Leyes de los límites: ocho reglas que convierten
un cálculo largo en una línea de trabajo
En el Tema 2 te acercabas con una tabla de siete renglones para sospechar una respuesta. Aquí aprendes a obtenerla directo — y, más importante, a reconocer los casos donde ese atajo no está permitido. Aprenderás a identificarlas y, sobre todo, a usarlas bien.
Sesión 1 de 3 · 60 minutos · Prepa Tecmilenio
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Qué vamos a hacer hoy
Contextualizar · 9 min
La curva cerrada de la carretera y por qué las tablas de valores se vuelven insostenibles.
Practicar y dialogar · 30 min
Las cuatro primeras propiedades: constante, variable, suma y diferencia, con ejercicios en cada paso.
Retroalimentar · 12 min
Los dos errores que más aparecen cuando apenas se conocen las leyes.
Anclar el propósito · 9 min
Qué habilidad real estás entrenando cuando descompones un problema en piezas.
Al terminar el tema deberás poder
- Identificar las propiedades de límites.
- Utilizar de forma correcta las propiedades de los límites.
Estos son los dos puntos del Checkpoint oficial del tema. Todo lo demás está al servicio de ellos.
Vas manejando y viene una curva cerrada
Imagina que conduces por una carretera y, conforme avanzas, te aproximas a una curva muy cerrada. En lugar de frenar de manera abrupta, lo más adecuado sería reducir la velocidad gradualmente para no perder el control.
De forma similar, los límites matemáticos funcionan como una "desaceleración" conceptual al acercarse a un punto específico, aunque sin necesidad de llegar exactamente a dicho punto.
Lo que cambia hoy es la técnica: en el Tema 2 te acercabas midiendo; a partir de ahora te acercas razonando con reglas.
Tres palabras que conviene no mezclar
- Evaluar — sustituir el punto y obtener f(a). Exige que el punto esté en el dominio.
- Estimar — acercarse con una tabla o una gráfica. Sugiere el valor, no lo demuestra.
- Calcular el límite — obtenerlo con reglas, exacto y justificado. Es lo de hoy.
Las tres responden preguntas distintas. Todo el Tema 3 vive en la tercera.
La aproximación gradual · mueve el control hacia la curva
La velocidad baja de forma continua conforme la distancia se encoge, y el control nunca llega al extremo: siempre queda un pedacito. Así trabaja un límite — describe el acercamiento, no la llegada.
El problema práctico: calcular límites es lento
En el Tema 2 calculaste límites acercándote con una tabla de valores. Funciona, pero mira lo que cuesta un solo límite:
| x | 1.9 | 1.99 | 1.999 | → 2 ← | 2.001 | 2.01 | 2.1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3x + 1 | 6.7 | 6.97 | 6.997 | ¿7? | 7.003 | 7.03 | 7.3 |
Siete evaluaciones para sospechar una respuesta. Ahora imagina hacer eso para cada ejercicio de una tarea de veinte problemas.
Por eso existen las leyes
Las propiedades o leyes de los límites permiten resolverlos con mayor facilidad, sin necesidad de construir una tabla de valores, y brindan una comprensión clara del comportamiento de las funciones en puntos determinados. Sin estas reglas, se requeriría calcular cada límite desde el inicio, lo cual resultaría mucho más complejo y menos eficiente.
Lo que cuesta cada método
| Método | Operaciones | ¿Demuestra? |
|---|---|---|
| Tabla de 7 renglones | 7 | no |
| Gráfica | — | no |
| Leyes | 1 | sí |
La tabla y la gráfica sugieren; la ley justifica. Esa es la diferencia que se cobra en un examen.
Antes de empezar: una pregunta para calentar
Pregunta de arranque
Una función constante vale siempre lo mismo, sin importar el valor de x. Por ejemplo, f(x) = 4.
¿Cuánto crees que vale lím (x→1) 4? ¿Y cuánto vale lím (x→100) 4?
Las dos valen 4.
Un límite pregunta: "conforme x se acerca a cierto punto, ¿a qué valor se acerca la función?". Si la función siempre entrega 4, entonces se acerca a 4 pase lo que pase con x. El punto al que tiende x no importa en este caso.
Si respondiste 4 en ambas: acabas de deducir tú solo la primera ley de los límites. Vamos a formalizarla en un momento.
Recordatorio rápido de notación
Se lee: "el límite de f(x) cuando x tiende a a es L".
Anatomía del símbolo · cada pieza tiene un trabajo
Los tres errores de notación más caros salen de escribir una de esas piezas incompleta: un lím sin su x→a, una x que sobrevive en la respuesta, o un igual que apunta a una expresión y no a un número.
Lo que sí dice
Cuando x se acerca a a por la izquierda y por la derecha, los valores de f(x) se acercan a L.
