Electrostática
Materia y Energía II · Prepa Tecmilenio · Prof. Eugenio Ramírez
Todo lo que enciendes hoy —tu celular, el microondas, el camión eléctrico de Mi Macro— empieza en el mismo lugar: cargas eléctricas quietas que se atraen y se repelen. Eso es la electrostática: el estudio de las cargas en reposo.
Usa las flechas ← → del teclado o los botones de abajo para avanzar. Cada sesión guarda su propio avance. Las diapositivas con el rombo ◆ traen un simulador: muévelo antes de leer la conclusión.
El toque que te da el coche
Bajas del carro en un día seco, tocas la puerta y sientes un piquete. Te peinas y el cabello se levanta solo. En tormenta, un rayo libera en microsegundos la energía de miles de focos.
Los tres son el mismo fenómeno: cargas eléctricas que se acumularon en un lugar y encontraron la manera de moverse a otro.
La pregunta que resolvemos en este tema: si dos objetos cargados se atraen o se repelen, ¿cuánta fuerza hay entre ellos y de qué depende?
De dos cosas, y nada más: del producto de las dos cargas y del cuadrado de la distancia que las separa. Esa es la ley de Coulomb, y es a donde llegamos en 20 minutos:
F = k · |q₁q₂| / r²El signo de las cargas no entra en la magnitud: solo decide si la fuerza jala (signos distintos) o empuja (signos iguales).
Una piedra amarilla, hace 2 600 años
Alrededor del año 624 a. C., el filósofo griego Tales de Mileto descubrió que una piedra amarilla de resina petrificada llamada elektron (lo que hoy llamamos ámbar) atraía partículas de polvo y hojas cuando se frotaba contra un pedazo de tela.
De esa palabra griega para ámbar viene el nombre del electrón. Desde ese descubrimiento ha habido múltiples experimentos que incrementaron el entendimiento de los fenómenos eléctricos, y el conocimiento sobre la electricidad ha sido crucial para el desarrollo de innumerables tecnologías que usamos hoy.
Qué veremos
Carga eléctrica y el cálculo de las fuerzas que actúan sobre ella mediante la ley de Coulomb.
Después
El concepto de campo eléctrico y su aplicación, para entender las leyes que rigen a las cargas.
Al final
El flujo eléctrico —comparable con el flujo de autos en una carretera— y la ley de Gauss en alambres, superficies y volúmenes.
De dónde sale la carga: el átomo
La teoría atómica moderna señala que los átomos están compuestos por partículas con:
- carga neutra — neutrones
- carga positiva — protones
- carga negativa — electrones
Los neutrones y los protones se encuentran en el núcleo atómico, mientras que los electrones se distribuyen alrededor, ubicándose en distintos niveles energéticos o capas.
Los electrones que están en la capa más externa se llaman electrones de valencia y varían según cada elemento químico. El sodio (Na) tiene un solo electrón en su capa más externa: un electrón de valencia.
La carga de un electrón es e = 1.602×10⁻¹⁹ C, y es la unidad más pequeña de carga libre que existe. Toda carga que midas es un múltiplo entero de ella: por eso un microcoulomb, que suena diminuto, son unos 6.24 billones de electrones.
Conductores, aislantes y semiconductores
El número de electrones libres que poseen los materiales determina si el material es conductor de cargas o no. Los materiales se clasifican del siguiente modo:
Conductor
Material a través del cual se transfieren las cargas fácilmente.
Ejemplos: cobre, plata, aluminio.
Aislante
Material que se resiste al flujo de carga.
Ejemplos: ebonita, plástico, mica, baquelita, el azufre, el aire.
Semiconductor
Material que transporta carga en ocasiones.
Ejemplos: silicio, germanio y el arseniuro de galio.
Dato de ingeniería: el chip del celular que traes en la bolsa está hecho de silicio —un semiconductor— precisamente porque podemos decidir cuándo conduce y cuándo no. Toda la electrónica moderna vive en ese “a veces”.
Dos tipos de carga
En el siglo XVIII, Benjamín Franklin demostró con sus experimentos que existen dos tipos de carga, a las que denominó carga positiva y carga negativa (Serway y Vuille, 2018), las cuales interactúan entre ellas cuando están cercanas.
Cargas iguales
Se repelen, como dos protones o dos electrones.
Cargas distintas
Se atraen, como un protón y un electrón.
Cuando una varilla de caucho (plástico) se frota con un trozo de piel, la piel cede electrones a la varilla, por lo cual la varilla, al ganar esos electrones, queda cargada negativamente. Sin embargo, cuando una varilla de vidrio se frota con un trozo de seda, la varilla de vidrio cede electrones a la seda, quedando cargada positivamente al experimentar una pérdida de electrones.
Por lo tanto: si acercas la varilla de caucho a la varilla de vidrio, se atraerán; mientras que si acercas dos varillas de caucho o dos varillas de vidrio, se repelerán (al tener cargas iguales).
Frota y mira a dónde se van los electrones
Lo que se mueve al frotar son electrones, nunca protones: los protones están clavados en el núcleo.
La piel suelta sus electrones con facilidad, así que el caucho se los queda. El resultado neto no crea carga: solo la reparte.
Cargas iguales se repelen, cargas opuestas se atraen
El electroscopio: cómo se “ve” la carga
Un electroscopio es un instrumento que se utiliza para detectar la presencia de cargas eléctricas. Su parte esencial consiste en dos hojas de oro o aluminio suspendidas en una varilla de metal que termina en una bola o plato circular. Este acoplamiento está aislado dentro de una caja de cristal y cuenta con una base de metal conectada a tierra.
- Cuando se toca el botón del electroscopio con un cuerpo electrizado, la carga se transmite al plato y a las hojas, las cuales se desvían de su posición inicial.
- Si la desviación es excesiva, las hojas tocan las esferas y mandan la carga a tierra.
- Al acercar un cuerpo con carga del mismo signo, la desviación aumenta; con cargas opuestas, las hojas se acercan.
Figura 3.3 · Electroscopio
Electroscopio interactivo
Empieza neutro: las hojas cuelgan juntas. Acerca la varilla sin tocar y observa que se abren de todos modos — eso es inducción, y desaparece al alejarla.
Antes de seguir, comprueba que lo tienes
Frotas una varilla de vidrio con un trozo de seda. ¿Qué le pasa a la varilla y por qué?
Ley de Coulomb
Hasta aquí sabemos que las cargas pueden atraerse o repelerse. Ahora calcularemos la magnitud de las fuerzas que ejercen. En 1785, Charles Coulomb realizó muchos experimentos para calcular la magnitud de las fuerzas de atracción y repulsión entre cargas, de los cuales obtuvo la ley que lleva su nombre:
“La magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa” (Sears y Zemansky, 2018).
Donde
- F = fuerza de atracción o repulsión entre las cargas [N]
- r = distancia que separa a las cargas [m]
- q₁ = carga 1 [C]
- q₂ = carga 2 [C]
- ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² C² / (N·m²)
Constante de proporcionalidad
k = 1 / 4πε₀(Ec. 3.1) F = k · |q₁q₂| / r²(Ec. 3.2)k = 8.987551787 × 10⁹ N·m²/C² ≈ 9 × 10⁹ N·m²/C²
La fuerza siempre viene en pares
Las dos cargas se jalan (o se empujan) con la misma magnitud y en sentidos opuestos. Es la tercera ley de Newton, ahora con cargas.
La fuerza sobre cada una sigue siendo exactamente igual en magnitud: en la fórmula aparece el producto q₁q₂, que es el mismo para las dos. Lo que sí cambia es la aceleración, porque esa sí depende de la masa de cada una (a = F/m). La Tierra y una manzana se jalan con la misma fuerza; solo una de las dos se mueve de forma perceptible.
Recurso opcional para reforzar: IngE Darwin (2023, 9 de agosto). Ley de Coulomb [Shorts]. https://www.youtube.com/shorts/1TZ5ChxiQsE
Este enlace es externo a la Universidad Tecmilenio; al acceder considera que debes apegarte a sus términos y condiciones.
Mueve las cargas y mira qué le pasa a la fuerza
Simulador de la ley de Coulomb
Las dos flechas siempre miden lo mismo: es la tercera ley de Newton.
Dos cargas a 15 cm
Dos cargas q₁ = −9 μC y q₂ = +5 μC se colocan a 15 cm de distancia en el aire, como en la imagen.
