Formas de la ecuación de la recta
Una misma recta se puede escribir de seis maneras distintas. Ninguna es “la correcta”: cada una se usa cuando conoces ciertos datos y no otros.
Al terminar esta sesión vas a poder
- Escribir la ecuación de una recta cuando conoces la pendiente y un punto.
- Escribir la ecuación cuando conoces dos puntos.
- Trazar la gráfica a partir de una ecuación en forma punto-pendiente.
Las tres sesiones de este tema cubren, entre todas, los 12 ejercicios de tu tarea. Al final de cada sesión verás exactamente cuáles ya puedes contestar.
El viaje en DiDi que no cuadra
Pides un viaje de Tlaquepaque al centro de Guadalajara. La app no te muestra la fórmula, solo dos datos que alcanzaste a ver:
A los 2 km recorridos, el cobro iba en $45.
A los 6 km recorridos, el cobro iba en $85.
Con eso basta para reconstruir toda la tarifa. Pero fíjate en algo: tú no conoces el banderazo (lo que cobra en el kilómetro cero). Conoces dos puntos.
Antes de calcular nada, ¿cuánto cuesta cada kilómetro extra?
De 2 km a 6 km hay 4 km de diferencia. El cobro subió de $45 a $85, es decir $40.
Cada kilómetro cuesta $10. Eso es la pendiente: la razón de cambio que ya estudiaste en el Tema 2. El banderazo aparecerá solo cuando escribamos la ecuación.
Una recta, seis vestuarios
Esta es la recta que pasa por (4, 0) y (0, 3). Es una sola recta, un solo conjunto de puntos. Toca cada forma para ver cómo se escribe.
Todas describen los mismos puntos. Cambia el vestuario, no la persona. Lo que cambia es qué información te queda a la vista.
El mapa del tema
| Forma | Fórmula | La usas cuando conoces… | Sesión |
|---|---|---|---|
| Punto-pendiente | y − y₁ = m(x − x₁) | pendiente y un punto | 1 |
| Dos puntos | y − y₁ = [(y₂−y₁)/(x₂−x₁)](x − x₁) | dos puntos | 1 |
| Pendiente-ordenada | y = mx + b | pendiente y corte con el eje y | 2 |
| Simétrica | x/a + y/b = 1 | los dos cortes con los ejes | 2 |
| General | Ax + By + C = 0 | cualquier recta, en formato uniforme | 3 |
| Normal | (Ax + By)/±√(A²+B²) = C/±√(A²+B²) | quieres la distancia al origen | 3 |
Referencia: Ruiz (2018), Matemáticas 3: Geometría analítica básica; Cuéllar (2019), Matemáticas 3.
Forma punto-pendiente: de dónde sale
La pendiente entre un punto fijo (x₁, y₁) y cualquier otro punto (x, y) de la recta siempre vale lo mismo, m:
Multiplica ambos lados por (x − x₁) y ya está:
Cómo leerla: (x₁, y₁) es el ancla —un punto por el que sí pasa la recta— y m es la inclinación con la que sale de ahí. Un ancla y una dirección definen una recta completa.
Pendiente m = −3 que pasa por (2, −5)
Este es el Ejemplo 1 de tu material de plataforma. Sigue los tres movimientos:
1. Identifica. m = −3, x₁ = 2, y₁ = −5.
2. Sustituye en y − y₁ = m(x − x₁):
3. Simplifica el doble signo del lado izquierdo:
El paso 3 es donde más se pierde gente. y − (−5) se vuelve y + 5, pero el (x − 2) no se toca: ahí x₁ ya era positivo.
Discútanlo en parejas
1. La recta del ejemplo también pasa por el punto (3, −8). Si usamos ese punto en vez de (2, −5), obtenemos y + 8 = −3(x − 3). ¿Son la misma recta dos ecuaciones que se ven distintas? ¿Cómo lo comprobarías?
2. ¿Cuántas ecuaciones punto-pendiente distintas puede tener una sola recta? ¿Por qué?
3. Una recta vertical pasa por (2, −5). ¿Qué pasa si intentas escribirla en forma punto-pendiente? Intenta calcular su pendiente antes de responder.
1 y 2. Son la misma recta. Cada punto de la recta genera una ecuación punto-pendiente distinta, así que hay infinitas. Para comprobarlo, desarrolla las dos: ambas llegan a y = −3x + 1.
3. Una recta vertical tiene dos puntos con la misma x, así que el denominador x₂ − x₁ vale 0 y la pendiente no existe. La forma punto-pendiente no puede escribirla. Su ecuación es simplemente x = 2. Guarda esta idea: será importante en la Sesión 3.