Lo que no dice
No afirma que f(a) = L. Ni siquiera exige que f(a) exista. El límite habla del alrededor del punto, no del punto.
Guarda esta distinción. En la Sesión 3 será la clave para resolver límites que "parecen imposibles".
El límite respeta las operaciones
Todas las leyes que verás hoy dicen esencialmente lo mismo, con distintas operaciones:
Camino A
Primero el límite de cada pieza, luego la operación.
Camino B
Primero la operación, luego el límite.
Los dos caminos llegan al mismo lugar
Esa igualdad —que el orden entre "operar" y "tomar límite" se puede intercambiar— es literalmente todo el contenido del tema. Lo que cambia de una ley a otra es qué operación ocupa la caja del centro.
El segundo camino casi siempre es más corto, y es el que vas a usar. Lo que sigue son los detalles y las condiciones de uso de cada versión.
Los dos caminos, con números a la vista
Toma f(x) = x + 5 y g(x) = x² − 1, con x → −2. Arrastra el control y vigila las tres lecturas: las dos piezas se acomodan en 3 y 3, y la suma se acomoda en 6 sin que nadie decida el orden.
Conforme x → −2, la gris se acerca a 3, la ámbar se acerca a 3, y la menta —que es la suma de las otras dos— se acerca a 6. Da igual si sumas primero y tomas el límite después, o al revés.
Que esto funcione no es obvio y no vale para cualquier operación: en el Tema 4 verás que "∞ − ∞" rompe exactamente esta idea. Por eso el teorema pone una condición que conviene leer antes que la fórmula.
Límites de una función constante, suma o diferencia
Teorema
Para cualquier constante c y cualquier número real a, donde lím (x→a) f(x) y lím (x→a) g(x) existen (Stewart, 2021):
Este bloque contiene cuatro propiedades. Las veremos una por una, cada una con su ejemplo y su ejercicio de comprobación antes de pasar a la siguiente.
Propiedad 1
Múltiplo constante
Propiedad 2
Una variable x
Propiedad 3
La suma
Propiedad 4
La diferencia
Lee la condición, no solo la fórmula. "Donde los límites existen" es la letra chica de las ocho leyes: si una de las piezas no tiene límite, la ley no se puede usar, aunque la fórmula se vea aplicable.
Múltiplo constante
La gráfica de una constante · mueve x y vigila la altura
La gráfica es una recta horizontal. Te acerques por donde te acerques, la altura sigue siendo 4: el punto de destino ni siquiera entra en la cuenta.
Cuidado con el nombre de esta propiedad
La tabla la titula "Múltiplo constante", pero la fórmula que aparece es lím (x→a) c = c. Fíjate bien: ahí no hay ninguna multiplicación. Lo que dice esa fórmula es el límite de una función constante.
Lo que la fórmula sí afirma
El límite de un número solo es ese número.
La regla del múltiplo constante (te la debo hasta la Sesión 2)
Sacar un número que multiplica. Esta la deduciremos a partir del producto.
Las dos son verdaderas y las dos las vas a usar. Solo no las confundas: llevan nombres parecidos y hacen cosas distintas.
Compruébalo antes de seguir
Ejercicio C1
Calcula los tres:
lím (x→5) 7 = 7
lím (x→−12) (−3) = −3
lím (x→0) π = π
En los tres casos la función es una constante: no contiene x por ningún lado. Por eso el valor al que tiende x es irrelevante. Y sí, π cuenta como constante: es un número fijo (≈ 3.1416), aunque se escriba con letra.
Una variable x
La función identidad · devuelve exactamente lo que le das
Si le das algo cercano a 3, devuelve algo cercano a 3. Por eso el límite es el punto al que tiendes.
Las propiedades 1 y 2 son los ladrillos: no se deducen de nada anterior. Las otras seis se construyen a partir de ellas.
Compruébalo antes de seguir
Ejercicio C2
Calcula lím (x→−4) x y explica por qué la Propiedad 1 y la Propiedad 2 dan respuestas de naturaleza distinta.
lím (x→−4) x = −4
La diferencia: en la Propiedad 1 la respuesta es la constante y el punto a no aparece por ningún lado. En la Propiedad 2 la respuesta es el punto a.
Dicho de otro modo: la primera ignora a dónde vas; la segunda solo te pregunta a dónde vas. Y juntas son suficientes para construir todo lo demás.
La suma
El ejemplo, paso a paso
-
lím (x→−2) [(x + 5) + (x² − 1)]
Identifico las dos piezas: f(x) = x + 5 y g(x) = x² − 1.
-
= lím (x→−2) (x + 5) + lím (x→−2) (x² − 1)
Reparto el límite sobre la suma. Esto es la Propiedad 3.
-
= (−2 + 5) + [(−2)² − 1] = 3 + 3 = 6
Evalúo cada pieza en x = −2 y sumo.
"Espera… ¿de dónde salió que (−2)² − 1 = 3?"
Buena observación si te la hiciste. En el paso 3 sustituimos directamente en x² − 1, y todavía no hemos visto la ley de la potencia (esa viene en la Sesión 2, apartado 3.3).
Lo que realmente ocurre por debajo
lím (x→−2) (x² − 1) = lím (x→−2) x² − lím (x→−2) 1
(diferencia)
= [lím (x→−2) x]² − 1
(potencia + constante)
= (−2)² − 1 = 4 − 1 = 3
(variable x)
Cuatro propiedades encadenadas para un cálculo que hacemos "de un jalón". Eso es precisamente lo que las leyes te regalan: permiso para sustituir directo en funciones bien portadas.
Por ahora acéptalo y sustituye. En la Sesión 2 cerramos la justificación completa, y en la Sesión 3 verás exactamente cuándo ese permiso se cancela.
La diferencia
El ejemplo, paso a paso
-
= lím (x→−2) (x + 5) − lím (x→−2) (x² − 1)
Mismo reparto que en la suma, respetando el signo.
-
= (−2 + 5) − [(−2)² − 1] = 3 − 3 = 0
Evalúo cada pieza y resto.
Detalle que cuesta puntos
El paréntesis del segundo límite no es decorativo. Al restar (x² − 1) el signo negativo afecta a todo lo de adentro: se resta el 4 y se suma el 1. Si lo repartes mal obtienes 3 − 4 − 1 = −2 en lugar de 0.
Por qué la diferencia no es una ley nueva
De las ocho propiedades, la diferencia es la única que no hace falta aprender aparte. Sale de combinar dos que ya tienes.
La deducción, en tres renglones
f(x) − g(x) = f(x) + (−1)·g(x)
lím [f + (−1)g] = lím f + lím (−1)g
= lím f − lím g
Restar es sumar el negativo, y el −1 sale del límite por múltiplo constante. La "ley de la diferencia" es la ley de la suma vista de lado.
Por qué conviene saberlo
- Ocho reglas sueltas se olvidan; dos ladrillos y cuatro combinaciones no.
- Si en el examen dudas del signo, reescribe la resta como suma del negativo y el error desaparece solo.
- Es el mismo truco que vas a usar en el Módulo 2 con las derivadas: ahí también la regla de la resta es un corolario de la suma.
Regla general del curso: cuando una ley se deduce de otra, aprende la que la genera.
Ojo con el alcance: esto funciona porque −1 es una constante y su límite existe siempre. No intentes el mismo movimiento con una g(x) cuyo límite no exista — ahí no hay ley que valga.
Resuélvelos junto con el profesor
Guiada 1
= lím (x→3) (x + 8) + lím (x→3) (x − 1)
(suma)
= (3 + 8) + (3 − 1)
= 11 + 2 = 13
Comprobación mental: la función completa es 2x + 7, y en x = 3 vale 13. Coincide.
Guiada 2
= lím (x→4) (x + 6) − lím (x→4) (x − 2)
(diferencia)
= (4 + 6) − (4 − 2) = 10 − 2 = 8
Detalle interesante: la función es siempre igual a 8, para cualquier x. Al simplificar, (x + 6) − (x − 2) = 8. Es una función constante disfrazada.
Guiada 3
= lím (x→−1) (x² + 3) + lím (x→−1) (x − 6)
= [(−1)² + 3] + (−1 − 6)
= (1 + 3) + (−7) = 4 − 7 = −3
Ojo con (−1)²: es +1, no −1. El paréntesis indica que el signo también se eleva al cuadrado.
Ahora tú, sin ayuda
Resuelve los cinco antes de revelar. Escribe qué propiedad usas en cada paso.
Ejercicio 1
Propiedad 1 (función constante): el resultado es −3. El 7 no interviene.
Ejercicio 2
= (2 + 9) + [2² − 4] = 11 + 0 = 11
Que una de las piezas dé 0 no rompe nada. Cero es un valor de límite perfectamente válido.
Ejercicio 3
= [(−3)² + 1] − (−3 + 5)
= (9 + 1) − 2 = 10 − 2 = 8
Error típico aquí: escribir (−3)² = −9. No. El cuadrado de un negativo es positivo.
Ejercicio 4
= (1 + 5) + (1 − 5) = 6 + (−4) = 2
Alternativa: simplifica primero, (x + 5) + (x − 5) = 2x, y evalúa: 2(1) = 2. Los dos caminos llegan al mismo lugar, que es justo lo que promete la Propiedad 3.
Ejercicio 5 · conceptual
Sin calcular nada: ¿es cierto que lím (x→9) 5 = 9? Justifica.
Es falso. El límite vale 5.
Confundir el 9 (a dónde tiende x) con el 5 (lo que vale la función) es el error número uno del tema. Pregúntate siempre: "¿qué está adentro del límite, una constante o una x?". Si adentro no hay x, el 9 no tiene nada que hacer en la respuesta.
Discutan entre ustedes
En parejas, tres minutos por pregunta. Primero argumenten, después revelen.
Diálogo 1
La Propiedad 1 dice que el límite de una constante es esa constante. ¿Por qué entonces se molestaron en escribirla como una ley? ¿No es demasiado obvia para merecer nombre?
No hay una única respuesta correcta; lo valioso es el argumento. Puntos a los que la discusión debería llegar:
- En matemáticas, "obvio" no es un permiso. Todo lo que se usa en una demostración tiene que estar declarado antes.
- Las propiedades 1 y 2 son los ladrillos: no se deducen de nada anterior. Todas las demás (suma, producto, potencia) se construyen a partir de ellas.
- Sin la Propiedad 1 no podrías justificar ni siquiera lím (x→2) (x + 5), porque necesitas saber que el límite del 5 es 5.
Analogía útil: nadie discute que 1 + 1 = 2, pero eso no significa que sobre en la lista de axiomas.
Diálogo 2
Un compañero afirma: "Si el límite de una suma es la suma de los límites, entonces siempre puedo partir cualquier expresión en pedacitos y calcular el límite de cada uno por separado". ¿Están de acuerdo? ¿Hay algún caso donde eso pueda fallar?
Casi de acuerdo, pero con una condición que el teorema pone en letra chica.
- El teorema exige que lím (x→a) f(x) y lím (x→a) g(x) existan. Si una de las dos piezas no tiene límite, la ley no se puede aplicar.
- Contraejemplo para pensar: si f(x) y g(x) se disparan al infinito pero su diferencia se estabiliza, partir en pedazos te deja con "∞ − ∞", que no significa nada. (Esto lo explorarán a fondo en el Tema 4.)
- Conclusión práctica para hoy: reparte primero, verifica que cada pieza tenga sentido, y solo entonces evalúa.
Si nadie de la pareja encontró un pero, no pasa nada: el punto era descubrir que las leyes vienen con condiciones de uso.
Diálogo 3
Las leyes de los límites permiten resolverlos sin construir una tabla de valores. Entonces, ¿para qué sirvió aprender las tablas en el Tema 2? ¿Fue tiempo perdido?
- La tabla es lo que da significado: sin ella, "límite" sería un símbolo que se manipula sin entender qué mide.
- Las leyes son un atajo. Los atajos solo son seguros cuando sabes a dónde llevan; si no, no distingues un resultado correcto de uno absurdo.
- Y hay casos donde el atajo simplemente no funciona (los verán en la Sesión 3): ahí regresarás a la intuición gráfica y numérica.
Paralelo cotidiano: aprendes a multiplicar a mano y luego usas la calculadora. La calculadora no borra la utilidad de haber entendido qué es multiplicar.
Error frecuente 1: sustituir el punto donde no hay variable
Lo que se escribe
Lo correcto
Por qué pasa
El reflejo "límite → sustituyo el número de abajo" se instala muy rápido, y entonces la mano escribe el 6 sin mirar si hay una x donde ponerlo.
Cómo corregirlo tú mismo
Antes de escribir cualquier respuesta, hazte esta pregunta en voz alta: "¿dónde voy a poner el 6?". Si en la expresión no hay una sola x, no hay lugar donde ponerlo, y eso significa que la función es constante. Su límite es ella misma.
Verifica
Aplica la pregunta a estos tres:
lím (x→2) 10 = 10
no hay x, nada que sustituir
lím (x→10) x = 10
la x es toda la función; se sustituye y queda 10
lím (x→2) (x + 10) = 2 + 10 = 12
hay x, se sustituye solo ahí
Los tres se ven parecidos y dan cosas distintas. Esa es exactamente la razón por la que conviene hacerse la pregunta cada vez.
Error frecuente 2: el signo que se pierde al repartir la resta
Lo que se escribe
lím (x→−2) [(x + 5) − (x² − 1)] = (−2 + 5) − (−2)² − 1
= 3 − 4 − 1 = −2 ✗
Lo correcto
= (−2 + 5) − [(−2)² − 1]
= 3 − [4 − 1] = 3 − 3 = 0 ✓
Cómo corregirlo tú mismo
Cuando la Propiedad 4 "devuelve" el segundo límite convertido en número, ese número viene en bloque. Escribe siempre el corchete antes de sustituir, aunque te parezca innecesario. Resuelve lo de adentro del corchete primero y hasta el final aplica el signo menos.
Verifica
Calcula lím (x→3) [(2x) − (x² − 5)] escribiendo el corchete de forma explícita.
= lím (x→3) (2x) − lím (x→3) (x² − 5)
= (2·3) − [3² − 5]
= 6 − [9 − 5] = 6 − 4 = 2
Sin el corchete habrías escrito 6 − 9 − 5 = −8. El corchete no es adorno: es lo que sostiene el resultado.
Lo que de verdad practicaste hoy
Aprendiste a partir un problema grande en piezas pequeñas, resolver cada pieza y volver a armar el resultado.
Esa maniobra tiene nombre en ingeniería: descomposición. Es la misma que se usa para diagnosticar por qué falla un sistema, para estimar el costo de un proyecto que nadie ha hecho antes, o para preparar un examen que parece imposible.
En una carrera técnica
Un servicio de software se cae. Nadie sabe por qué. Se aísla cada componente, se prueba por separado, se identifica el que falla. Idéntico a repartir un límite.
En una decisión personal
"No sé qué estudiar" es un problema imposible. "¿Qué materias disfruto?", "¿en qué soy bueno?", "¿qué me deja vivir?" son tres preguntas que sí se pueden responder.
En cualquier trabajo
Quien sabe dividir un problema deja de sentirse abrumado. No porque el problema sea menor, sino porque ya tiene por dónde empezar.
Para cerrar
Piensa en algo que traes pendiente y que se siente demasiado grande. ¿En qué dos o tres "piezas" lo podrías partir esta semana?
Una respuesta útil parte el pendiente en acciones con verbo y tamaño: no "estudiar para el examen", sino "hacer los 8 ejercicios del Tema 2 el martes", "repasar mis errores el jueves", "resolver un simulacro el sábado".
La prueba de que partiste bien: cada pieza cabe en una sesión y puedes decir cuándo estará terminada. Si una pieza sigue sintiéndose enorme, todavía no está partida.
Lo que te llevas
| Propiedad | Regla | En una frase |
|---|---|---|
| 1 · Múltiplo constante | lím (x→a) c = c | Un número solo se queda igual. |
| 2 · Una variable x | lím (x→a) x = a | La x se convierte en el punto. |
| 3 · La suma | lím [f + g] = lím f + lím g | El límite se reparte sobre la suma. |
| 4 · La diferencia | lím [f − g] = lím f − lím g | También sobre la resta, cuidando el signo. |
La próxima sesión
Producto, cociente, potencia y raíz. Con ellas quedará justificado por qué se puede sustituir directo en casi cualquier polinomio, y aparecerá la primera situación donde la ley no se puede aplicar.
Tarea sugerida
El conjunto de ALEKS correspondiente a propiedades básicas de límites. Si quieres más repetición con solución paso a paso, el banco de Practicar del Módulo 1 tiene cinco reactivos de este tema.
Producto, cociente,
potencia y raíz
Las cuatro propiedades restantes. Al terminar tendrás las ocho completas y sabrás exactamente en qué caso una de ellas se apaga.
Módulo 1 · Tema 3 · Apartados 3.2 y 3.3
El recibo de luz y por qué necesitas más que sumas
En un recibo de CFE el importe no es una suma de cosas independientes: es un producto (kilowatts consumidos × tarifa) y, cuando quieres saber cuánto te sale el kilowatt en promedio, es un cociente.
Producto
Costo = consumo × tarifa. Si el consumo se acerca a 250 kWh y la tarifa a $1.80, el costo se acerca a $450. Nadie duda de esto… y es exactamente la ley del producto.
Cociente
Costo por kWh = importe ÷ consumo. Pero si el consumo tiende a cero, la división se descompone. Ese "pero" será el protagonista de hoy.
El mismo par de ideas aparece en el rendimiento de un carro (km ÷ litros), en la velocidad de descarga (MB ÷ segundos) y en el promedio de tus calificaciones (suma ÷ número de materias).
Pregunta de arranque
Un plan de datos cobra $2 por GB. Si tu consumo mensual se aproxima a 8 GB, ¿a cuánto se aproxima tu recibo? ¿Cómo escribirías esa idea con la notación de límites?
El recibo se aproxima a $16.
lím (g→8) (2g) = 2 · lím (g→8) g = 2 · 8 = 16
Acabas de usar sin saberlo la ley del producto (con una constante de un lado). Hoy la formalizamos.
¿Sigues teniendo las cuatro de la sesión pasada?
Resuelve mentalmente, sin escribir.
a) 6
(función constante)
b) −5
(una variable x)
c) (2 + 1) + (2 − 7) = 3 + (−5) = −2
d) (0 + 4) − (0 − 4) = 4 − (−4) = 8
En el inciso d, restar un negativo suma. Si te dio 0, revisa el signo dentro del corchete.
Límite de un producto o cociente de funciones
Teorema
Para cualquier constante c y cualquier número real a, donde lím (x→a) f(x) y lím (x→a) g(x) existen, se cumplen las siguientes propiedades (Stewart, 2021):
Fíjate en la palabra que aparece ahora y que en el apartado 3.1 estaba solo insinuada: existen. Es una condición, no un adorno. Si alguno de los dos límites no existe, la ley simplemente no se puede usar.
Propiedad 1
El producto
Propiedad 2
La división con condición extra
El producto
El ejemplo, paso a paso
-
= lím (x→−2) (x + 5) · lím (x→−2) (x² − 1)
Reparto el límite sobre el producto.
-
= (−2 + 5)[(−2)² − 1] = (3)(3) = 9
Evalúo cada factor y multiplico.
Regalo incluido: el múltiplo constante de verdad
Si en el producto una de las funciones es una constante, la Propiedad 1 de 3.2 combinada con la Propiedad 1 de 3.1 te da:
Es decir: un número que multiplica puede salirse del límite. Ejemplo: lím (x→4) 5x = 5 · lím (x→4) x = 5(4) = 20. Esta es la deducción que quedó pendiente en la sesión anterior.
Por qué el producto se reparte: el modelo del rectángulo
Un producto de dos cantidades positivas es el área de un rectángulo: un lado mide f(x), el otro mide g(x). Si un lado se acerca a 3 y el otro se acerca a 3, el área no tiene a dónde ir más que a 9.
Los dos lados se estabilizan en 3 conforme x → −2, y el área se estabiliza en 9. Multiplicar y "tomar límite" se pueden intercambiar porque un cambio pequeño en cada lado produce un cambio pequeño en el área — lo que en el Tema 5 se llamará continuidad.
Este dibujo también explica por qué la división es distinta: al dividir, el "lado" que está abajo puede encogerse hasta cero, y entonces el resultado no se estabiliza — se dispara. Con un producto eso no pasa nunca.
Compruébalo antes de seguir
Ejercicio C3
a) = lím (x→3)(x − 1) · lím (x→3)(x + 2) = (3 − 1)(3 + 2)
= (2)(5) = 10
b) = 7 · lím (x→−2) x = 7(−2) = −14
Comprobación del inciso a: la función desarrollada es x² + x − 2, y en x = 3 vale 9 + 3 − 2 = 10. Coincide, como tenía que pasar.
La división
El ejemplo, paso a paso
-
= [lím (x→−2)(x + 5)] / [lím (x→−2)(x² − 1)]
Reparto el límite sobre el cociente.
-
= (−2 + 5)/((−2)² − 1) = 3/3 = 1
Evalúo arriba y abajo, y simplifico.
Nota de orden: en la hoja del examen conviene escribir el límite del denominador en un renglón aparte antes de sustituir nada. La siguiente diapositiva explica por qué.
La condición que salva a la división
El teorema pide que ambos límites existan. Para el cociente hay una exigencia adicional, y es la más importante del tema:
En el ejemplo anterior tuvimos suerte: el denominador dio 3. Mira lo que ocurre cuando no:
Caso que sí funciona aplica
lím (x→−2) (x + 5)/(x² − 1) = 3/3 = 1
Denominador → 3. Todo en orden.
Caso que se rompe no aplica
lím (x→1) (x + 5)/(x² − 1) → 6/0 ✗
Denominador → 0. La ley se apaga: no puedes escribir 6/0 y llamarle respuesta.
Cuando eso pasa hay dos escenarios muy distintos, y aprenderás a separarlos en la Sesión 3:
- Numerador ≠ 0 y denominador → 0: el límite no existe como número finito (Tema 4: asíntotas verticales).
- Numerador → 0 y denominador → 0: la forma 0/0. Aquí casi siempre sí hay respuesta, pero hay que trabajarla con álgebra antes de aplicar la ley.
Qué tiene de especial el cero en el denominador
Multiplicar por algo pequeño da algo pequeño: manso y predecible. Dividir entre algo pequeño da algo enorme, y el resultado se vuelve extremadamente sensible. Mueve el control hacia el cero y mira lo que pasa con cada operación.
La curva menta (el producto) llega tranquila al cero. La curva coral (el cociente) se va de la hoja: 1/0.1 = 10, 1/0.01 = 100, 1/0.001 = 1000. El denominador cambia poquito; el resultado se dispara. Por eso la ley del cociente necesita una condición que la del producto no necesita.
Regla de trabajo, a partir de aquí: cada vez que veas una fracción, evalúa el denominador antes que nada y escríbelo en un renglón aparte. Ese hábito te ahorra el error más caro del módulo.
Compruébalo antes de seguir
Ejercicio C4
a) Calcula lím (x→2) (x + 4)/(x − 5)
b) ¿Se puede aplicar la ley del cociente a lím (x→1) (x + 2)/(x − 1)? Justifica.
a) = (2 + 4)/(2 − 5) = 6/(−3) = −2
b) No se puede. El límite del denominador es lím (x→1)(x − 1) = 0, y la ley exige que sea distinto de cero.
Además, el numerador tiende a 3, que no es cero. Eso significa que la fracción crece sin control conforme x se acerca a 1: hay una asíntota vertical en x = 1. La respuesta correcta hoy es "la ley no aplica y el límite no existe como número finito", no "6/0" ni "infinito" a secas.
Límite de una función potencia o raíz
Teorema
Para cualquier constante c y cualquier número real a, donde lím (x→a) f(x) y lím (x→a) g(x) existen, se cumplen las siguientes propiedades (Stewart, 2021):
Estas dos propiedades son las que finalmente justifican todo lo que veníamos haciendo "de un jalón" con los x² desde la sesión pasada.
La potencia
Leído en voz alta: el exponente puede esperar afuera. Primero averiguas a qué se acerca la base, y después elevas ese número.
Al acercarse x a −2, la curva se acerca a la altura −8. La ley te ahorra la tabla.
Recuerda el signo: un exponente impar conserva el signo de la base, por eso (−2)³ = −8. Con exponente par el resultado saldría positivo.
Compruébalo antes de seguir
Ejercicio C5
a) = [lím (x→2)(x² + 1)]³ = [2² + 1]³
= (5)³ = 125
b) = [lím (x→−1) 3x]⁴ = [3(−1)]⁴
= (−3)⁴ = 81
En el inciso b, el exponente 4 es par: el resultado sale positivo aunque la base sea negativa. Un error frecuente es responder −81.
La raíz
Igual que con la potencia: la raíz puede esperar afuera. Primero el límite del radicando, después la raíz.
Sobre la respuesta del ejemplo
La respuesta oficial se deja como ³√3 y así está bien: es un valor exacto. Su aproximación decimal es 1.442…, pero en matemáticas se prefiere dejar el radical porque no pierde precisión.
El paso que esconde una condición
El último tramo de la regla, ⁿ√f(a), mete el valor de la función donde veníamos hablando de su límite. Eso solo vale cuando la función está bien portada en a — el nombre técnico llega en el Tema 5. Lo discutimos en el Diálogo 6.
Raíces pares: una condición extra
Si el índice n es par (raíz cuadrada, cuarta, sexta…), el radicando no puede ser negativo dentro de los números reales.
Sin problema aplica
lím (x→7) √(x + 2) = √9 = 3
El radicando tiende a 9, que es positivo.
Fuera de dominio no aplica
lím (x→1) √(x − 5) → √(−4) ✗
El radicando tiende a −4. No hay número real cuyo cuadrado sea negativo, así que el límite no existe en los reales.
Dónde vive cada raíz
La raíz cuadrada (menta) simplemente no existe a la izquierda de su dominio: no hay curva que mirar, y por eso no hay límite. La raíz cúbica (ámbar) atraviesa el cero sin inmutarse y acepta radicandos negativos.
Con índice impar (cúbica, quinta…) no hay ese problema: ³√(−8) = −2 es perfectamente válido. Por eso el ejemplo del material usa raíz cúbica y no cuadrada.
Compruébalo antes de seguir
Ejercicio C6
a) = ³√[lím (x→5)(2x − 2)] = ³√(2(5) − 2)
= ³√8 = 2
b) = √((3 + 1)/(3 − 1)) = √(4/2) = √2 ≈ 1.414
En el inciso b se encadenan tres leyes: raíz, cociente y suma/diferencia. Antes de aplicar la del cociente verificaste que el denominador tiende a 2, distinto de cero. Ese chequeo debe volverse automático.
Teorema de sustitución directa
Encadena las ocho propiedades sobre un polinomio cualquiera y siempre acabas en el mismo lugar. Por eso ese resultado tiene nombre propio, y es el que de verdad vas a usar en cada ejercicio del resto del módulo.
Qué te autoriza
Para un polinomio —3x² − 5x + 7, por ejemplo— no necesitas escribir el reparto pieza por pieza. Sustituyes y ya. Las leyes ya hicieron ese trabajo de una vez y para siempre.
Para una función racional (un polinomio entre otro) vale lo mismo, con la condición de siempre: que el denominador no se anule en a.
Qué NO te autoriza
- Sustituir cuando el denominador se anula: ahí el punto no está en el dominio y el teorema no habla de ese caso.
- Sustituir en una raíz par fuera de su dominio.
- Sustituir en una función definida por trozos justo en el empalme, sin revisar los dos lados (Tema 2, límites laterales).
Cómo leerlo en la práctica: "sustituir directo" deja de ser una costumbre y se vuelve un derecho con requisitos. Cuando el requisito se cumple, sustituyes sin pedir permiso. Cuando no, sabes exactamente por qué te detienes — y eso es justo lo que separa un 10 de un 6 en este tema.
Encadenando varias leyes
Guiada 4
= lím (x→−1)(x + 3) · lím (x→−1)(x² + 2)
(producto)
= (−1 + 3) · [(−1)² + 2]
= (2)(1 + 2) = (2)(3) = 6
Guiada 5
Verifico primero el denominador: lím (x→0)(x² + 2) = 2 ≠ 0 ✓
= (0 + 8)/(0² + 2) = 8/2 = 4
Fíjate en el orden de trabajo: primero se revisa el denominador, después se calcula. Ese hábito te va a ahorrar errores toda la unidad.
Guiada 6
= [lím (x→−2)(x² − 3)]⁴
(potencia)
= [(−2)² − 3]⁴ = [4 − 3]⁴ = (1)⁴ = 1
Elevar a la cuarta un número grande sería incómodo; por eso conviene simplificar la base antes de aplicar el exponente. La ley te autoriza a hacerlo en ese orden.
Ahora tú, sin ayuda
Anota en cada paso qué propiedad usaste. Si en alguno la ley no aplica, dilo explícitamente.
Ejercicio 6
= lím (x→4)(2x) · lím (x→4)(x − 1) = (8)(3) = 24
Ejercicio 7
Denominador: lím (x→−3)(x + 1) = −2 ≠ 0 ✓
= ((−3)² − 1)/(−3 + 1) = 8/(−2) = −4
Ejercicio 8
= √(5(1) + 4) = √9 = 3
Radicando positivo, índice par sin problema.
Ejercicio 9
Denominador: 2 − 5 = −3 ≠ 0 ✓
= (2 + 1)³/(−3) = 27/(−3) = −9
Ejercicio 10 · trampa deliberada
La ley del cociente no se puede aplicar.
lím (x→1)(x − 1) = 0
…y la propiedad exige denominador distinto de cero.
Como el numerador tiende a 3 (no a cero), la fracción crece sin cota: el límite no existe como número finito. Escribir "3/0" o "infinito" sin más no es una respuesta aceptable en este tema; lo correcto es señalar que la propiedad no aplica y explicar por qué.
Discutan entre ustedes
Diálogo 4
La ley del producto dice que el límite del producto es el producto de los límites. ¿Por qué la ley del cociente necesita una condición extra que la del producto no necesita? ¿Qué tiene de especial dividir?
- Multiplicar por cero está perfectamente definido: da cero. Dividir entre cero no está definido, y esa es toda la diferencia.
- Un producto nunca "se rompe" por el valor de sus factores. Un cociente sí: el denominador tiene un valor prohibido.
- Idea más profunda a la que puede llegar la discusión: cerca de un denominador que tiende a cero, la fracción se vuelve extremadamente sensible. Un cambio minúsculo en x produce cambios enormes en el resultado, y por eso el límite deja de comportarse.
Ejemplo para aterrizarlo: 1/0.1 = 10, 1/0.01 = 100, 1/0.001 = 1000. El denominador cambia poquito; el resultado se dispara.
Diálogo 5
Con las ocho propiedades en la mano, alguien concluye: "entonces calcular límites es solo sustituir el número y ya". ¿Es cierto? ¿En qué casos creen que esa estrategia va a fallar?
Es cierto para una familia grande de funciones… y falso en general.
- Funciona para polinomios y para funciones racionales siempre que el denominador no se anule en el punto.
- Falla cuando el denominador tiende a cero, cuando el radicando de una raíz par se vuelve negativo, y cuando la función está definida por trozos y los dos lados no coinciden.
- Falla también en el caso más interesante de todos: 0/0. Ahí la sustitución no da información, pero el límite sí puede existir.
La conclusión útil: sustituir es el primer intento, no la respuesta automática. La próxima sesión trata justamente de qué hacer cuando ese primer intento se queda corto.
Diálogo 6
La propiedad de la raíz se escribe como lím (x→a) ⁿ√f(x) = ⁿ√f(a) en su último paso. ¿No es raro que aparezca f(a), si toda la sesión hemos insistido en que el límite no es el valor de la función en el punto?
Muy buena observación, y no es una contradicción: es una condición escondida.
- Ese último paso solo es válido cuando f está definida y bien portada en a; en lenguaje del Tema 5, cuando f es continua en a.
- Para polinomios y raíces dentro de su dominio eso siempre se cumple, por eso el material lo escribe directo.
- Pero como regla general, límite y valor de la función son cosas distintas. Igualarlas es un privilegio que hay que ganarse.
Este es literalmente el puente hacia el Tema 5: continuidad es el nombre técnico de "aquí sí puedo sustituir".
Error frecuente 3: aplicar el cociente sin revisar el denominador
Lo que se escribe
lím (x→3) (x + 1)/(x − 3) = 4/0 = 0 ✗
Dos errores en una línea: se aplicó una ley que no aplicaba, y luego se dijo que dividir entre cero da cero.
Lo correcto
Reviso el denominador: lím (x→3)(x − 3) = 0
La ley del cociente no aplica. Como el numerador tiende a 4 ≠ 0, el límite no existe como número finito. ