerta protege a quien está justo encima). Con 30 segundos se puede detener un metro, cerrar una válvula de gas, parar un quirófano y evacuar una planta baja.
Errores comunes
Pensar que el péndulo oscila más rápido si pesa más. La masa no aparece en las ecuaciones 2.21 ni 2.22.
Pregunta guía: si colgamos una piedra de 1 kg y otra de 5 kg de la misma cuerda, ¿oscilarán con el mismo periodo?
Sí, exactamente el mismo. En T = 2π√(L/g) solo entran la longitud y la gravedad. Con L = 2 m, las dos piedras tardan 2.837 s por oscilación.
La razón física: al duplicar la masa se duplica la fuerza que la jala hacia el centro (el peso, mg), pero también se duplica su inercia (m). Los dos efectos se cancelan exactamente, igual que en la caída libre, donde todos los cuerpos caen con la misma aceleración.
Lo que sí cambia el periodo es alargar la cuerda o cambiar de planeta.
Confundir el movimiento de las partículas del medio con el movimiento de la onda. En una onda transversal las partículas suben y bajan, pero no viajan con la onda.
Pregunta guía: cuando una ola pasa bajo un corcho que flota en el mar, ¿el corcho viaja horizontalmente con la ola o solo sube y baja en su lugar?
Solo sube y baja (en el mar describe además un pequeño círculo, pero sin avanzar). Lo que viaja es la perturbación, no el agua: la onda transporta energía, no materia.
La prueba cotidiana: si el agua viajara con la ola, el mar se vaciaría en la playa. Y en el estadio, la “ola” recorre las gradas mientras cada persona solo se para y se sienta en su lugar.
¿Para qué te sirve esto?
Segundos que salvan vidas
Los sistemas de alerta sísmica temprana en México funcionan exactamente con la física que viste hoy: detectan las ondas P (más rápidas, menos dañinas) y calculan cuánto falta para que lleguen las ondas S, dando a millones de personas segundos valiosos para reaccionar. Esa tecnología existe porque alguien entendió a fondo la velocidad de propagación de las ondas.
Y algo más profundo
Entender las señales de advertencia —físicas, emocionales o sociales— y actuar antes de que llegue “la onda grande” es una habilidad que trasciende la física.
La ciencia no solo te da fórmulas: te entrena para anticipar y actuar con la información que ya tienes disponible.
El sonido de una ambulancia
que se acerca
Seguramente has notado que el sonido de la sirena de una ambulancia cambia de tono cuando se acerca y cuando se aleja de ti. Ese fenómeno, tan común que casi no lo notamos, tiene nombre y una explicación matemática precisa: el efecto Doppler.
Hoy profundizamos en las ondas sonoras: cómo viajan en distintos medios, qué tan “fuertes” pueden ser y por qué cambian de tono cuando hay movimiento relativo entre la fuente y quien escucha.
Objetivos de la sesión
- Calcular la velocidad del sonido en distintos medios (fluidos, sólidos, gases).
- Calcular la intensidad de una onda sonora.
- Explicar y calcular el efecto Doppler en sus tres casos.
El sonido es una onda longitudinal
Figura 2.12 · Onda de sonido: zonas de compresión (moléculas juntas, presión alta) y de rarefacción (moléculas separadas, presión baja). Abajo, la misma onda dibujada como variación de presión, donde se leen su longitud de onda y su amplitud.
Las ondas sonoras son ondas mecánicas que, aunque pueden viajar en cualquier material, se propagan más comúnmente a través del aire, lo que las hace perceptibles para el ser humano. Son ondas longitudinales: las moléculas vibran en la misma dirección en que avanza la onda. Una fuente sonora emite una sucesión de compresiones y expansiones del medio que se mueven en esa misma dirección.
Consecuencia directa de necesitar un medio: en el vacío no hay sonido. Las explosiones que se oyen en las películas del espacio son licencia artística.
Para calcular la velocidad de una onda longitudinal necesitamos dos ingredientes: una medida de la rigidez del medio (el módulo elástico, que hace el papel de fuerza restauradora) y un factor inercial (la densidad del medio, que se resiste al movimiento).
Es la misma estructura que ya viste en la cuerda: v = √(F_T/μ), tensión (rigidez) entre densidad lineal (inercia). Solo cambian los ingredientes según el medio. Por eso la velocidad del sonido en el aire a temperatura ambiente es 343 m/s, pero en cualquier otro medio a esa misma temperatura es distinta.
Velocidad del sonido en distintos medios
En un fluido
B = módulo de volumen (Pa) · ρ = densidad del fluido (kg/m³)
En una varilla metálica
Y = módulo de Young (Pa) · ρ = densidad del metal (kg/m³)
En un gas
γ = constante adiabática (1.4 para el aire) · P = presión (Pa) · R = 8.314 J/(mol·K) · T = temperatura absoluta (K) · M = masa molar en kg/mol (0.029 kg/mol para el aire)
En un sólido extendido
B = módulo de volumen (Pa) · S = módulo de corte (Pa) · ρ = densidad (kg/m³)
Figura 2.13 · Velocidad del sonido en varios medios (Serway y Jewett, 2018). Cuanto más rígido el medio, más rápido viaja el sonido, aunque sea más denso.
Dos avisos de unidades
En la Ec. 2.31, T va en kelvin (K = °C + 273.15) y M es la masa molar en kg/mol, no “la masa molecular en mol”. Con aire a 20 °C: v = √(1.4(8.314)(293)/0.029) = 343 m/s, justo el valor de tabla.
La Ec. 2.29 (varilla) y la 2.32 (sólido extendido) dan valores distintos para el mismo metal: en una varilla delgada el material puede ensancharse de lado, en un bloque enorme no. Por eso conviene fijarse en la geometría antes de elegir fórmula.
La velocidad del sonido en el aire también depende de la temperatura: sube unos 0.6 m/s por cada grado centígrado. A 0 °C son 331 m/s y a 20 °C, 343 m/s. En los problemas de este tema usamos siempre V = 343 m/s salvo que el enunciado diga otra cosa.
Ejemplo 5 · Cables de cobre
En la industria de telecomunicaciones los cables de cobre son esenciales para la transmisión de señales. Determina la velocidad del sonido en un cable de cobre con módulo de Young de 110×10⁹ Pa y una densidad de 8 960 kg/m³.
Un cable es una varilla metálica, así que usamos la Ec. 2.29:
Más de diez veces la velocidad del sonido en el aire, con el mismo fenómeno físico detrás: el cobre es mucho más rígido que el aire, y esa rigidez gana sobre el hecho de ser mucho más denso. El valor de tabla para una varilla de cobre es 3 560 m/s: la diferencia viene de que Y varía un poco según la aleación y el temple.
Intensidad del sonido
Dependiendo de las propiedades de la onda sonora —sobre todo frecuencia e intensidad— es el tipo de sonido que escuchamos. Las frecuencias audibles para el ser humano van de 20 Hz a 20 kHz. Por debajo de 20 Hz están las ondas infrasónicas y por encima de 20 kHz las ultrasónicas.
La intensidad del sonido es lo que percibimos como volumen: es la potencia que la onda transporta por cada metro cuadrado de superficie que atraviesa.
I = intensidad (W/m²) · P = potencia (W) · A = área que atraviesa la onda (m²)
Intensidad mínima audible (a 1 000 Hz)
I₀ = 1×10⁻¹² W/m²Umbral de dolor
I_p = 1 W/m²Por encima de esa intensidad máxima tolerable, la onda causa dolor y daño auditivo.
Figura 2.14 · La escala de decibeles comprime doce órdenes de magnitud en un número manejable de 0 a 120.
Complemento · el decibel
Como el oído humano abarca desde 10⁻¹² hasta 1 W/m², se usa una escala logarítmica, el nivel de intensidad sonora:
Cada +10 dB es multiplicar la intensidad por 10; cada +3 dB, duplicarla. Un concierto a 110 dB tiene diez mil millones de veces la intensidad del umbral de audición.
Por qué cambia el tono de la sirena
Figura 2.15 · Efecto Doppler: las ondas se comprimen frente al vehículo en movimiento y se expanden detrás de él. La sirena emite siempre a 700 Hz; lo que cambia es lo que llega a cada oyente.
Un fenómeno muy interesante relacionado con el sonido es el efecto Doppler: explica por qué, al escuchar una ambulancia que se acerca, el sonido se percibe más agudo, mientras que cuando se aleja se vuelve más grave.
Serway y Jewett (2018) lo describen como el cambio en la frecuencia percibida por un observador cuando hay movimiento relativo entre la fuente de ondas sonoras y quien escucha.
Si estuvieras parado frente a un vehículo policial, las ondas de la sirena se irían juntando a medida que avanza el automóvil. Al juntarse, la frecuencia que te llega aumenta y el sonido se escucha agudo. Cuando el vehículo pasa justo frente a ti lo escuchas en su frecuencia de emisión, y al alejarse las ondas se separan cada vez más, dando una frecuencia menor: un sonido grave.
Clave para no perderse: la velocidad del sonido no cambia. El medio es el mismo aire de siempre. Lo que cambia es cuántos frentes de onda te alcanzan por segundo.
Los tres casos del efecto Doppler
1 · Emisor en movimiento
Signo + cuando el emisor se aleja del oyente; signo − cuando se acerca.
fL = frecuencia que escucha el oyente (Hz) · V = velocidad del sonido (343 m/s en aire) · vE = velocidad del emisor (m/s) · fE = frecuencia emitida (Hz)
2 · Oyente en movimiento
Signo + cuando el oyente se acerca al emisor; signo − cuando se aleja.
vL = velocidad del oyente (m/s).
3 · Ambos en movimiento
Numerador: + si el oyente se acerca, − si se aleja. Denominador: + si el emisor se aleja, − si se acerca.
Regla de oro para no equivocarte de signo
Antes de sustituir, decide con la intuición: si la distancia entre emisor y oyente disminuye, fL > fE (más agudo); si aumenta, fL < fE (más grave). Elige el signo que produce ese resultado y comprueba al final. Un acercamiento que te dé una frecuencia menor que la emitida es, siempre, un signo equivocado.
Ejemplo 6 · La ambulancia
Una ambulancia que viaja a 30 m/s se aproxima a un peatón a velocidad constante y luego se aleja de él. La sirena emite ondas sonoras con una frecuencia de 700 Hz. ¿Qué frecuencia escucha el peatón cuando la ambulancia se aproxima y cuando se aleja?
Quien se mueve es el emisor, así que usamos la Ec. 2.34. Datos: vE = 30 m/s, fE = 700 Hz, V = 343 m/s.
a. La ambulancia se acerca (signo negativo en el denominador):
767 Hz > 700 Hz → el peatón escucha un sonido agudo.
b. La ambulancia se aleja (signo positivo en el denominador):
644 Hz < 700 Hz → el peatón escucha un sonido grave.
El salto total al pasar frente a ti es de 767 a 644 Hz: casi tres semitonos de golpe, y por eso se nota tanto. Comprueba los dos números en el simulador de la Figura 2.15 con vE = 30 m/s.
Checkpoint · Tu turno
Un tren emite un silbato de 500 Hz mientras viaja a 20 m/s alejándose de una persona parada en el andén. Antes de revelar, calcula la frecuencia que escucha la persona (V = 343 m/s).
El emisor se aleja, así que va el signo positivo en el denominador de la Ec. 2.34:
472.4 Hz < 500 Hz: la persona escucha un sonido más grave que el emitido, como se espera cuando la fuente se aleja.
Para discutir en equipo
1¿Por qué el efecto Doppler se usa también en radares de velocidad y en ultrasonidos médicos (como el ecocardiograma)? ¿Qué tienen en común esas aplicaciones con la sirena de la ambulancia?
En los tres casos hay movimiento relativo entre una fuente de ondas y un receptor, y ese movimiento corre la frecuencia. La diferencia es que el radar y el ultrasonido usan el efecto al revés: en lugar de escuchar y deducir el tono, emiten una onda de frecuencia conocida, la rebotan contra el objeto y miden el corrimiento de la que regresa. De ese Δf despejan la velocidad.
El radar de tránsito rebota microondas contra tu coche; el ecocardiograma rebota ultrasonido contra los glóbulos rojos y pinta de rojo y azul la sangre que se acerca y la que se aleja del transductor. Es la misma ecuación con otra onda.
Y en astronomía: la luz de una galaxia que se aleja llega con frecuencia menor —corrida al rojo—, que es como se descubrió que el universo se expande.
2Si tanto el emisor como el oyente se mueven en la misma dirección y a la misma velocidad, ¿qué frecuencia escuchará el oyente? Justifica usando la Ec. 2.36.
Exactamente la misma que se emite: fL = fE. Con el oyente detrás acercándose (+ arriba) y el emisor adelante alejándose (+ abajo), y con vL = vE = v:
La razón física es más clara que el álgebra: si los dos viajan igual, la distancia entre ellos nunca cambia y no hay movimiento relativo. Por eso no oyes ningún corrimiento en la sirena de la ambulancia si vas justo detrás de ella a la misma velocidad, ni cambia el tono del motor de tu propio coche cuando aceleras en carretera.
Cuidado: esto vale solo si van en la misma dirección y en el mismo sentido. Si uno va hacia el otro, las velocidades se suman y el corrimiento es el mayor de todos.
3¿Por qué la intensidad del sonido se mide en una escala tan amplia (de 10⁻¹² a 1 W/m²) en lugar de una escala lineal simple como los metros?
Porque el oído abarca doce órdenes de magnitud: el sonido más fuerte tolerable es un billón de veces más intenso que el más débil audible. Una escala lineal sería inservible —tendrías que escribir 0.000000000001 y 1 en el mismo eje— y además no se parecería a lo que oímos: la percepción es aproximadamente logarítmica, así que duplicar la intensidad no se percibe como “el doble de fuerte”.
Por eso se usa el decibel, β = 10 log(I/I₀), que convierte ese rango gigantesco en una escala cómoda de 0 a 120 dB. Es la misma solución que la escala de Richter para sismos o el pH para la acidez: cuando el rango es enorme, se usan logaritmos.
Errores comunes
Confundir cuándo usar + y − en las fórmulas de Doppler. Es el error más frecuente de todo el tema.
Pregunta guía: antes de sustituir números, ¿el sonido debería escucharse más agudo o más grave en esta situación? Si tu resultado no coincide con esa intuición, ¿qué revisas?
Se revisa el signo, no la calculadora. El criterio es único y no hay que memorizar cuatro casos: si la distancia entre emisor y oyente disminuye, fL tiene que salir mayor que fE; si aumenta, menor.
Truco operativo: para que una fracción crezca, el denominador debe achicarse. Por eso, cuando el emisor se acerca, va V − vE. Y para que el oyente que se acerca oiga más agudo, el numerador debe crecer: V + vL.
Pensar que la velocidad del sonido cambia porque la fuente se mueve. V = 343 m/s depende del medio (aire, su temperatura), no de si la fuente o el oyente se mueven. Lo que cambia es la frecuencia percibida.
Pregunta guía: en las ecuaciones 2.34 a 2.36, ¿la V cambia de valor en algún caso? ¿Qué es lo que realmente varía?
V nunca cambia en las tres ecuaciones: es siempre 343 m/s si el medio es aire a temperatura ambiente. Lo que varía es fL, la frecuencia que llega al oyente, y con ella la longitud de onda del sonido que se le acerca.
Visto en la Figura 2.15: los círculos siguen creciendo todos a la misma rapidez —por eso son círculos concéntricos y no óvalos—, solo que sus centros están corridos porque el emisor se movió entre una emisión y la siguiente. Adelante quedan más juntos (λ menor, f mayor) y atrás más separados (λ mayor, f menor).
Caso extremo: si el emisor viaja a la velocidad del sonido, los frentes se amontonan en un solo frente y se forma la onda de choque del estampido sónico. Mueve el deslizador a 120 m/s y verás cómo empiezan a apretarse.
¿Para qué te sirve esto?
Una ecuación, tres profesiones
El efecto Doppler no es solo curiosidad: los médicos lo usan para medir el flujo sanguíneo con ultrasonido, los astrónomos para saber si una galaxia se aleja o se acerca (el corrimiento al rojo) y los radares de tránsito para saber a qué velocidad vas en la carretera. Una sola ecuación aplicada en medicina, astronomía y seguridad vial.
Y algo más profundo
La forma en que percibimos algo depende de nuestra posición y de nuestro movimiento relativo a ese algo, no solo de lo que esa cosa “realmente es”. La sirena siempre emitió 700 Hz; lo que cambió fue dónde estabas tú.
Antes de juzgar una situación —o a una persona— como buena o mala, vale la pena preguntarte desde qué posición la estás percibiendo.
Por qué un piano y una
flauta suenan distinto
Una cuerda de piano y el tubo de una flauta producen sonido de formas muy distintas, pero ambos dependen del mismo fenómeno: ondas estacionarias que rebotan dentro de un espacio confinado y se refuerzan entre sí solo en frecuencias muy específicas, llamadas frecuencias de resonancia.
Esta es la última sesión del Tema 2. Vamos a cerrar el círculo: desde el MAS de la sesión 1 hasta el instrumento musical completo.
Objetivos de la sesión
- Identificar nodos y antinodos en una onda estacionaria.
- Calcular las frecuencias de resonancia (armónicas) en una cuerda.
- Calcular las frecuencias de resonancia en tubos abiertos y cerrados.
- Integrar todo el Tema 2 en un cierre conceptual.
Ondas que no viajan
Figura 2.16 · Dos ondas idénticas viajando en sentidos opuestos (líneas tenues) suman una onda estacionaria (línea clara). Los nodos nunca se mueven; los antinodos oscilan con amplitud 2A.
Hasta ahora hemos visto ondas que se propagan de un punto a otro. Ahora nos enfocaremos en ondas que no se propagan: las ondas estacionarias.
Cuando se perturba una cuerda tensa sujeta por sus extremos, la onda que se forma viaja hacia un extremo, se refleja invertida y regresa. Quedan entonces dos ondas idénticas viajando en sentidos opuestos, que se suman punto por punto.
Nodo y antinodo, sin confusión
Nodo: punto donde las dos ondas llegan siempre en oposición —la cresta de una coincide con el valle de la otra—. La interferencia es destructiva y ese punto permanece inmóvil.
Antinodo: punto donde las dos ondas llegan en fase —cresta con cresta y valle con valle—. La interferencia es constructiva y ese punto oscila con la amplitud máxima, el doble de la de cada onda.
Nota: en algunos materiales de apoyo esta pareja aparece intercambiada. La regla correcta es la de arriba y se comprueba en la figura: donde la línea clara nunca se separa del eje hay un nodo (destructiva); donde llega más alto y más bajo hay un antinodo (constructiva).
Entre dos nodos consecutivos hay siempre media longitud de onda (λ/2), y un antinodo justo a la mitad. Esa es toda la geometría que necesitas para las ecuaciones que siguen.
Resonancia y armónicas
Una cuerda sujeta por los dos extremos no puede vibrar de cualquier manera: solo las ondas cuyos nodos caen justo en los extremos “sobreviven” al rebote y se refuerzan a sí mismas. A esas frecuencias privilegiadas se les llama frecuencias de resonancia o armónicas.
La resonancia ocurre cuando una fuerza externa excita al sistema justo con una de esas frecuencias: entonces cada empujón llega en el momento preciso, la energía se acumula ciclo tras ciclo y la amplitud crece mucho. Es lo mismo que empujar un columpio al ritmo correcto.
Precisión importante: la resonancia no consiste en que ondas de frecuencias distintas se junten y produzcan una nueva frecuencia. Lo que la produce es la coincidencia entre la frecuencia de excitación y una frecuencia natural del sistema; lo que crece entonces es la amplitud, no la frecuencia.
La frecuencia de resonancia más baja se llama frecuencia natural o fundamental y corresponde a un solo antinodo. Si hay más antinodos, la frecuencia de resonancia es mayor.
| Nombre | n | Antinodos | Frecuencia |
|---|---|---|---|
| Frecuencia natural (1.ª armónica) | 1 | 1 | f₁ |
| 2.ª armónica | 2 | 2 | 2f₁ |
| 3.ª armónica | 3 | 3 | 3f₁ |
| n-ésima armónica | n | n | n·f₁ |
Tabla 2.2 · Armónicas de una cuerda fija en ambos extremos. Cada armónica añade un antinodo y sube la frecuencia en un múltiplo entero de la fundamental.
Un instrumento real nunca suena en una sola armónica: toca la fundamental y varias superiores a la vez. La mezcla particular de armónicas es lo que llamamos timbre, y es la razón por la que un piano y una flauta que tocan la misma nota se distinguen sin ver quién toca.
Frecuencias de resonancia en una cuerda
Figura 2.17 · Cuerda de L = 0.9 m con v = 285.7 m/s (los datos del Ejemplo 7). Los puntos marcan los nodos.
Si en la cuerda cabe un solo antinodo, la longitud de onda es el doble de la longitud de la cuerda (la cuerda contiene medio ciclo). Conforme la frecuencia aumenta hay más antinodos y la longitud de onda se acorta:
Usando f = v/λ junto con la Ec. 2.37:
Y si expresamos la velocidad de propagación como en la Ec. 2.26:
En las ecuaciones 2.37 a 2.39, n = 1 es la frecuencia natural, n = 2 la segunda armónica, n = 3 la tercera, y así con todos los enteros positivos.
Ejemplo 7 · La cuerda de un piano
Una cuerda de piano tiene una longitud de 0.9 m y una masa de 7.5 g, y se encuentra bajo una tensión de 680 N. Encuentra: a) la frecuencia de la segunda armónica, b) la velocidad de propagación, c) la longitud de onda y d) la intensidad de la onda si su amplitud es de 1.8 mm.
Datos en el SI: L = 0.9 m, m = 0.0075 kg, FT = 680 N, A = 0.0018 m.
Primero la densidad lineal (Ec. 2.25): μ = 0.0075/0.9 = 0.00833 kg/m
a. Con la Ec. 2.39, para n = 2:
b. Con la Ec. 2.26:
c. Con la Ec. 2.37, para n = 2:
Comprobación cruzada: v = λf = (0.9)(317.4) = 285.7 m/s. Cierra con el inciso (b).
d. Aplicando la fórmula de intensidad de una onda sinusoidal, I = 2π² vρ f² A², con la densidad del aire a nivel del mar (ρ = 1.225 kg/m³):
Antes de guardar ese número, revísalo
2 250 W/m² son más de 2 000 veces el umbral de dolor (1 W/m², sesión 4). Ningún piano del mundo produce eso: es una señal de que el resultado no describe un sonido real. El motivo es que la fórmula mezcla dos medios distintos —la velocidad de la onda en la cuerda (285.7 m/s) con la densidad del aire (1.225 kg/m³)—, y una intensidad solo tiene sentido con las propiedades de un mismo medio.
Lo que sí describe correctamente a esta cuerda es la potencia que transporta la onda a lo largo de ella, P = ½ μ v ω² A², con ω = 2πf₂ = 1 994 rad/s:
Sigue siendo mucho, porque 1.8 mm es una amplitud enorme para una cuerda de piano (las reales rondan las décimas de milímetro) y porque la cuerda entrega su energía en una fracción de segundo. Resuelve el inciso como lo pide la plataforma, pero llévate la lección: un resultado que contradice un límite físico conocido siempre merece una segunda mirada.
Ondas estacionarias en un cilindro
La frecuencia de resonancia de una cuerda depende de su masa, su longitud y su tensión. En un cilindro —una trompeta, una flauta, un órgano— lo que vibra es la columna de aire, y la frecuencia depende de las dimensiones internas del tubo, su longitud y de si está abierto o cerrado.
Figura 2.18 · Tubo de L = 0.22 m (la flauta del Ejemplo 8) con v = 343 m/s. Los extremos abiertos siempre llevan antinodo; el cerrado, nodo.
Tubo abierto
Ambos extremos del cilindro están abiertos (como en una flauta). El aire puede moverse libremente en los dos extremos, así que ahí hay antinodos y en el tubo caben todos los múltiplos enteros de media longitud de onda.
Tubo cerrado
Un extremo está tapado. En el extremo cerrado el aire no puede moverse: ahí hay siempre un nodo. En el extremo abierto hay un antinodo. Entre un nodo y el antinodo más cercano cabe un cuarto de onda, así que solo funcionan los múltiplos impares de λ/4.
Ejemplo 8 · La flauta
Un fabricante de instrumentos está diseñando una flauta y necesita calcular la frecuencia fundamental de la onda sonora que viaja en su tubo. La flauta se toca en aire a temperatura ambiente y mide 22 cm. Quiere conocer la frecuencia fundamental tanto si tiene un extremo cerrado como si ambos extremos están abiertos.
El sonido se propaga en aire a temperatura ambiente con v = 343 m/s, y L = 22 cm = 0.22 m.
a. Tubo cerrado, fundamental (n = 1), con la Ec. 2.43:
b. Tubo abierto, fundamental (n = 1), con la Ec. 2.41:
El tubo cerrado suena exactamente una octava más grave que el abierto de la misma longitud: la mitad de la frecuencia. Por eso, para dar la misma nota, un instrumento cerrado puede ser la mitad de largo que uno abierto —y por eso el clarinete es más corto que la flauta para su registro—.
Referencia musical: 390 Hz es un sol4 aproximado y 780 Hz el sol5, una octava arriba.
Checkpoint · Tu turno
Un tubo de órgano cerrado en un extremo mide 1.1 m de longitud. El sonido viaja en el tubo a 343 m/s. Antes de revelar, calcula la frecuencia fundamental (n = 1).
Tubo cerrado → Ec. 2.43 con n = 1:
Un tono grave, cerca del mi1 del piano. Tiene sentido: tubo largo y cerrado, las dos condiciones que bajan la frecuencia. La siguiente armónica que ese tubo puede dar no es 155.9 Hz, sino la tercera: 3(77.95) = 233.9 Hz.
Para discutir en equipo
1¿Por qué un tubo cerrado usa solo valores impares de n mientras que un tubo abierto usa todos los enteros? Piensa dónde deben estar los nodos y antinodos en cada caso.
Todo sale de las condiciones en los extremos. En un extremo abierto el aire se mueve libremente: siempre hay un antinodo. En un extremo cerrado el aire está bloqueado por la tapa: siempre hay un nodo.
Tubo abierto (antinodo–antinodo): entre dos antinodos cabe media longitud de onda, así que L = n(λ/2) con n entero, es decir λ = 2L/n. Sirven todos los enteros.
Tubo cerrado (nodo–antinodo): entre un nodo y el antinodo vecino cabe un cuarto de onda, y para volver a caer bien hay que ir de cuarto en cuarto saltando los pares: L = λ/4, 3λ/4, 5λ/4… es decir λ = 4L/n con n impar. Los pares pondrían un nodo donde debe haber un antinodo y la onda se cancelaría a sí misma.
Consecuencia sonora: al tubo cerrado le faltan las armónicas pares, y eso le da su timbre característico —el del clarinete—.
2Un clarinete se comporta como un tubo cerrado y una flauta como uno abierto, ambos de longitud similar. ¿Cuál esperarías que suene con una nota más grave? Usa las fórmulas para justificarlo.
El clarinete, y por un factor exacto de 2. Comparando las fundamentales: cerrado f₁ = v/4L contra abierto f₁ = v/2L. Con la misma longitud, el cerrado da la mitad de la frecuencia, es decir una octava más grave.
Con la flauta del Ejemplo 8 (L = 0.22 m): cerrado 390 Hz, abierto 780 Hz. La razón física es que en el tubo cerrado solo cabe un cuarto de onda, así que la onda que “entra” es el doble de larga y, por v = λf, su frecuencia es la mitad.
3Puentes, edificios y hasta copas de cristal pueden entrar en resonancia. ¿Por qué la resonancia, que suena “musical” en un instrumento, puede ser peligrosa en una estructura?
Porque el mecanismo es el mismo y lo único que cambia es cuánta energía se acumula y qué tan bien la aguanta el material. En resonancia, cada empujón externo llega en fase con la oscilación y le suma energía: la amplitud crece ciclo tras ciclo. En una cuerda de guitarra eso significa un sonido más fuerte; en una copa de cristal significa deformaciones que superan la resistencia del vidrio y lo rompen; en un edificio significa desplazamientos que exceden lo que la estructura puede tolerar.
En sismos ocurre algo muy concreto: cada edificio tiene su periodo natural (aproximadamente 0.1 s por piso), y el suelo blando del Valle de México amplifica ondas con periodo cercano a 2 s. Por eso en 1985 los edificios de entre 6 y 20 pisos fueron los más dañados: su periodo natural coincidía con el del terreno. Los de 3 pisos y los de 40 resistieron mucho mejor.
Matiz sobre el ejemplo más citado: el puente de Tacoma Narrows (1940) suele contarse como “resonancia”, pero hoy se explica como flutter aeroelástico —una inestabilidad en la que el propio movimiento del puente alimenta la fuerza del viento—. La lección de ingeniería es la misma: hay que conocer las frecuencias naturales y evitar excitarlas, con amortiguadores o cambiando la rigidez.
Errores comunes
Usar la fórmula de tubo abierto en un problema de tubo cerrado (o al revés). Es fácil confundir 2L con 4L y “todos los n” con “solo n impares”.
Pregunta guía: antes de sustituir, dibuja el tubo: ¿cuántos extremos abiertos tiene? ¿Qué fórmula te toca?
Dos extremos abiertos → tubo abierto → λ = 2L/n y f = nv/2L, con n = 1, 2, 3… Un extremo tapado → tubo cerrado → λ = 4L/n y f = nv/4L, solo con n = 1, 3, 5…
Chequeo rápido de resultado: para la misma L, el tubo cerrado debe dar la mitad de la frecuencia fundamental del abierto. Si te salió mayor, cambiaste las fórmulas.
Pensar que “resonancia” siempre significa algo positivo. La resonancia amplifica una vibración, y eso puede ser útil (un instrumento musical) o destructivo (una estructura que falla ante el viento o un sismo).
Pregunta guía: ¿qué tienen en común una cuerda de guitarra sonando fuerte y un edificio que colapsa en un sismo? ¿Por qué el mismo fenómeno puede ser bueno o malo según el contexto?
Tienen en común el mecanismo: una excitación externa cuya frecuencia coincide con una frecuencia natural del sistema, de modo que la energía se acumula y la amplitud crece. La física no distingue entre “bueno” y “malo”; la diferencia la pone el contexto: en la guitarra la amplitud grande es el objetivo del diseño (por eso la caja resonante existe), y en el edificio es exactamente lo que hay que evitar.
Por eso los ingenieros civiles calculan la frecuencia natural de un puente y prohíben que la tropa lo cruce marcando el paso, y los rascacielos llevan amortiguadores para sacar al edificio de resonancia con el viento y el sismo.
Cierre del Tema 2 y tu propósito
Los fenómenos oscilatorios y ondulatorios que observamos en el mundo —las cuerdas vocales, el movimiento de un péndulo, las ondas sonoras y las ondas sísmicas— pueden representarse mediante modelos matemáticos. Estos conceptos son esenciales para la acústica, la óptica, la mecánica de vibraciones y, a nivel microscópico, para la mecánica cuántica.
Exploraste las características de las ondas mecánicas y aprendiste a calcular su frecuencia, su velocidad de propagación y la energía que transportan, analizando ejemplos cotidianos como el sonido y las ondas sísmicas. También analizaste las ondas estacionarias, la resonancia y cómo calcular las frecuencias de resonancia.
Un ingeniero, un médico, un arquitecto y un músico usan exactamente las mismas ecuaciones que acabas de aprender, cada uno para “hacer que algo resuene de la forma correcta” en su campo. Encontrar tu propia frecuencia de resonancia —aquello que te hace vibrar con más energía e intención— también es parte de tu propósito de vida.
Checkpoint final del Tema 2
Asegúrate de poder:
- Describir el movimiento armónico simple en sistemas físicos como péndulos y resortes.
- Distinguir los diferentes tipos de ondas.
- Describir y analizar las propiedades de las ondas.
- Determinar la velocidad de propagación de ondas en diferentes medios.
- Explicar el efecto Doppler y su aplicación.
- Identificar las características de las ondas estacionarias.
- Describir el fenómeno de resonancia.
Siguiente tema: electrostática.
Referencias y recursos
Todo el contenido de las cinco sesiones —ecuaciones numeradas, tablas y los ocho ejemplos resueltos— sigue el material de plataforma y estas fuentes.
Referencias bibliográficas
Serway, R. y Jewett, J. (2018). Física para ciencias e ingeniería (10.ª ed.). México: Cengage Learning.
Griem, W. (2020). Métodos geofísicos – Sismología. Apuntes de geología general.
Instituto Geográfico Nacional de la República Argentina. Tipos de ondas sísmicas.
Simuladores interactivos
Comprueba que el periodo no depende de la amplitud. Sesión 2.
Ondas viajeras, reflexión y ondas estacionarias. Sesiones 3 y 5.
Cambia longitud, masa y gravedad. Sesión 3.
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Refuerzo visual de la Ec. 2.7. Sesión 2.
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