Tu turno: pendiente y un punto
Escribe cada ecuación en forma punto-pendiente antes de revelar.
a) m = 4, pasa por (−3, 7)
x₁ = −3, y₁ = 7. Sustituyendo: y − 7 = 4(x − (−3))
El paréntesis cambió a suma porque x₁ era negativo.
b) m = −2/3, pasa por (6, −1)
x₁ = 6, y₁ = −1. Sustituyendo: y − (−1) = −2/3(x − 6)
Los dos signos cambian por razones distintas: el de la izquierda porque y₁ es negativo, el del coeficiente porque la pendiente ya venía negativa.
c) m = 0, pasa por (−5, 2)
y − 2 = 0(x + 5), y como todo lo que multiplica a 0 es 0:
Pendiente cero significa recta horizontal: la y se queda quieta en 2 sin importar la x.
Antes de seguir
Contesta bien para desbloquear la siguiente parte.
¿Cuál es la ecuación punto-pendiente de la recta con m = −5 que pasa por (−1, −4)?
x₁ = −1 y y₁ = −4, los dos negativos. La fórmula resta ambos:
Restar un negativo suma. Los dos paréntesis terminan con signo +.
El botón “Siguiente” se activa cuando aciertes.
Forma dos puntos
Si no te dan la pendiente pero sí dos puntos, primero la calculas y luego usas punto-pendiente. Las dos ideas juntas se escriben así:
No es una fórmula nueva: es punto-pendiente con la pendiente ya sustituida.
Regla práctica: ordena los datos antes de sustituir. Escribe x₁, y₁, x₂, y₂ en una línea aparte. La mayoría de los errores en esta forma son de captura, no de razonamiento.
Las ventas de la tienda deportiva
Una tienda departamental registró las ventas de una marca deportiva durante el año. En el mes 2 vendió $15,000 y en el mes 5 vendió $45,000. Calcula el incremento promedio mensual y la ecuación punto-pendiente.
Los puntos son (2, 15000) y (5, 45000).
La pendiente es el incremento promedio: $10,000 más cada mes. Ahora sustituye en punto-pendiente con (2, 15000):
Leer los puntos de una gráfica
Observa la recta y escribe su ecuación punto-pendiente. Los puntos marcados son (−2, 6) y (3, −6).
P₁ = (−2, 6), P₂ = (3, −6), entonces x₁ = −2, y₁ = 6, x₂ = 3, y₂ = −6.
Sustituyendo con el punto (−2, 6):
La pendiente negativa concuerda con lo que ves: la recta baja de izquierda a derecha.
¿Importa a cuál punto le llamas P₁?
En el ejemplo anterior tomamos P₁ = (−2, 6). Un compañero tomó P₁ = (3, −6) y obtuvo:
1. ¿Quién se equivocó? Justifica sin desarrollar la ecuación, solo con el significado geométrico.
2. Si al calcular la pendiente inviertes el orden en el numerador pero no en el denominador, ¿qué recta obtienes? Dibújala mentalmente junto a la original.
1. Nadie. Ambos puntos pertenecen a la recta, así que cualquiera sirve de ancla. Lo que no puedes hacer es mezclar: usar la x de un punto con la y del otro.
2. Obtendrías la pendiente con signo contrario, +12/5, es decir una recta reflejada que sube en lugar de bajar. Por eso el orden debe ser el mismo arriba y abajo: si empiezas por P₂ en el numerador, empieza por P₂ en el denominador.
Tu turno: dos puntos
a) A(1, 2) y B(5, 10)
Con el punto (1, 2): y − 2 = 2(x − 1). Si la desarrollas, y = 2x: pasa por el origen.
b) A(−3, 4) y B(2, −6)
Con el punto (−3, 4): y − 4 = −2(x + 3). Desarrollada: y = −2x − 2.
c) A(−4, −1) y B(2, 3)
Simplifica la fracción antes de sustituir. Con (−4, −1):
Trazar la gráfica desde punto-pendiente
La forma punto-pendiente te regala el dibujo: el punto es dónde empiezas y la pendiente es la escalera que subes o bajas.
Paso 1. Lee el ancla. (x + 1) significa (x − (−1)), así que x₁ = −1; y y₁ = 2. Marca (−1, 2).
Paso 2. Lee la escalera. m = 3/4 significa: 4 a la derecha, 3 hacia arriba.
Paso 3. Desde (−1, 2) avanza 4 y sube 3: llegas a (3, 5). Une los dos puntos.
La línea punteada naranja es la escalera: el tramo horizontal vale 4 y el vertical vale 3. Si la pendiente fuera negativa, el tramo vertical bajaría.
Error 1: el signo que se come la coordenada
Este es, por mucho, el error más frecuente del tema. Míralo con calma:
Recta con m = 2 que pasa por (−5, 3).
Lo que mucha gente escribe: y − 3 = 2(x − 5) ❌
Lo correcto: y − 3 = 2(x + 5) ✅
Por qué pasa: la fórmula dice (x − x₁). Cuando x₁ ya trae un menos, al copiarlo se queda un solo signo en lugar de dos. Escribe siempre el paso intermedio con el paréntesis doble: (x − (−5)). Es feo, pero te salva.
¿Cuál de estas ecuaciones pasa por el punto (−2, −7)?
Comprobación directa: sustituye x = −2 y y = −7 en cada opción y mira cuál da una igualdad verdadera.
En la opción d: −7 + 7 = 3(−2 + 2) → 0 = 0 ✅. En las demás no se cumple.
Truco que puedes usar siempre: si dudas entre dos ecuaciones, sustituye el punto. La ecuación correcta siempre se cumple con su propio punto.
Error 2: la pendiente de cabeza
Puntos (1, 4) y (3, 10).
Cálculo incorrecto: m = (3 − 1)/(10 − 4) = 2/6 = 1/3 ❌
Cálculo correcto: m = (10 − 4)/(3 − 1) = 6/2 = 3 ✅
Cómo detectarlo sin la fórmula: la pendiente responde “¿cuánto sube la y por cada 1 que avanza la x?”. Aquí la x avanzó 2 y la y subió 6, así que por cada 1 de x la y sube 3. Si tu resultado da menos de 1 y la gráfica sube rápido, algo está invertido.
Una recta pasa por (0, 1) y (2, 9). ¿Cuál es su pendiente?
El 8 es solo el cambio en y (el numerador). Falta dividirlo entre el avance en x. Y el 1/4 es la pendiente invertida.
Reto de salida
Tres preguntas. Si fallas alguna, revisa la diapositiva que se indica en la solución antes de irte.
1. m = −1/2 y pasa por (8, −3). Forma punto-pendiente:
y₁ = −3 es negativo → el lado izquierdo suma. x₁ = 8 es positivo → el paréntesis resta. y + 3 = −½(x − 8).
2. Recta por (−1, 5) y (4, −5). Su pendiente es:
Ojo con el denominador: 4 − (−1) = 5, no 3.
3. Para graficar y + 4 = 2(x − 3), ¿en qué punto empiezas?
La fórmula es y − y₁ = m(x − x₁). Aquí y + 4 es y − (−4), así que y₁ = −4; y x − 3 da x₁ = 3. El ancla es (3, −4). Los signos que ves en la ecuación son siempre los contrarios a las coordenadas.
Dos datos y una decisión
Lo que hiciste hoy no fue “despejar una ecuación”. Fue esto: con dos observaciones reconstruiste una regla completa y pudiste predecir lo que pasa en cualquier otro punto, incluso donde nunca mediste.
En mi trabajo como ingeniero de software esa es literalmente la tarea diaria: tengo el consumo de un servidor en dos momentos y tengo que estimar cuándo se va a saturar. No hay fórmula regalada, solo dos puntos y una pendiente.
La misma estructura aparece en:
- Tu dinero. Dos estados de cuenta te dicen cuánto ahorras por mes y cuándo alcanzas tu meta.
- Salud y deporte. Dos mediciones de tiempo en 5 km te dicen tu ritmo de mejora.
- Negocios. Ventas de dos meses te dan la tendencia, como en el ejemplo de la tienda.
Para tu propósito de vida: la gente que decide bien no es la que tiene más datos, sino la que sabe qué hacer con los pocos que tiene. Antes de la próxima clase, identifica algo en tu vida que hayas medido dos veces —peso, gasto, calificación, tiempo— y calcula su pendiente. Vas a saber hacia dónde vas.
Ya puedes contestar de tu tarea
2 Escribir una ecuación en la forma punto pendiente dadas la pendiente y un punto
8 12 Escribir la ecuación de una recta que atraviesa dos puntos dados
10 Trazar el gráfico de una recta dada su ecuación en forma punto pendiente
Faltan 8 ejercicios. Los cubrimos en las dos sesiones siguientes.
Checkpoint personal
- ¿Puedo escribir una ecuación punto-pendiente sin equivocarme de signo?
- ¿Puedo calcular una pendiente a partir de dos puntos con coordenadas negativas?
- ¿Puedo trazar una recta con solo el ancla y la escalera?
Pendiente-ordenada al origen y forma simétrica
Dos formas que se leen de un vistazo: una te dice dónde arranca la recta en el eje y; la otra te dice por dónde cruza los dos ejes.
Al terminar esta sesión vas a poder
- Escribir
y = mx + ba partir de una pendiente y un punto, o de una ecuación despejada. - Encontrar la ecuación cuando te dan un punto y la ordenada al origen.
- Trazar una recta usando su pendiente y su ordenada al origen.
- Escribir y leer la forma simétrica
x/a + y/b = 1.
Tu plan de datos
Un plan de telefonía cobra una renta fija al mes y además un costo por cada GB que te pases. Mueve los controles y observa qué parte de la gráfica cambia con cada uno.
Con b la recta sube o baja completa, sin inclinarse. Con m gira, pero el cruce con el eje y se queda clavado.
En el plan de datos: b es la renta fija (lo que pagas aunque uses 0 GB) y m es el costo por GB. Cambiar de plan barato a plan caro mueve la b. Cambiar la tarifa por GB mueve la m.
La ordenada al origen
La ordenada al origen es la coordenada y del punto donde la recta cruza el eje y. En ese punto, la x vale cero: se escribe (0, b).
Donde m es la pendiente y (0, b) es el punto de cruce con el eje y. Esta forma también se llama pendiente-intersección y es la que se usa para graficar rápido.
En la recta y = −4x + 7, ¿por dónde cruza el eje y?
El cruce con el eje y ocurre cuando x = 0. Sustituye: y = −4(0) + 7 = 7. El punto es (0, 7).
(7, 0) sería el cruce con el eje x, que es otra cosa: la abscisa al origen. La veremos en la forma simétrica.
El alpinista y la temperatura
Un alpinista compara la temperatura de una montaña con la altura. Al pie de la montaña la temperatura es −5 °C y la pendiente de la recta es m = −1/5. Determina la ecuación pendiente-ordenada al origen.
El pie de la montaña es altura 0, así que el punto es (0, −5). Como la x vale cero, ese punto ya es la ordenada al origen: b = −5.
Lectura física: por cada 5 metros que subes, la temperatura baja 1 °C, partiendo de −5 °C.
Atajo que vale para siempre: si el punto que te dan tiene x = 0, su coordenada y es la b. No hay que despejar nada.
Despejar para ver la pendiente
Escribe 3x − 2y = 18 en su forma pendiente-ordenada al origen y determina m y el punto de intersección con el eje y.
Despeja y paso a paso:
De aquí se identifican m = 3/2 y b = −9, así que corta el eje y en (0, −9).
Cuidado: hay que dividir los dos términos entre −2, no solo el primero. Ese olvido es la causa número uno de errores en este paso.
Sacar m y b de una gráfica
La recta pasa por (−4, 6) y (3, −2). Determina su ecuación y = mx + b, la pendiente y el punto de intersección con el eje y.
Sustituye la pendiente y cualquiera de los dos puntos en y = mx + b; usamos (−4, 6):
La intersección con el eje y es (0, 10/7), un poquito arriba de 1: justo lo que muestra la gráfica.
Discútanlo en equipo
1. ¿Toda recta del plano se puede escribir como y = mx + b? Busquen un contraejemplo antes de responder que sí.
2. Dos rectas tienen la misma b pero distinta m. ¿Qué tienen en común en la gráfica? ¿Y si tienen la misma m y distinta b?
3. En y = mx + b, ¿qué significa que b sea cero? ¿Y que m sea cero? ¿Pueden ser ambas cero al mismo tiempo?
1. No. Las rectas verticales (como x = 3) no tienen pendiente definida, así que no caben en esta forma. Es la limitación más importante de y = mx + b y la razón de ser de la forma general que veremos en la Sesión 3.
2. Misma b: se cruzan en el mismo punto del eje y, como un abanico. Misma m: son paralelas, nunca se tocan.
3. b = 0 significa que pasa por el origen. m = 0 significa recta horizontal. Ambas cero da y = 0, que es el propio eje x. Sí es una recta válida.
Tu turno: de pendiente y punto a y = mx + b
La estrategia es siempre la misma: sustituye el punto en y = mx + b y despeja b.
a) m = 3, pasa por (2, −1)
b) m = −1/2, pasa por (−4, 5)
Negativo por negativo da positivo: −½ · (−4) = +2.
c) m = 5, pasa por (0, −3)
El punto tiene x = 0, así que b = −3 directamente.
Cuando te dan un punto y la ordenada al origen
Aquí el dato que falta es la pendiente. Pero la ordenada al origen también es un punto: (0, b). Así que en realidad te dieron dos puntos.
Con el punto (x₁, y₁) y la ordenada b:
a) Pasa por (3, 11) y su ordenada al origen es 2.
Los dos puntos son (3, 11) y (0, 2).
Comprobación: 3(3) + 2 = 11 ✅
b) Pasa por (−4, 1) y su ordenada al origen es −3.
Comprobación: −(−4) − 3 = 4 − 3 = 1 ✅
c) Pasa por (6, 0) y su ordenada al origen es 4.
Guarda este ejercicio: cruza el eje x en (6, 0) y el eje y en (0, 4). Es exactamente lo que necesita la forma simétrica.
Antes de seguir
Escribe 5x + 2y = 8 en la forma y = mx + b. ¿Cuál es el resultado?
La opción d es la trampa: se divide el término de x entre 2 pero se olvida dividir el 8.
El botón “Siguiente” se activa cuando aciertes.
Trazar la gráfica con m y b
Con y = mx + b graficar es mecánico: marca (0, b) y desde ahí aplica la escalera de la pendiente.
Paso 1. b = 4 → marca (0, 4) sobre el eje y.
Paso 2. m = −2/3 → avanza 3 a la derecha y baja 2 (el signo negativo va en el movimiento vertical).
Paso 3. Llegas a (3, 2). Une los puntos y extiende la recta en ambas direcciones.
Si la pendiente es entera, como m = 4, escríbela como 4/1: avanzas 1 y subes 4.
Forma simétrica: la recta por sus dos cortes
Si conoces los puntos de intersección con los ejes x y y, puedes escribir la recta así:
- a es la abscisa al origen: la coordenada x del punto donde cruza el eje x, (a, 0).
- b es la ordenada al origen: la coordenada y del punto donde cruza el eje y, (0, b).
- Ninguno de los dos puede valer cero (no se puede dividir entre cero).
Es la forma más fácil de graficar de todas: marca los dos cortes y traza la recta. No hay pendiente que calcular.
Tres casos de forma simétrica
Ejemplo 1. La recta cruza el eje x en (8, 0) y su ordenada al origen es −4.
a = 8 y b = −4. Sustituyendo:
El denominador negativo se sube como signo menos delante de la fracción.
Ejemplo 2. La recta cruza los ejes en (−2, 0) y (0, 4).
a = −2 y b = 4:
Ejemplo 3. Su abscisa al origen es −3 y su ordenada al origen es 7. Escríbela en la forma y = mx + b.
Primero la simétrica con a = −3, b = 7:
Ahora despeja y. Pasa el término de x al otro lado y multiplica todo por 7:
Observa que la b de y = mx + b y la b de la simétrica son la misma: 7. Eso siempre ocurre.
Tu turno: forma simétrica
a) a = 5, b = −2
b) Cruza los ejes en (−4, 0) y (0, 6)
Cuidado con el orden: la que aparece con el 0 en segundo lugar es la abscisa, a = −4.
c) Convierte 2x + 3y = 12 a forma simétrica.
La forma simétrica necesita un 1 a la derecha, así que divide toda la ecuación entre 12:
Corta los ejes en (6, 0) y (0, 4). Ese es el poder de esta forma: los cortes se leen directamente.
Los límites de la forma simétrica
1. ¿Qué rectas no se pueden escribir en forma simétrica? Piensen en qué pasa si a o b valen cero.
2. En x/6 + y/4 = 1, ¿cuál es la pendiente? Encuéntrenla sin despejar, solo usando los dos cortes.
1. Las que pasan por el origen (a = b = 0, división entre cero) y las paralelas a un eje, porque solo cortan un eje. Tres casos imposibles.
2. Los cortes son (6, 0) y (0, 4), así que m = (4 − 0)/(0 − 6) = −2/3. En general, para x/a + y/b = 1 la pendiente siempre vale −b/a.
Error 1: dividir a medias
Despejar y de 4x − 3y = 9.
Incorrecto: y = 4/3 x + 9 ❌ (se dividió el 4x entre −3 pero no el 9)
Correcto: −3y = −4x + 9 → y = 4/3 x − 3 ✅
Por qué pasa: al despejar se divide mentalmente solo el término “importante”. La división afecta a todos los términos del lado derecho, siempre.
¿Cuál es la ordenada al origen de 6x − 2y = 14?
b = −7. El atajo para comprobar: haz x = 0 en la original → −2y = 14 → y = −7 ✅
Error 2: confundir a con b
“La recta pasa por (0, 5) y (−3, 0), entonces x/5 + y/(−3) = 1.” ❌
Lo correcto: x/(−3) + y/5 = 1 ✅
Cómo evitarlo: el denominador de la x siempre acompaña al punto que tiene y = 0, y el denominador de la y acompaña al punto con x = 0. Escríbelo así antes de sustituir:
Una recta corta el eje x en (−7, 0) y el eje y en (0, 2). Su forma simétrica es:
a = −7 (viene del punto con y = 0) y b = 2. Entonces x/(−7) + y/2 = 1, que se escribe −x/7 + y/2 = 1.
Para verificar, sustituye (−7, 0): −(−7)/7 + 0/2 = 1 ✅
Reto de salida
1. m = −3 y pasa por (2, 1). En forma y = mx + b:
y = −3x + 7
2. Para graficar y = 4x − 1, el primer punto que marcas es:
Siempre empiezas en la ordenada al origen (0, b) = (0, −1). Desde ahí avanzas 1 a la derecha y subes 4.
3. La recta x/3 + y/(−5) = 1 corta los ejes en:
a = 3 → corta el eje x en (3, 0). b = −5 → corta el eje y en (0, −5). Los denominadores son coordenadas, no hay que cambiarles el signo.
De dónde partes y a qué ritmo avanzas
Toda la sesión giró alrededor de dos números: b, el punto de partida, y m, el ritmo. Es difícil encontrar una decisión importante que no se pueda describir con esos dos.
Dos personas ahorran. Una empieza con $8,000 pero guarda $500 al mes. La otra empieza desde cero y guarda $1,500 al mes. ¿Quién llega primero a $20,000? La respuesta no está en quién tiene más hoy, está en la pendiente.
Y funciona en los dos sentidos: tu punto de partida no lo elegiste; tu pendiente sí. La escuela, la familia y el lugar donde naciste fijaron tu b. Lo que haces cada semana define tu m. En el largo plazo, la m siempre gana.
Para pensar antes de la próxima sesión: elige un área tuya —una materia, un deporte, un hábito— y descríbela con m y b honestos. ¿Tu recta va subiendo o va plana?
Ya puedes contestar de tu tarea
6 Escribir una ecuación en forma pendiente ordenada al origen dados la pendiente y un punto
7 Escribir la ecuación de una recta dados un punto y la ordenada al origen
5 Escribir la ecuación y trazar el gráfico dadas su pendiente y su ordenada al origen
4 Trazar el gráfico de una recta hallando su pendiente y su ordenada al origen
Acumulado: 7 de 12. En la Sesión 3 cerramos con la forma general, la estándar Ax + By = C y la normal.
Forma general, estándar y normal
Las formas que ordenan todo. Aquí dejas de escribir la recta “desde los datos que tienes” y empiezas a escribirla en un formato único que sirve para todas.
Al terminar esta sesión vas a poder
- Hallar la pendiente y la ordenada al origen de
Ax + By = Cy deAx + By + C = 0. - Pasar de punto-pendiente a forma general.
- Reescribir cualquier ecuación lineal en la forma
Ax + By = C. - Trazar una recta a partir de su forma general.
- Escribir la forma normal y calcular la distancia de la recta al origen.
Por qué el GPS no usa y = mx + b
Cuando un videojuego, un CAD o un navegador guarda una calle, no guarda y = mx + b. Guarda tres números: A, B, C.
La razón es práctica: y = mx + b se rompe con las calles verticales, porque la pendiente no existe. Si tu mapa de Guadalajara se cae cada vez que alguien traza una avenida perfectamente vertical, tienes un problema serio.
En desarrollo de software esto se llama representación uniforme: un mismo formato que aguanta todos los casos, incluidos los raros. La forma general es la representación uniforme de la recta.
¿Cómo se ve la recta vertical x = 4 en forma general?
Con A = 1, B = 0 y C = −4 queda x − 4 = 0, es decir x = 4 ✅. La forma general sí puede con las verticales: simplemente hace B = 0.
La opción b describe y = 4, que es horizontal.
Qué te dice cada término que falta
Una recta puede representarse como una ecuación de grado uno con dos variables. Cuando falta un término, la recta tiene una característica especial:
| Forma general | Ejemplo | Término faltante | Característica de la recta |
|---|---|---|---|
Ax + By + C = 0 | −3x + 12y − 7 = 0 | Ninguno | Interseca los dos ejes |
Ax + By = 0 | 8x − 4y = 0 | Constante C | Pasa por el origen |
Ax + C = 0 | 9x + 5 = 0 | Variable y | Paralela al eje y |
By + C = 0 | −7y − 3 = 0 | Variable x | Paralela al eje x |
Si despejas y de Ax + By + C = 0 (con A ≠ 0 y B ≠ 0) obtienes la forma pendiente-ordenada:
La trampa: Ax + By = C no es Ax + By + C = 0
Las dos se llaman parecido y las dos aparecen en tu tarea. Se distinguen por dónde está la constante.
| Ax + By + C = 0 | Ax + By = C | |
|---|---|---|
| Pendiente m | −A / B | −A / B |
| Ordenada al origen b | −C / B | C / B |
| Ejemplo | 3x + 4y + 12 = 0 | 3x + 4y = 12 |
| Resultado | m = −3/4, b = −3 | m = −3/4, b = 3 |
La pendiente es la misma en las dos. Lo único que cambia es el signo de b. Si prefieres no memorizar dos reglas, usa una sola estrategia segura: despeja y. Nunca falla.
Con 3x + 4y = 12: 4y = −3x + 12 → y = −¾x + 3. La b sale positiva sin tener que recordar ninguna fórmula.
La nevería que baja precios
Los dueños de una nevería notaron que cuando bajan los precios, las ventas suben. La ecuación general de esa relación es 100x + 5y − 9000 = 0, donde x es el precio y y son las ventas. Calcula la pendiente y la ordenada al origen, y escribe la forma y = mx + b.
De la ecuación general: A = 100, B = 5, C = −9000.
Comprobación despejando: 5y = −100x + 9000 → y = −20x + 1800 ✅. Los dos caminos coinciden.
Lectura del negocio: por cada peso que sube el precio se pierden 20 ventas; si el helado fuera gratis se venderían 1800.
Tu turno: hallar m y b desde Ax + By = C
Despeja y en cada una. Anota m y b por separado.
a) 2x + 5y = 20
m = −2/5 y b = 4, así que corta el eje y en (0, 4).
b) 3x − 4y = 8
m = 3/4 y b = −2. Los dos signos del lado derecho cambiaron porque dividiste entre un número negativo.
c) −x + 2y = −6
m = 1/2 y b = −3.
Discútanlo en equipo
1. 2x + 4y − 8 = 0 y x + 2y − 4 = 0 y −3x − 6y + 12 = 0. ¿Son tres rectas o una sola? ¿Cuántas ecuaciones generales tiene una recta?
2. Si la forma general permite infinitas versiones de la misma recta, ¿por qué los libros piden que A sea positivo y que A, B, C sean enteros sin factores comunes?
3. ¿Qué ventaja tiene y = mx + b sobre la forma general, si la general sirve para más casos?
1. Es una sola recta: cada ecuación es un múltiplo de la anterior y multiplicar toda una ecuación por un número no cambia sus soluciones. Hay infinitas formas generales de la misma recta.
2. Por convención, para poder comparar respuestas. Es como pedir que las fracciones se entreguen simplificadas: x + 2y − 4 = 0 es la versión canónica de esa familia.
3. Que se lee de un vistazo. La general guarda bien la información pero la esconde: hay que despejar para ver la pendiente. Cada forma gana algo y pierde algo.
De punto-pendiente a forma general
Es siempre la misma receta de cuatro pasos:
1. Escribe la punto-pendiente. 2. Quita las fracciones multiplicando todo por el denominador. 3. Desarrolla los paréntesis. 4. Pasa todo a un lado para que quede = 0, con A positivo.
a) m = 2, pasa por (1, −3)
Pasamos todo a la izquierda: 0 = 2x − y − 2 − 3. Dejamos A positivo.
b) m = −3/4, pasa por (−2, 5)
Multiplica toda la ecuación por 4 para quitar la fracción:
c) m = 1/3, pasa por (6, −2)
Antes de seguir
¿Cuál es la forma general de la recta con m = −2 que pasa por (3, 1)?
Comprueba sustituyendo (3, 1): 2(3) + 1 − 7 = 0 ✅. Ese chequeo descarta las otras tres en segundos.
El botón “Siguiente” se activa cuando aciertes.
Reescribir en la forma Ax + By = C
Igual que la general, pero la constante se queda a la derecha y las variables a la izquierda. Los coeficientes deben quedar enteros.
a) y = −2/3 x + 4
Multiplica todo por 3 para quitar el denominador, luego junta las variables:
b) y − 5 = ½(x + 6)
Se acostumbra dejar A positivo, así que multiplicamos todo por −1:
c) y = ¾x − ½
Hay dos denominadores, 4 y 2. Multiplica por el mínimo común múltiplo, que es 4:
Trazar desde la forma general
No hay nada nuevo: primero conviertes, luego grafican con m y b como en la Sesión 2.
Paso 1. Despeja: −4y = −3x + 8 → y = ¾x − 2.
Paso 2. b = −2 → marca (0, −2).
Paso 3. m = 3/4 → 4 a la derecha, 3 arriba → (4, 1).
Paso 4. Une y extiende.
Atajo alternativo: haz x = 0 para el corte con el eje y, y luego y = 0 para el corte con el eje x. Aquí darían (0, −2) y (8/3, 0). Sirve cuando los cortes son enteros.
Forma normal: la recta vista desde el origen
Las otras formas describen la recta “desde adentro”. La normal la describe desde el origen: con qué ángulo la ves y qué tan lejos está.
Partiendo de la recta escrita como Ax + By = C, divides todo entre la raíz, eligiendo el signo igual al de C para que el lado derecho quede positivo. Entonces:
d es la distancia perpendicular de la recta al origen y θ el ángulo que forma esa perpendicular con el eje x.
Una distancia nunca es negativa. Si te sale una d negativa, elegiste mal el signo de la raíz: cámbialo y vuelve a dividir.
Distancia de una recta al origen
Dada −12x + 16y − 80 = 0, obtén su forma normal y la distancia al origen.
Paso 1. Escríbela como Ax + By = C pasando la constante a la derecha:
Paso 2. Calcula la raíz. Como C = 80 es positivo, la raíz va con signo positivo:
Paso 3. Divide toda la ecuación entre 20:
Paso 4. Lee los resultados: d = 4, cos θ = −3/5, sen θ = 4/5.
Comprobación rápida: (−3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1 ✅. Los coeficientes de la forma normal siempre cumplen esto, porque son un coseno y un seno del mismo ángulo.
Tu turno: forma normal
a) 3x + 4y = 10
d = 2, cos θ = 3/5, sen θ = 4/5.
b) 5x − 12y = −26
C = −26 es negativo, así que la raíz también lleva signo negativo: −13.
d = 2. Si hubieras usado +13, habrías obtenido d = −2, que no tiene sentido como distancia.
Discútanlo en equipo
1. ¿Por qué la distancia de la recta al origen no puede ser simplemente la ordenada al origen b? Dibujen una recta muy inclinada y una casi horizontal que pasen por el mismo (0, b).
2. ¿Qué recta tiene distancia al origen igual a cero? ¿Cómo se ve su ecuación general?
1. Porque b mide a lo largo del eje y, y la distancia real se mide perpendicular a la recta, que es el camino más corto. Solo coinciden cuando la recta es horizontal. Mientras más inclinada, más se separan los dos valores.
2. La que pasa por el origen: Ax + By = 0, sin término constante. Efectivamente d = 0/√(A²+B²) = 0.
Error 1: la b que cambia de signo sola
De 2x + 3y = 9 se concluye b = −3 ❌
Lo correcto: 3y = −2x + 9 → y = −⅔x + 3, así que b = 3 ✅
Por qué pasa: se aplica b = −C/B, que es la fórmula de Ax + By + C = 0, a una ecuación que tiene la constante del otro lado. Si la constante está a la derecha, ya no lleva ese menos.
De 7x − y = 5, la pendiente y la ordenada al origen son:
Al dividir entre −1 cambian los dos signos del lado derecho. m = 7 y b = −5.
Error 2: multiplicar solo una parte
Convertir y − 4 = ⅖(x + 3) a forma general.
Incorrecto: y − 4 = 2(x + 3) ❌ (se “quitó” el 5 sin multiplicar el lado izquierdo)
Correcto: 5(y − 4) = 2(x + 3) → 5y − 20 = 2x + 6 → 2x − 5y + 26 = 0 ✅
Cómo evitarlo: escribe el multiplicador delante de los dos lados antes de desarrollar. Si un paso no se puede justificar como “hice lo mismo de los dos lados”, ese paso está mal.
La forma general de y + 1 = ⅓(x − 9) es:
Verifica con el punto (9, −1): 9 − 3(−1) − 12 = 9 + 3 − 12 = 0 ✅
Los 12 tipos de tu tarea
Un ejercicio de cada tipo, en el mismo orden que aparecen en tu lista. Resuélvelo en papel antes de revelar.
1. Halla la pendiente y la ordenada al origen de 4x + 5y = 15.
m = −4/5 · b = 3 · corta el eje y en (0, 3).
2. Escribe la ecuación punto-pendiente con m = 7 que pasa por (−2, 9).
x₁ = −2 es negativo → el paréntesis suma.
3. Escribe en forma general la recta con m = −2/5 que pasa por (5, −1).
4. Traza la gráfica de 3x − 4y = 8 hallando su pendiente y su ordenada al origen.
y = ¾x − 2. Marca (0, −2), avanza 4 y sube 3 hasta (4, 1). Une los dos puntos.
5. Escribe la ecuación y traza la recta con m = −3 y ordenada al origen 5.
y = −3x + 5. Marca (0, 5); avanza 1 y baja 3 hasta (1, 2).
6. Escribe en forma pendiente-ordenada la recta con m = 2/3 que pasa por (−6, 1).
7. Escribe la ecuación de la recta que pasa por (−5, 13) y tiene ordenada al origen 3.
Comprueba: −2(−5) + 3 = 13 ✅
8. Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, −3) y (6, 5).
9. Reescribe y = −3/5 x + 2 en la forma Ax + By = C.
10. Traza la gráfica de y − 1 = −2(x + 3).
Ancla en (−3, 1). Pendiente −2 = −2/1: avanza 1 a la derecha y baja 2, llegas a (−2, −1). Une y extiende.
11. Escribe en forma general la recta con m = 4 que pasa por (−1, −2).
12. Escribe la ecuación de la recta que pasa por (−4, 5) y (0, −3).
El punto (0, −3) ya es la ordenada al origen, así que b = −3 sin despejar:
Cambiar de forma sin cambiar el fondo
Todo este tema fue un solo ejercicio repetido seis veces: la misma verdad, escrita de maneras distintas según quién la va a leer. La recta nunca cambió. Cambió el formato.
Eso es lo que más hago como ingeniero: los datos son los mismos, pero el reporte para el equipo técnico, el correo para el cliente y la gráfica para la dirección se ven completamente distintos. Quien solo sabe una forma se queda sin poder explicar.
- Diseño e ingeniería: un plano, un modelo 3D y una lista de materiales describen el mismo objeto.
- Datos y programación: convertir entre representaciones es literalmente la mitad del trabajo.
- Comunicación: explicar la misma idea a tu abuela, a tu jefe y a tu mejor amigo exige tres formas distintas.
Para tu propósito de vida: la habilidad que practicaste hoy es la traducción. No vale de nada entender algo si no puedes reescribirlo en el lenguaje de quien te escucha. Esta semana, explícale a alguien de tu familia qué es una pendiente, sin usar la palabra “pendiente”. Si lo logras, de verdad lo entendiste.
Las seis formas, juntas
| Forma | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Punto-pendiente | y − y₁ = m(x − x₁) | y + 3 = −4(x − 2) |
| Dos puntos | y − y₁ = [(y₂−y₁)/(x₂−x₁)](x − x₁) | y − 12 = 3/2 (x + 8) |
| Pendiente-ordenada | y = mx + b | y = 12x − 7 |
| Simétrica | x/a + y/b = 1 | x/6 − y/3 = 1 |
| General | Ax + By + C = 0 | −9x + 11y − 8 = 0 |
| Normal | (Ax + By)/±√(A²+B²) = C/±√(A²+B²) | 3x/5 + 4y/5 = 2 |
Checkpoint: asegúrate de
- Reconocer las diferentes formas de la ecuación de la recta.
- Distinguir los elementos que conforman cada expresión.
- Modelar la ecuación de la recta de acuerdo con los datos que te den.
- Convertir la ecuación de una forma a otra.
Referencias: Angel, A. y Runde, D. (2019). Álgebra intermedia (9ª ed.). Pearson. · Cuéllar, J. (2019). Matemáticas 3 (5ª ed.). McGraw Hill. · Ruiz, J. (2018). Matemáticas 3: Geometría analítica básica (4ª ed.). Editorial Patria.
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