- ¿La fuerza entre estas cargas es de atracción o de repulsión?
- ¿Cuál es la magnitud de esta fuerza?
Como se desea el valor absoluto de la fuerza, reportamos 18 N. El signo solo nos dice el sentido: hacia la otra carga, porque se atraen.
Superposición de fuerzas
La ley de Coulomb permite calcular la fuerza que se ejerce entre dos cargas puntuales. Si existen más de dos cargas puntuales, es necesario calcular la fuerza en pares y después sumarlas.
F_net = Σ F_n = F₁ + F₂ + F₃ …(Ec. 3.3)La suma de las fuerzas va a depender de la dirección hacia donde la carga de referencia se movería:
Hacia la derecha (+x)
La fuerza se suma.
Hacia la izquierda (−x)
La fuerza se resta.
Traducción práctica: primero decide un eje y un sentido positivo, luego calcula cada fuerza como magnitud y al final ponle el signo que corresponda según hacia dónde apunta.
Ahora entra una tercera carga
Si una tercera carga puntual igual a q₁ se coloca a 35 cm de la carga q₂, ¿cuál es la fuerza neta que actúa sobre q₁?
Este resultado indica que la carga q₁ “sentirá” una fuerza de 15.084 N hacia la carga positiva q₂.
¿Existe un lugar donde la fuerza neta sea cero?
Mueve q₃ y busca el equilibrio
q₁ = −9 μC y q₂ = +5 μC quedan fijas a 15 cm. Solo se mueve q₃ = −9 μC.
Acerca q₃ a q₂ y observa cómo F₃₁ crece deprisa: va como 1/r².
Se anula cuando F₃₁ iguala a los 18 N de F₂₁. Llamando d a la distancia de q₃ hasta q₁:
k|q₃q₁|/d² = 18 N d² = 0.729/18 = 0.0405 m² d = 0.2012 m x = d − 0.15 = 0.0512 m ≈ 5.1 cmEs decir, con q₃ a unos 5.1 cm de q₂ (del lado contrario a q₁) la fuerza neta sobre q₁ es cero. Llévalo ahí con el deslizador y compruébalo.
Practica sin ayuda
Problema 1
Dos cargas de +4 μC y −3 μC están separadas 20 cm en el aire. ¿La fuerza es de atracción o repulsión y cuál es su magnitud?
Signos distintos → atracción.
F = 9×10⁹ · |(4×10⁻⁶)(−3×10⁻⁶)| / (0.20)² F = 9×10⁹ · 1.2×10⁻¹¹ / 0.04 F = 2.7 NProblema 2
Si en el problema anterior duplicas la distancia a 40 cm sin cambiar las cargas, ¿en qué factor cambia la fuerza? Justifica antes de calcular.
La fuerza es inversamente proporcional a r², así que al duplicar r la fuerza se reduce a la cuarta parte.
F = 2.7 N / 4 = 0.675 NNo hacía falta rehacer toda la cuenta: basta con leer el exponente de r.
Para discutir en equipo
Discutan primero en equipo. El botón de cada tarjeta abre una respuesta escrita: sirve para cerrar la discusión, no para sustituirla.
1
La ley de Coulomb y la ley de gravitación universal tienen exactamente la misma forma matemática (algo dividido entre r²). Sin embargo, la gravedad nunca repele. ¿Qué diferencia física entre masa y carga explica eso, y qué consecuencias tiene para el universo?
La diferencia es que la masa viene en un solo signo y la carga en dos. Como toda masa es positiva, la gravedad solo puede sumar y solo puede atraer.
La consecuencia es enorme y contraintuitiva: la fuerza eléctrica entre un protón y un electrón es unas 10³⁶ veces más intensa que su atracción gravitacional, y aun así el universo a gran escala lo gobierna la gravedad. ¿Por qué? Porque la materia es casi exactamente neutra: por cada protón hay un electrón, y las fuerzas eléctricas se cancelan. La gravedad, al no poder cancelarse, se acumula estrella tras estrella hasta formar galaxias.
En una frase: la electricidad es la fuerza fuerte de lo pequeño; la gravedad gana lo grande por no tener signo negativo.
2
Un globo frotado en tu cabello se pega a la pared, que está neutra. Si la pared no tiene carga neta, ¿por qué hay atracción? ¿Se está violando algo de lo que acabamos de ver?
No se viola nada. La pared sigue teniendo carga neta cero, pero esa carga no está inmóvil: el globo, cargado negativamente, empuja los electrones de la superficie de la pared hacia adentro y deja la cara expuesta ligeramente positiva. Es polarización (o inducción).
La atracción gana porque la fuerza va como 1/r²: la carga positiva inducida queda más cerca del globo que la negativa que se alejó, y lo más cercano pesa más. Sumando todo, queda una atracción neta pequeña pero suficiente para vencer el peso del globo.
Es el mismo mecanismo por el que un peine frotado levanta pedacitos de papel neutro.
3
En el Ejemplo 1(c), ¿qué pasaría con la fuerza neta sobre q₁ si movemos q₃ más cerca de q₂? ¿Existe alguna posición donde la fuerza neta sobre q₁ sea exactamente cero? Argumenta antes de calcular.
Al acercar q₃ a q₂, también se acerca a q₁, así que F₃₁ crece (va como 1/r²) mientras F₂₁ se queda en 18 N. La fuerza neta, que era −15.084 N, se vuelve cada vez menos negativa.
Sí existe esa posición. Igualando F₃₁ = 18 N con q₃ = q₁ = −9 μC:
d = √(k|q₃q₁|/18) d = √0.0405 = 0.2012 mComo d se mide desde q₁, q₃ debe quedar a 0.2012 − 0.15 = 0.0512 m ≈ 5.1 cm de q₂. Compruébalo con el simulador de la diapositiva anterior. Ojo: ese equilibrio es inestable — si q₁ se mueve un poco, ya no vuelve.
Los tres errores que más cuestan aquí
Olvidar convertir a metros y coulombs
Si metes 15 en vez de 0.15, o 9 en vez de 9×10⁻⁶, el resultado se va por varios órdenes de magnitud. Antes de tocar la calculadora, escribe las tres cantidades ya convertidas: q₁ [C], q₂ [C], r [m].
Prueba rápida: para cargas de microcoulombs a decenas de centímetros, la fuerza casi siempre queda en el orden de unidades o decenas de newtons. Si te salió 10⁶, revisa unidades.
Elevar al cuadrado solo el número, no la unidad
(0.15 m)² = 0.0225 m², no 0.15 m². Escribe el paréntesis siempre. Y recuerda que r es la distancia entre las cargas: en el Ejemplo 1(c), r para F₃₁ es 0.50 m, no 0.35 m.
Meter los signos dentro de la fórmula
La ecuación 3.2 usa valor absoluto: te da la magnitud. Los signos se usan después, para decidir si la fuerza apunta hacia la otra carga (atracción) o lejos de ella (repulsión), y con eso decides si suma o resta en la fuerza neta.
Si tu respuesta a “¿cuál es la magnitud?” trae signo negativo, algo se mezcló.
Dejaste las cargas en microcoulombs sin pasarlas a coulombs. Cada μC olvidado mete un factor 10⁶, y como hay dos cargas el error es de 10¹². Comprobación en un segundo: escribe las potencias de diez por separado y cuéntalas antes de teclear nada. 9×10⁹ · 10⁻⁶ · 10⁻⁶ / 10⁻² ≈ 10¹, es decir, decenas de newtons.
Por qué esto te sirve más allá del examen
Lo que hiciste hoy no fue “aplicar una fórmula”. Fue algo más transferible: descomponer un problema en pares, calcular cada parte por separado y volver a juntarlas con criterio de dirección. Ese mismo movimiento mental aparece en:
- Ingeniería y diseño: un chip tiene millones de componentes; ninguna herramienta los resuelve todos de golpe. Se modelan interacciones por pares y se superponen.
- Economía y datos: separar los efectos que empujan un resultado hacia arriba de los que lo empujan hacia abajo.
- Decisiones personales: cuando algo te jala en dos direcciones, nombrar cada fuerza y estimar su tamaño es lo que convierte la confusión en una decisión.
Tu propósito de vida
Elige una decisión que tengas pendiente esta semana. Escribe las “fuerzas” que actúan sobre ti, asígnale a cada una una magnitud del 1 al 10 y un sentido (a favor / en contra), y saca tu propia fuerza neta.
No es una metáfora bonita: es exactamente el método que acabas de usar con q₁, q₂ y q₃.
Lo que te llevas
Conceptos
- Carga positiva, negativa y neutra; electrones de valencia.
- Conductores, aislantes y semiconductores.
- Cargas iguales se repelen; opuestas se atraen.
- El electroscopio detecta carga.
Herramientas
- F = k|q₁q₂|/r² con k ≈ 9×10⁹ N·m²/C²
- ε₀ = 8.854×10⁻¹² C²/(N·m²)
- F_net = ΣF_n: calcular por pares y sumar con signo.
La próxima sesión respondemos una pregunta incómoda: si las cargas no se tocan, ¿cómo “sabe” una carga que la otra está ahí? La respuesta se llama campo eléctrico.
Campo eléctrico
Cómo una carga “avisa” de su presencia a todo el espacio que la rodea
La señal que no ves
Tu celular se conecta al wifi sin cable. La Luna orbita la Tierra sin cuerda. Un imán mueve un clip sin tocarlo. En los tres casos hay algo que llena el espacio y transmite la interacción.
Al igual que el campo gravitacional de la Tierra produce una fuerza que interactúa con los campos gravitacionales de los cuerpos celestes, como la Luna, un campo eléctrico de una partícula cargada va a interactuar con el campo eléctrico de otra partícula con carga. Esta interacción producirá una fuerza de atracción o repulsión.
Si un cuerpo contiene una cierta cantidad de carga positiva o negativa, genera a su alrededor un campo eléctrico, el cual genera una fuerza de atracción o repulsión hacia los cuerpos que se encuentran a su alrededor, de modo que el cuerpo cargado interactúa de manera indirecta con los demás cuerpos, a través del campo eléctrico.
La idea clave: dejamos de pensar en “carga A jala a carga B” y pasamos a “carga A modifica el espacio; B solo reacciona a lo que hay donde está parada”.
Es real, y hay una prueba que no admite discusión: los campos tardan en propagarse. Si el Sol desapareciera ahora mismo, la Tierra seguiría orbitando 8 minutos antes de enterarse. Durante esos 8 minutos la interacción va viajando por algo — y ese algo es el campo. La misma idea aplica a una antena: la señal que llega a tu celular salió de unas cargas que se movieron hace rato y que quizá ya se detuvieron. El campo lleva energía por su cuenta.
Quitar el cuerpo B y quedarse con el punto
¿Hacia dónde apunta el campo?
Para determinar la dirección del campo eléctrico emitido por una carga Q es necesario observar su efecto sobre la carga de prueba q₀: según la dirección de la fuerza que experimente q₀ al acercarla a Q, esta indicará la dirección del campo eléctrico E.
a) Carga de prueba positiva (+q₀)
Si la fuerza sobre +q₀ es de repulsión, entonces la fuerza F apunta en la dirección del campo eléctrico E.
Figura 3.6 · Fuente: Sears y Zemansky (2018).
b) Carga de prueba negativa (−q₀)
Si la fuerza sobre −q₀ es de atracción, entonces la fuerza F apunta en la dirección opuesta al campo eléctrico E.
Figura 3.7 · Fuente: Sears y Zemansky (2018).
La regla en una línea: E siempre se define con una carga de prueba positiva. Por convenio, F = qE: si q es positiva, F y E van juntas; si q es negativa, el signo voltea el vector 180°.
Líneas de campo eléctrico
Las líneas de campo proporcionan una representación gráfica de los campos eléctricos. Las líneas de campo de una carga positiva irradian hacia afuera y las líneas de campo de una carga negativa convergen hacia adentro.
Una carga puntual q produce un campo eléctrico E en todos los puntos del espacio a su alrededor, y la intensidad de este campo está relacionada con la densidad de líneas de campo: entre más líneas pasen por un punto, mayor será la intensidad del campo. La intensidad disminuye conforme la distancia aumenta.
Porque el número de líneas que salen de una carga es fijo: las que dibujas cerca son las mismas que llegan lejos. Al alejarte, esas líneas se reparten sobre una esfera cuya área crece como 4πr², así que la cantidad de líneas por unidad de área cae como 1/r² — exactamente la misma ley que dice la ecuación 3.5. El dibujo y la fórmula son la misma afirmación.
Dos cargas: el dipolo
El segundo botón sale de la figura del libro: muestra, como comparación, qué pasa con dos cargas iguales.
De acuerdo con las imágenes, el vector E del campo eléctrico es siempre tangente a la curva que describe el campo.
Dipolo: cada línea que sale de + termina en −. El vector E es tangente a la curva.
Recurso opcional: 3Blue1Brown. (2024, 26 de enero). Simulating the electric field and a moving charge [Shorts]. https://youtube.com/shorts/81QNyDnYtgO
Este enlace es externo a la Universidad Tecmilenio; al acceder considera que debes apegarte a sus términos y condiciones.
Comprueba antes de calcular
Colocas una carga de prueba negativa cerca de una esfera cargada positivamente. ¿Qué relación hay entre la fuerza que siente la carga de prueba y el campo eléctrico de la esfera en ese punto?
Forma escalar del campo eléctrico
El campo eléctrico es un vector debido a que tiene una magnitud y una dirección. El valor escalar o magnitud del vector se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
E = F / q₀(Ec. 3.4)- E = magnitud del campo eléctrico (N/C)
- F = fuerza eléctrica (N)
- q₀ = carga de prueba (C)
Sustituyendo la ley de Coulomb en la ecuación 3.4, obtenemos la fórmula para calcular el campo eléctrico de una carga:
E = k · |Q| / r²(Ec. 3.5)- k = constante de proporcionalidad (9×10⁹ N·m²/C²)
- Q = carga (C)
- r = distancia desde Q hasta un punto en el espacio (m)
Fíjate en la diferencia que decide medio examen: en la ecuación 3.4 hay dos protagonistas (una fuerza y la carga que la siente); en la 3.5 hay uno solo (la carga fuente) más un punto del espacio. Si el problema menciona una segunda carga, vas por fuerza; si solo menciona una carga y una distancia, vas por campo.
Camina alrededor de la carga y mide el campo
Explorador de campo eléctrico
Arrastra el punto P por el cuadro (o toca donde quieras ponerlo). Las flechas grises son el campo en cada lugar; su opacidad es proporcional a la intensidad.
Con Q positiva el campo sale; con Q negativa entra. La magnitud no distingue el signo: eso lo hace la dirección.
Cae a la cuarta parte, no a la mitad. Es la firma del 1/r², y es idéntica a la de la fuerza de Coulomb — porque el campo es la fuerza de Coulomb dividida entre la carga de prueba. Si además cambias el signo de Q, verás que la magnitud no se inmuta: solo se voltean las flechas.
Un microchip que no puede fallar
Se está diseñando un microchip para un dispositivo electrónico, y se debe evaluar el impacto de una carga de −10×10⁻⁶ C a una distancia de 30 mm de los componentes del microchip, de manera que sea posible garantizar su funcionamiento correcto. Calcula el campo eléctrico debido a esta carga en la distancia especificada.
Se toma el valor absoluto de la carga, y el signo negativo significa que la dirección del campo es hacia la carga Q.
Contexto de ingeniería: 10⁸ N/C es enorme. Por eso los procesos de fabricación de chips se hacen en salas limpias con pisos disipativos y pulseras de descarga: una chispa estática que tú ni sientes destruye una compuerta de silicio.
Forma vectorial del campo eléctrico
En algunas ocasiones es útil saber los componentes del campo eléctrico en un punto dado. Por lo tanto, es posible utilizar el vector unitario para encontrar la magnitud de los componentes y la dirección del campo.
- E = vector del campo eléctrico
- F₀ = vector fuerza (atracción o repulsión)
- q₀ = carga
- û = vector unitario
Al sustituir la ley de Coulomb en la fórmula del campo eléctrico se obtiene:
E = k · (Q / r²) · û(Ec. 3.7)El vector unitario
û es el vector que da la dirección del vector, con longitud 1:
û = r⃗ / ‖r⃗‖ = (x î + y ĵ + z k̂) / √(x² + y² + z²)(Ec. 3.8)Considerando la constante: K = 1 / 4πε₀ = 9×10⁹ N·m²/C².
Idea en una línea: la magnitud la da k·Q/r², la dirección la da û. Separar esas dos tareas evita el 90 % de los errores.
Campo en un punto del plano
Calcula el vector del campo eléctrico E que existe en un punto P₁ que se encuentra en las coordenadas (0.5 m, −1.3 m), si el campo eléctrico es originado por una carga puntual ubicada en el origen O y que tiene una magnitud de q = −10×10⁻⁹ C.
Comprobación de sentido: el resultado apunta hacia arriba y a la izquierda, es decir, de P₁ hacia la carga negativa en el origen. Coincide con lo que esperábamos en el paso 1.
Practica sin ayuda
Problema 1
Una carga puntual de +6×10⁻⁶ C está en el origen. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico a 5 cm de ella? ¿Y a 10 cm?
Al duplicar la distancia el campo cae a la cuarta parte, igual que la fuerza: ambos van como 1/r².
Problema 2
En un punto del espacio, una carga de prueba de 2×10⁻⁹ C experimenta una fuerza de 4×10⁻⁴ N hacia la derecha. ¿Cuál es el campo eléctrico ahí? ¿Cambiaría si usaras una carga de prueba del doble?
No cambiaría. El campo no depende de la carga de prueba: si duplicas q₀, la fuerza también se duplica y el cociente queda igual. El campo es una propiedad del espacio, no de quien lo mide.
Para discutir en equipo
Discutan primero en equipo; después abran la respuesta y comparen con lo que dijeron.
1
Si quitamos por completo la carga de prueba, ¿el campo eléctrico sigue existiendo ahí? ¿Qué evidencia tendrías para defender tu respuesta?
Sí sigue existiendo. Dos evidencias, una matemática y una experimental:
- El cociente E = F/q₀ no depende de q₀: cámbiala por otra del doble y la fuerza también se duplica, así que E sale idéntico. Lo que mides no es una propiedad de tu instrumento.
- Los campos viajan y transportan energía. Una antena agita cargas durante un segundo; la onda que produjo sigue existiendo y llega a tu celular mucho después, cuando esas cargas ya se detuvieron. Si el campo solo existiera al haber una carga presente, esa señal no tendría dónde estar mientras viaja.
La carga de prueba es un detector, no la causa. Un termómetro no crea la temperatura del cuarto.
2
Las líneas de campo nunca se cruzan. ¿Qué pasaría físicamente si dos líneas se cruzaran en un punto? Usa la idea de que E es tangente a la línea.
Si dos líneas se cruzaran, en ese punto habría dos tangentes distintas, es decir, dos direcciones para E a la vez. Y como la fuerza sobre una carga colocada ahí es F = qE, esa carga tendría que salir disparada en dos direcciones al mismo tiempo. Eso no ocurre: la fuerza que mides en un punto es una sola, con un solo valor y un solo sentido.
Hay una excepción aparente que vale la pena nombrar: en un punto de campo nulo (por ejemplo, justo en medio de dos cargas positivas iguales) varias líneas parecen juntarse. Ahí no hay contradicción, porque E = 0 y un vector nulo no tiene dirección que defender.
3
Una carga de prueba “grande” alteraría el campo que quiere medir. ¿Qué significa entonces que la carga de prueba deba ser pequeña? ¿Ves algún paralelo con medir la temperatura de un vaso de agua con un termómetro grande?
Significa que la definición correcta es un límite: E = lím (q₀→0) F/q₀. Una carga de prueba grande tiene su propio campo, y ese campo empuja a las cargas de la fuente —sobre todo si la fuente es un conductor, donde las cargas pueden correrse— de manera que acabas midiendo un campo distinto del que había antes de llegar tú.
El paralelo es exacto: un termómetro voluminoso a temperatura ambiente metido en un vaso pequeño enfría el agua mientras la mide, y el número que lees es el del sistema ya perturbado. En los dos casos la solución es la misma: usar un instrumento tan pequeño que su efecto sea despreciable. En ciencias sociales tiene nombre propio: efecto del observador.
Dónde se atoran casi todos
Confundir campo con fuerza
E se mide en N/C, F en N. El campo existe aunque no haya nadie sintiéndolo; la fuerza solo aparece cuando pones una carga dentro. Si en tu respuesta a “calcula el campo” aparecen newtons a secas, revisa qué fórmula usaste.
Regla rápida: ¿la pregunta menciona una segunda carga? Entonces es fuerza. ¿Solo una carga y un punto del espacio? Entonces es campo.
Meter el signo de Q en la magnitud
En la ecuación 3.5 va |Q|: la magnitud nunca es negativa. El signo se traduce después en dirección: el campo de una carga positiva sale; el de una negativa entra. En la forma vectorial (Ec. 3.7) sí conservas el signo, y por eso en el Ejemplo 3 el −46.39 N/C voltea el vector unitario 180°.
Calcular û con las coordenadas equivocadas
El vector r⃗ va de la carga al punto. Si lo tomas al revés, todo tu resultado queda invertido. Antes de dividir, escribe r⃗ = (punto − carga) componente por componente, y comprueba que ‖û‖ ≈ 1 sumando los cuadrados: 0.358² + 0.933² ≈ 1. Si no da 1, el error está ahí.
Multiplicas: F = qE, y el signo de q decide el sentido, no la magnitud de E. Si q es positiva, F va con E; si es negativa, F va contra E. Una comprobación de unidades que nunca falla: N/C × C = N. Si tu resultado no te deja cancelar los coulombs, mezclaste las ecuaciones 3.4 y 3.5.
Pensar en campos, no en objetos
El salto conceptual de hoy es de los más poderosos de toda la física: dejar de preguntar “¿quién empuja a quién?” y empezar a preguntar “¿cómo está el espacio donde estoy parado?”.
Ese cambio de mirada es el que permite:
- diseñar antenas, cargadores inalámbricos y pantallas táctiles;
- proteger equipo médico y aviones contra descargas;
- entender cómo viaja una señal nerviosa en tu propio cuerpo.
Y fuera de la física: entender el “campo” en el que te mueves —tu entorno, tus influencias, tu contexto— explica más de tus resultados que la fuerza de voluntad aislada.
Tu propósito de vida
Los campos no se ven, pero se detectan por sus efectos. Piensa en una persona que haya sido un “campo” en tu vida: alguien cuya sola presencia cambió cómo te comportabas, sin obligarte a nada.
¿Qué clase de campo quieres generar tú a tu alrededor?
Lo que te llevas
Conceptos
- El campo eléctrico es la fuerza por unidad de carga que un cuerpo ejerce en un punto.
- Líneas de campo: salen de + y entran a −; E es tangente a ellas.
- Más densidad de líneas = campo más intenso.
Herramientas
- E = F / q₀ (Ec. 3.4)
- E = k|Q|/r² (Ec. 3.5)
- E = k(Q/r²)û (Ec. 3.7) con û = r⃗/‖r⃗‖ (Ec. 3.8)
Siguiente sesión: ¿qué pasa cuando hay varias cargas creando campo en el mismo punto? Y después, una idea que parece de magia: medir la carga dentro de una caja sin abrirla.
Superposición de campos y flujo eléctrico
Varias cargas a la vez, y cómo contar líneas de campo que atraviesan una superficie
Tres bocinas, un solo sonido
En un concierto hay decenas de bocinas. Tu oído no escucha “la bocina 1, luego la 2, luego la 3”: escucha una sola onda, que es la suma de todas. Lo mismo pasa con la señal de tu celular rodeado de varias antenas.
El campo eléctrico funciona igual. Si hay varias cargas, cada una crea su propio campo en el punto donde estás, y lo que “siente” una carga colocada ahí es la suma vectorial de todos ellos.
Para calcular el campo eléctrico emitido por un conjunto de cargas individuales, es necesario considerar que cada campo eléctrico constituye una cantidad vectorial, por lo que su adición deberá respetar esta característica. Así es como el principio de superposición del campo eléctrico establece que el campo eléctrico E de cualquier combinación de cargas es la suma vectorial de los campos producidos por las cargas individuales (Sears y Zemansky, 2018).
Vectorial es la palabra clave: no basta con sumar números, hay que sumar flechas.
Principio de superposición
Si se desea calcular el campo eléctrico generado por una distribución continua de carga, se debe dividir en elementos más pequeños la distribución, calcular el vector del campo que genera cada elemento y finalmente hacer la suma vectorial de todos los componentes.
En el punto P, el campo originado por las cargas tiene una resultante E, que se calcula con el principio de superposición realizando la suma vectorial de los campos E₁ y E₂.
E = (E₁ₓ + E₂ₓ + E₃ₓ …) î + (E₁ᵧ + E₂ᵧ + E₃ᵧ …) ĵ + (E₁𝓏 + E₂𝓏 + E₃𝓏 …) k̂Una vez que se tienen los componentes se calcula la magnitud del campo resultante ER:
E_R = √[(Eₓ)² + (E_y)² + (E_z)²](Ec. 3.10)Recuerda que los vectores unitarios î, ĵ y k̂ apuntan en la dirección de x, y y z, respectivamente.
Mueve el punto P y mira cómo cambia la suma
Superposición en dos dimensiones
Arrastra P. En verde, E₁ y E₂; en rosa, la resultante ER. El botón te lleva a la geometría exacta del Ejemplo 4.
Sobre la mediatriz (la horizontal que pasa por el centro) las componentes en x se cancelan siempre. Sal de ella y verás aparecer ERx.
Dos cargas iguales y opuestas
Calcula la magnitud y dirección del campo eléctrico resultante ER en el punto P debido a las cargas q₁ = +5×10⁻⁶ C y q₂ = −5×10⁻⁶ C.
Paso 0 — entender la figura. El campo eléctrico neto en P es la suma vectorial (o suma de los componentes en x y en y) del campo E₁ originado por q₁ más el campo E₂ originado por q₂. El signo de las cargas indica la dirección del campo: E₁ sale de la carga positiva, E₂ entra a la negativa.
Antes de calcular nada, observa el dibujo de al lado: los dos vectores apuntan “hacia abajo y hacia afuera”, formando el mismo ángulo θ con la horizontal. Eso ya te dice que los componentes horizontales van a cancelarse.
Magnitudes y ángulo
Las magnitudes de los campos que generan las cargas pueden ser calculadas con la ecuación 3.5:
Para realizar la suma es necesario separar E₁ y E₂ en sus componentes a lo largo de los ejes x y y. Es necesario conocer el ángulo θ, que se obtiene con la información originalmente proporcionada: la mitad de 0.03 m es 0.015 m, y la hipotenusa es 0.02 m.
Como la función seno del ángulo es igual al cateto opuesto entre la hipotenusa, despejamos θ con el arco seno.
Porque el triángulo que sirve es el que va de una carga a P, y su cateto vertical es la mitad de la separación: P está sobre la mediatriz, justo a media altura. Si usaras 0.03 el seno daría 1.5, que ni siquiera es un seno posible — es una buena señal de alarma para cacharte el error.
Componentes y resultante
Conociendo el ángulo se calculan los componentes de los dos campos eléctricos, considerando las funciones trigonométricas correspondientes.
Campo E₁
E₁ₓ = E₁ cos θ = (112.5×10⁶ N/C) cos 48.59° E₁ₓ = 74.41×10⁶ N/C E₁ᵧ = E₁ sen θ = (112.5×10⁶ N/C) sen 48.59° E₁ᵧ = 84.37×10⁶ N/CCampo E₂
E₂ₓ = E₂ cos θ = (112.5×10⁶ N/C) cos 48.59° E₂ₓ = 74.41×10⁶ N/C E₂ᵧ = E₂ sen θ = (112.5×10⁶ N/C) sen 48.59° E₂ᵧ = 84.37×10⁶ N/CSe pueden ahora sumar los componentes en x y los componentes en y para obtener la resultante. El signo se toma de acuerdo con la dirección que tenga la flecha en el diagrama:
Como la componente en x de la resultante es cero, el vector resultante es igual a la magnitud de la componente en y. Usando la ecuación 3.10:
E_R = √[(0 N/C)² + (−168.74×10⁶ N/C)²] E_R = 168.74×10⁶ N/C · dirección θ_R = 270° del eje xCon lo anterior queda resuelto el ejercicio: ya tienes la magnitud y la dirección del campo resultante. El resultado apunta directamente hacia abajo, de la carga positiva hacia la negativa, tal como anticipamos al ver el dibujo.
Antes de pasar al flujo
En el Ejemplo 4, ¿por qué las componentes horizontales se cancelaron?
¿Se puede medir la carga dentro de una caja sin abrirla?
Se tiene una partícula con carga dentro de una caja y se desea conocer su magnitud. Una forma de hacerlo es calculando el campo eléctrico que irradia. Como el campo eléctrico únicamente interactúa con otros campos eléctricos, es necesario usar una carga de prueba. Al mover la carga de prueba a diversas posiciones fuera de la caja se calcularán diversas fuerzas, con lo cual se puede elaborar un mapa del campo eléctrico.
- Si las fuerzas calculadas son de atracción, significa que el campo tiene sus líneas en dirección de la caja (hacia adentro).
- Si las fuerzas son de repulsión, significa que el campo tiene sus líneas hacia afuera de la caja.
Si la magnitud del campo eléctrico es grande, significa que hay muchas líneas de campo pasando a través de la superficie de la caja. A estas líneas de campo que pasan por el área de una superficie se les conoce como flujo eléctrico.
Sí, y con una precisión total. Basta recorrer una superficie cerrada alrededor de la caja midiendo E en cada pedacito, sumar todas esas contribuciones (eso es el flujo) y multiplicar por ε₀:
q_encl = ε₀ · Φ_ENunca abres la caja, y —esto es lo asombroso— da igual la forma de la caja y dónde esté la carga adentro. Esa es la ley de Gauss, y es a donde llega la sesión 4. Los detectores de metales, los escáneres de aeropuerto y la tomografía viven de esta misma idea: leer el interior desde la frontera.
Cuatro cajas, cuatro flujos distintos
Las líneas del campo eléctrico pasan a través de las superficies de la caja y apuntan hacia diferentes sentidos de acuerdo con el signo de la carga. Cuatro cajas iguales, cada una con distintas magnitudes de carga eléctrica.
Flujo eléctrico
El flujo eléctrico se refiere a las líneas del campo eléctrico pasando por una superficie determinada. Tres preguntas para fijarlo:
¿Y si aumenta la carga?
El flujo eléctrico incrementará.
¿Y si agrego una carga igual y opuesta dentro?
El flujo eléctrico será cero.
¿Y si no hay carga, o está fuera de la caja?
El flujo también será igual a cero.
Como el campo eléctrico y el área son vectores, tienen una magnitud y una dirección. El flujo eléctrico se representa así:
Φ_E = E⃗ · A⃗(Ec. 3.11)Para calcularlo usando la magnitud del campo eléctrico y del área, se emplea:
Φ_E = E A cos φ(Ec. 3.12)- ΦE = flujo eléctrico (N·m²/C)
- E = campo eléctrico (N/C)
- A = área de la superficie (m²)
- φ = ángulo entre el vector área y el campo
La analogía del aro en el río
Para entender mejor el flujo eléctrico, algunos autores —como Sears y Zemansky (2018)— utilizan la analogía de un flujo de agua pasando a través de una sección de área transversal. El agua representa al campo eléctrico pasando por una superficie.
Considera que el área transversal es un aro rectangular:
- Si está perpendicular al flujo del agua, pasará el mayor flujo posible a través del aro (corresponde a φ = 0°).
- Si el aro comienza a reclinarse, pasará menos agua a través de él, hasta que se encuentre totalmente reclinado (φ = 90°), donde ya no pasa nada.
El vector área A⃗ apunta perpendicular a la superficie. El ángulo entre el vector área y el campo eléctrico E es el valor de φ.
Tres orientaciones, tres flujos
Inclina la lámina y cuenta las líneas
Simulador de flujo eléctrico
Las líneas rosas resaltadas son las que efectivamente atraviesan la lámina. Llévala a φ = 90° y verás que no queda ninguna.
El que va en cos φ es siempre el que forma E con el vector área, nunca con la lámina. Los dos son complementarios: φ_lámina = 90° − φ. Es exactamente la trampa del Ejemplo 5, donde el dato de 20° es respecto a la lámina y hay que usar 70°. Dibuja primero la flecha perpendicular a la superficie y mide desde ahí.
Una lámina inclinada 20°
La lámina rectangular de la figura tiene dimensiones 0.4 m y 0.6 m. A través de la lámina pasa un campo eléctrico E = 75 N/C, con una desviación de 20° respecto a la superficie de la lámina. ¿Cuál es la magnitud del flujo eléctrico ΦE a través de la lámina rectangular?
Este es el flujo eléctrico que existe con esa inclinación de la lámina rectangular.
Practica sin ayuda
Problema 1
Una ventana de 1.2 m × 0.8 m está colocada perpendicular a un campo eléctrico uniforme de 300 N/C. ¿Cuál es el flujo? ¿Y si la giras 90°?
Perpendicular a la superficie significa que E y A⃗ son paralelos, φ = 0°:
Φ = (300)(0.96)(cos 0°) = 288 N·m²/C Girada 90°: Φ = 288 · cos 90° = 0Problema 2
Una carga de +3 μC está dentro de una caja cerrada. Colocas otra carga de −3 μC también dentro. ¿Cuánto vale ahora el flujo total a través de la caja? ¿Y si la segunda carga la dejas fuera?
Con ambas adentro: las cargas suman cero, así que el flujo total es cero (entran tantas líneas como salen).
Con la segunda carga afuera: el flujo lo determina solo la carga encerrada, +3 μC. Una carga externa aporta flujo neto cero, porque sus líneas entran por un lado de la caja y salen por el otro.
Para discutir en equipo
Las tres preguntas tienen respuesta escrita: ábranla al terminar de discutir.
1
Dos cajas del mismo tamaño encierran la misma carga, pero una es un cubo y la otra una esfera deforme. ¿Tienen el mismo flujo total? ¿De qué depende realmente el flujo?
Sí, exactamente el mismo. El flujo total a través de una superficie cerrada depende únicamente de la carga encerrada:
Φ_E = q_encl / ε₀No depende de la forma, ni del tamaño, ni de en qué lugar del interior esté la carga. La razón intuitiva: cada línea de campo que sale de la carga tiene que atravesar la superficie exactamente una vez, cueste lo que cueste la geometría. Lo que sí cambia entre el cubo y la esfera deforme es el valor de E en cada punto de la superficie — pero al sumarlo todo, el total se empareja. Esto es literalmente el enunciado de la ley de Gauss, que verán completo en la sesión 4.
2
Si el flujo total a través de una superficie cerrada es cero, ¿significa necesariamente que el campo eléctrico es cero en todos sus puntos? Da un contraejemplo.
No. Flujo cero significa “entran tantas líneas como salen”, no “no hay líneas”. Dos contraejemplos:
- Una caja vacía en un campo uniforme. No hay carga dentro, así que Φ = 0; pero E vale lo mismo en todos los puntos y no es cero en ninguno. Las líneas entran por la cara izquierda y salen por la derecha.
- Una caja con +q y −q adentro. La carga neta es cero y Φ = 0, pero entre las dos cargas el campo es intensísimo.
La implicación correcta va en un solo sentido: si E = 0 en toda la superficie, entonces Φ = 0. Al revés no se vale.
3
En el Ejemplo 4 los componentes horizontales se cancelaron. ¿Qué tendríamos que cambiar —la magnitud de una carga, su signo o su posición— para que la resultante apuntara en diagonal? Propón un cambio y predice el resultado.
Cualquier cosa que rompa la simetría sirve. Tres caminos, con su predicción:
- Cambiar una magnitud. Si q₁ pasa a +10 μC, entonces E₁ = 225×10⁶ N/C y E₁ₓ = 148.8×10⁶ ya no cancela a E₂ₓ = 74.4×10⁶. Queda ERx = +74.4×10⁶ y ERy = −253.1×10⁶, es decir E_R ≈ 263.8×10⁶ N/C apuntando abajo y a la derecha (θR ≈ 286°). Diagonal.
- Mover P fuera de la mediatriz. Las distancias dejan de ser iguales, las magnitudes también, y la cancelación se rompe sola.
- Cambiar un signo (las dos positivas). Ahora se cancelan las componentes verticales y la resultante queda horizontal, no diagonal — un resultado que sorprende y vale la pena verificar.
Los tres se pueden comprobar en el simulador de superposición de esta misma sesión.
Las trampas de esta sesión
Sumar magnitudes en lugar de vectores
En el Ejemplo 4, E₁ = E₂ = 112.5×10⁶ N/C. Si sumas los números directamente te da 225×10⁶ N/C, y el resultado correcto es 168.74×10⁶ N/C. La diferencia es que los campos apuntan en direcciones distintas. Siempre: descomponer → sumar componente por componente → recomponer con la ecuación 3.10.
Usar el ángulo equivocado en el flujo
φ es el ángulo entre E y el vector área, que es perpendicular a la superficie —no el ángulo entre E y la superficie misma. En el Ejemplo 5 el dato era 20° respecto a la lámina, y por eso φ = 70°. Si usaste cos 20° obtuviste 16.9 en lugar de 6.16.
Truco: dibuja la flecha perpendicular a la superficie antes de medir cualquier ángulo.
Perder los signos al sumar componentes
En ERx = +E₁ₓ − E₂ₓ el signo viene del dibujo, no de la fórmula. Antes de sumar, marca en tu diagrama qué componentes van hacia +x, −x, +y o −y. Si tu resultante apunta en un sentido que contradice tu dibujo, el error está en los signos, no en la calculadora.
Es imposible, y por eso es un error fácil de cachar: la resultante de dos vectores nunca supera la suma de sus magnitudes (eso es la desigualdad del triángulo). Lo máximo es E₁ + E₂, y solo cuando apuntan exactamente igual. Si te pasaste, casi siempre es porque elevaste al cuadrado sumas en vez de sumar cuadrados, o porque usaste un ángulo en grados con la calculadora en radianes. Comprobación de 5 segundos: ER tiene que quedar entre |E₁ − E₂| y E₁ + E₂.
Descomponer para poder resolver
Hoy usaste dos veces la misma estrategia intelectual:
- Un problema complicado se parte en piezas simples (cada carga por separado, cada componente x y y).
- Cada pieza se resuelve con una herramienta que ya dominas.
- Las piezas se vuelven a juntar respetando su dirección.
Esta es, literalmente, la forma en que se escribe software, se diseña un puente, se planea un proyecto o se organiza un negocio. En ingeniería se le llama divide y vencerás; en la vida se le llama saber por dónde empezar.
Tu propósito de vida
Piensa en una meta que se te haya hecho enorme: entrar a una carrera, aprender inglés, ahorrar para algo. ¿Cuáles son sus “componentes”? Escribe tres, y decide cuál resolverías esta semana.
Una meta que no puedes descomponer casi siempre es una meta que todavía no entiendes bien.
Lo que te llevas
Conceptos
- Los campos se suman como vectores, nunca como números sueltos.
- El flujo eléctrico cuenta las líneas de campo que atraviesan una superficie.
- El vector área es perpendicular a la superficie.
- Carga encerrada nula ⟹ flujo total nulo.
Herramientas
- E = E₁ + E₂ + E₃ … (Ec. 3.9)
- E_R = √(Eₓ² + E_y² + E_z²) (Ec. 3.10)
- Φ_E = E⃗·A⃗ (Ec. 3.11) y Φ_E = EA cos φ (Ec. 3.12)
Última sesión: Gauss convierte todo lo anterior en una sola ecuación que resuelve en tres líneas problemas que con Coulomb serían imposibles.
Ley de Gauss y sus aplicaciones
Una ecuación que sustituye horas de cálculo con Coulomb
Contar sin abrir
En el aeropuerto nadie abre tu maleta: un escáner detecta lo que hay dentro desde afuera. En un hospital, una resonancia ve tu rodilla sin un solo corte.
Gauss hizo lo mismo con la carga eléctrica: propuso que todo lo que necesitas saber sobre la carga encerrada está escrito en la superficie que la rodea. No hay que entrar.
La ley de Gauss sirve para calcular el campo eléctrico y es una alternativa a la ley de Coulomb, que ya se estudió previamente. Lleva este nombre por el matemático que la formuló en 1835: Carl Friedrich Gauss.
Y hay una razón práctica, no solo elegante: la ley de Coulomb tiene la limitante de que solo es aplicable a cargas puntuales. ¿Cómo calcularías el campo de una varilla cargada, o de una lámina entera?
Con Coulomb, a mano, no puedes. Tendrías que cortar la varilla en millones de pedacitos, tratar cada uno como carga puntual, calcular su campo vectorial en el punto que te interesa y sumar los millones de vectores. Es una integral, y para una lámina son dos.
Gauss da la vuelta al problema: en vez de sumar fuentes, rodea la distribución con una superficie elegida a modo y lee la respuesta de un solo renglón. Para la lámina infinita, el resultado cabe en cinco líneas y lo verás hoy: E = σ/2ε₀.
Ley de Gauss
“El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie, dividida entre ε₀” (Sears y Zemansky, 2018).
La ecuación anterior se conoce como la forma integral de la ley de Gauss; la integral significa que las líneas del campo eléctrico (E) que pasen a través de pequeñísimos segmentos del área de la esfera (dA) se van a sumar.
El flujo eléctrico se calculará entonces de acuerdo con Gauss, al dividir el valor de la carga por la constante de permitividad (ε₀ = 8.854×10⁻¹² C²/N·m²). La ecuación 3.13 se cumple para superficies con cualquier forma y tamaño, siempre y cuando la superficie que contenga la carga q sea una superficie cerrada.
Si más de una carga está dentro de la superficie gaussiana, las cargas se sumarán algebraicamente (significa que el signo de la carga se mantiene), y después el resultado se dividirá por la constante de permitividad:
Φ_E = Σ q_encl / ε₀(Ec. 3.14)Superficies gaussianas
La esfera que usamos es imaginaria: no es necesario que haya un objeto sobre la superficie, y puede ser de forma irregular. A estas superficies cerradas se les conoce como superficies gaussianas. Aunque la superficie no sea una esfera, la ley de Gauss es aplicable.
Regla de signos
- Carga positiva dentro → flujo positivo (saliente).
- Carga negativa dentro → flujo negativo (entrante).
Por qué la forma no importa
En una superficie irregular, la normal hacia afuera forma un ángulo φ con la dirección de E, y la proyección del elemento de área dA sobre la superficie esférica es dA cos φ. Ese es exactamente el producto punto de la ecuación 3.13, y es lo que compensa la deformación de la superficie.
Mete y saca cargas de la caja
Laboratorio de la ley de Gauss
Agrega cargas y observa dos cosas: las de fuera nunca mueven el número (sus líneas entran y salen), y una +1 con una −1 adentro dan flujo cero aunque el campo entre ellas sea intensísimo.
Comprueba la idea central
Dentro de una superficie gaussiana hay cargas de +8 μC y −5 μC. Justo afuera hay otra de +20 μC. ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través de la superficie?
Por qué necesitamos a Gauss
Si se desea calcular el campo eléctrico de una carga puntual a partir de la sustitución de la ley de Coulomb en la definición de campo eléctrico, se obtendrá como resultado E = k q/r² (Ec. 3.5). Sin embargo, existen objetos con carga que no son cargas puntuales: por ejemplo, una varilla o una lámina.
Con Coulomb
Habría que separar la varilla en partes muy pequeñas (como una carga puntual cada una) y después sumar el campo eléctrico de cada parte. Trabajo interminable.
Con Gauss
Utilizando cálculo y una superficie gaussiana adecuada, se simplifican los cálculos matemáticos para una distribución de carga. Tres líneas y listo.
Cuando una carga está distribuida en un objeto, se toma en cuenta la densidad de carga.
Las tres densidades de carga
Densidad lineal
λ = q / L [C/m](Ec. 3.15)Donde L es la longitud del objeto. Por ejemplo, en un alambre infinito dentro de un cilindro conductor.
Densidad superficial
σ = q / A = q / S [C/m²](Ec. 3.16)Donde S y A son el área del objeto. Por ejemplo, en una o dos placas conductoras.
Densidad volumétrica
ρ = q / V [C/m³](Ec. 3.17)Donde V es el volumen del objeto. Como en una esfera donde la carga se distribuya en todo el volumen.
Cómo elegir: pregúntate dónde vive la carga. ¿A lo largo de algo? λ. ¿Sobre una superficie? σ. ¿Repartida en todo el interior? ρ.
Campo eléctrico de distribuciones simétricas de carga
A continuación se muestra una tabla con las fórmulas a utilizar para calcular el campo eléctrico generado de acuerdo con la distribución de carga y a la geometría utilizada como superficie gaussiana.
| Distribución de la carga | Punto en un campo eléctrico | Magnitud del campo eléctrico |
|---|---|---|
| Una sola carga puntual q | Distancia r desde q | E = (1 / 4πε₀) · q / r² |
| Carga q en la superficie de una esfera conductora de radio R | Esfera exterior, r > R | E = (1 / 4πε₀) · q / r² |
| Esfera interior, r < R | E = 0 | |
| Alambre infinito, carga por unidad de longitud λ | Distancia r desde el alambre | E = (1 / 2πε₀) · λ / r |
| Cilindro conductor infinito con radio R, carga por unidad de longitud λ | Cilindro exterior, r > R | E = (1 / 2πε₀) · λ / r |
| Cilindro interior, r < R | E = 0 | |
| Esfera aislante sólida con radio R, carga Q distribuida de manera uniforme en todo el volumen | Esfera exterior, r > R | E = (1 / 4πε₀) · Q / r² |
| Esfera interior, r < R | E = (1 / 4πε₀) · Q r / R³ | |
| Lámina infinita con carga uniforme por unidad de área σ | Cualquier punto | E = σ / 2ε₀ |
| Dos placas conductoras con cargas opuestas y densidades superficiales de carga +σ y −σ | Cualquier punto entre las placas | E = σ / ε₀ |
| Conductor cargado | Inmediatamente afuera del conductor | E = σ / ε₀ |
La geometría decide cómo cae el campo
Comparador de geometrías
Las tres curvas están normalizadas para valer lo mismo a 20 cm, así que lo único que las distingue es cómo caen.
Porque cambia sobre qué área se reparten las mismas líneas. Alrededor de un punto, las líneas se abren sobre una esfera de área 4πr², que crece con el cuadrado → 1/r². Alrededor de un alambre, se abren sobre un cilindro de área 2πrL, que crece linealmente → 1/r. Y frente a una lámina infinita las líneas salen paralelas: nunca se separan, el área no crece, y el campo no cae.
Una placa infinita cargada
¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto de una placa infinita cargada con carga uniforme por unidad de área σ = 10 C/m²?
Si se revisa la tabla del campo eléctrico para distintas distribuciones de carga, podrá notarse que la ecuación para una placa cargada es exactamente la misma expresión que acabamos de obtener.
Como se puede apreciar, es mucho más sencillo utilizar la tabla para solucionar los problemas de la ley de Gauss y, por lo tanto, más conveniente su uso. Pero saber de dónde sale cada renglón de la tabla es lo que te permite confiar en ella.
Usa la tabla
Problema 1
Una esfera conductora de radio R = 0.1 m tiene una carga de 4 μC en su superficie. ¿Cuál es el campo a 0.05 m del centro? ¿Y a 0.2 m?
A 0.05 m estamos dentro (r < R): según la tabla, E = 0.
A 0.2 m (r > R): E = k q/r² = 9×10⁹ · 4×10⁻⁶ / (0.2)² E = 9×10⁵ N/CFuera de la esfera, el campo es idéntico al de una carga puntual colocada en el centro.
Problema 2
Un alambre muy largo tiene una densidad lineal λ = 2×10⁻⁶ C/m. ¿Cuál es el campo a 0.3 m del alambre? Usa E = λ/(2πε₀r).
Fíjate en algo importante: aquí el campo cae como 1/r, no como 1/r². La geometría de la distribución cambia la ley de decaimiento.
Para discutir en equipo
Última ronda del tema. Discutan, arriesguen una respuesta y después ábranla.
1
Según la tabla, el campo dentro de una esfera conductora cargada es cero. ¿Por qué entonces tu celular pierde señal dentro de un elevador metálico? ¿Qué relación tiene con la jaula de Faraday?
Es el mismo fenómeno, leído al revés. El renglón “E = 0 dentro” dice que las cargas libres de un conductor se reacomodan hasta cancelar cualquier campo en su interior. Esa cancelación no distingue si el campo venía de la propia esfera o de afuera: el elevador es una jaula de Faraday y su metal anula adentro el campo de la antena que está afuera. Sin campo que llegue, no hay señal.
Un matiz que vale oro: la cancelación es perfecta solo para un conductor cerrado. Un elevador real tiene rendijas, y una rendija deja pasar ondas cuya longitud de onda sea comparable a ella. Por eso a veces te queda una rayita: a 2 GHz, λ ≈ 15 cm, y una rendija de ese tamaño ya es una puerta. El mismo principio protege un avión alcanzado por un rayo y a ti dentro de tu coche.
2
La ley de Gauss se cumple para cualquier forma de superficie, pero solo es útil para calcular E cuando hay simetría. ¿Qué significa esa diferencia entre “ser cierta” y “ser útil”? ¿Se te ocurre otro ejemplo en matemáticas?
La ecuación 3.13 siempre vale, pero es una sola ecuación escalar. Para despejar E de dentro de la integral necesitas poder sacarlo del signo de suma, y eso solo pasa si sobre toda tu superficie E tiene la misma magnitud y forma un ángulo constante con dA — es decir, si la simetría te lo regala (esférica, cilíndrica o plana). Sin simetría tienes una ecuación y un número infinito de incógnitas: cierta, sí; útil para despejar, no.
Ejemplos del mismo tipo: la identidad a² − b² = (a+b)(a−b) es siempre verdadera, pero solo sirve para factorizar cuando reconoces una diferencia de cuadrados; y la conservación de la energía se cumple siempre, pero solo resuelve un problema cuando puedes enumerar todos los términos de energía. Una herramienta sirve cuando la forma del problema encaja con ella.
3
El campo de una lámina infinita, E = σ/2ε₀, no depende de la distancia. ¿Cómo puede ser eso posible si el campo de una carga puntual sí depende de r? ¿Qué está pasando geométricamente?
Lo que cae no es “el campo por naturaleza”, sino la densidad de líneas. Alrededor de una carga puntual las líneas se abren en todas direcciones y se reparten sobre una esfera de área 4πr²: al alejarte hay la misma cantidad de líneas repartida sobre mucha más área, y por eso E ∝ 1/r².
Frente a una lámina infinita las líneas salen perpendiculares y paralelas entre sí. Nunca se separan, así que el área que atraviesan no crece y la densidad se queda igual: el campo es constante.
Hay una segunda lectura, más intuitiva: al alejarte de una placa real, cada pedacito de placa te aporta menos (1/r²), pero “ves” más placa —el área dentro de tu ángulo de visión crece como r²—. Los dos efectos se cancelan exactamente. Eso también explica el límite: ninguna placa es infinita, así que a una distancia mucho mayor que su tamaño vuelve a verse como un punto y el campo recupera su 1/r².
Lo que hay que cuidar con Gauss
Contar cargas que están afuera
En qencl solo entra la carga encerrada. Una carga externa sí crea campo en la superficie, pero su flujo neto es cero: lo que entra por un lado sale por el otro. Antes de sustituir, dibuja tu superficie gaussiana y encierra con el dedo qué cargas quedan adentro.
Olvidar que las cargas se suman con su signo
La ecuación 3.14 dice Σqencl: suma algebraica. +8 μC y −5 μC encerradas dan 3 μC, no 13 μC. Y si la suma da cero, el flujo total es cero aunque el campo no lo sea en ningún punto.
Elegir la superficie sin pensar en la simetría
La ley se cumple con cualquier superficie, pero solo sirve para despejar E si eliges una donde E sea constante y perpendicular. Por eso en el Ejemplo 6 se usó un cilindro: el flujo lateral se anula y quedan solo las dos bases. Si tu ecuación se complica, casi siempre es la superficie la que está mal elegida, no tu álgebra.
Confundir ε₀ con k
En la tabla las fórmulas vienen con 1/4πε₀ y 1/2πε₀. Recuerda: 1/4πε₀ = k ≈ 9×10⁹, pero 1/2πε₀ ≈ 1.8×10¹⁰, no 9×10⁹. Sustituir k donde va 1/2πε₀ te da la mitad del resultado correcto.
No. Flujo cero solo dice que la carga neta encerrada es cero, es decir, que entran tantas líneas como salen. Una caja vacía en medio de un campo uniforme tiene Φ = 0 y campo intenso en todos sus puntos; una caja con +q y −q adentro, lo mismo. La implicación válida corre en un solo sentido: si E = 0 en toda la superficie, entonces Φ = 0. Nunca al revés.
Elegir bien el punto de vista
La lección más profunda de Gauss no es una fórmula. Es esta: el mismo problema puede ser imposible o trivial según desde dónde lo mires. Coulomb te obligaba a sumar infinitos pedacitos; Gauss te pide elegir una superficie inteligente y el problema se disuelve.
Eso es lo que hace un ingeniero, un médico, un abogado o un emprendedor cuando es realmente bueno: no trabaja más duro sobre el mismo enfoque, cambia el enfoque.
- En programación: cambiar la estructura de datos vuelve trivial un algoritmo lento.
- En medicina: cambiar de síntoma a causa cambia el tratamiento entero.
- En un conflicto: cambiar la pregunta de “¿quién tiene razón?” a “¿qué necesitamos?” cambia el desenlace.
Tu propósito de vida
Piensa en un problema que llevas tiempo atorado intentando resolver de la misma manera. ¿Cuál sería tu “superficie gaussiana”: el cambio de perspectiva que lo volvería simple?
La gente que resuelve cosas difíciles rara vez es la que empuja más fuerte. Es la que se detiene a preguntar si está empujando en el lugar correcto.
Lo que construimos en cuatro sesiones
En este tema se han revisado las bases fundamentales de la electrostática, comenzando por el concepto de carga eléctrica y las interacciones que pueden existir entre varias cargas. Se ha explorado cómo estas interacciones se manifiestan en forma de fuerza eléctrica y cómo es posible calcularla utilizando la ley de Coulomb.
Además, se ha analizado el concepto de campo eléctrico, incluyendo las ecuaciones para su cálculo y la representación de las líneas de campo, aplicando asimismo el principio de superposición de campos eléctricos. Se ha definido el concepto de flujo eléctrico y se han estudiado las fórmulas que permiten su análisis, lo cual ha sentado las bases de la ley de Gauss. Esta ley ha sido fundamental para determinar el campo eléctrico en diversos sistemas físicos, proporcionando una herramienta práctica para entender y calcular los campos eléctricos.
A través de la comprensión de estos conceptos, adquiriste conocimientos esenciales que te permitirán aplicar la teoría de la electrostática en la resolución de problemas prácticos en tu entorno. Estos conocimientos también te ayudarán a visualizar el uso de la electrostática en diferentes contextos de la ciencia y la tecnología, desde el diseño de dispositivos electrónicos hasta la comprensión de fenómenos naturales.
Asegúrate de poder hacer esto
Cada punto trae una pregunta de autoevaluación con su respuesta: si puedes contestarla sin abrirla, ese punto ya es tuyo.
1
Aplicar la ley de Coulomb y los conceptos de carga eléctrica, fuerza de atracción y repulsión.
Dos cargas de −2 μC y −6 μC están a 30 cm. ¿Se atraen o se repelen, y cuánto vale la fuerza?
Mismo signo → repulsión. F = 9×10⁹(2×10⁻⁶)(6×10⁻⁶)/(0.3)² = 1.2 N, la misma sobre cada carga y en sentidos opuestos.
2
Resolver problemas sobre campo eléctrico y el principio de superposición de campos eléctricos.
Dos cargas de +3 μC están separadas 40 cm. ¿Cuánto vale el campo justo en el punto medio?
Cero. Cada carga produce ahí E = 9×10⁹(3×10⁻⁶)/(0.2)² = 6.75×10⁵ N/C, pero apuntan en sentidos opuestos y se cancelan. Si las cargas fueran de signo contrario, en cambio, se sumarían y darían 1.35×10⁶ N/C.
3
Emplear el concepto de flujo eléctrico y carga encerrada.
Una superficie plana de 0.5 m² está en un campo uniforme de 200 N/C, inclinada 30° respecto a la superficie. ¿Cuál es el flujo?
El ángulo con el vector área es φ = 90° − 30° = 60°. Entonces Φ = (200)(0.5)cos 60° = 50 N·m²/C. Si hubieras usado 30° habrías obtenido 86.6: es el error del Ejemplo 5.
4
Calcular campos eléctricos a partir de la ley de Gauss.
Una esfera conductora de radio 0.2 m tiene +6 μC. ¿Cuánto vale E a 0.1 m del centro y cuánto a 0.4 m?
A 0.1 m estás dentro del conductor: E = 0. A 0.4 m estás fuera, y el campo es el de una carga puntual en el centro: E = 9×10⁹(6×10⁻⁶)/(0.4)² = 3.375×10⁵ N/C.
Referencias bibliográficas
- Sears, F., y Zemansky, M. (2018). Física universitaria con física moderna 2. México: Pearson/Addison-Wesley.
- Serway, R., y Vuille, C. (2018). Fundamentos de física (10ª ed.). México: Cengage Learning.
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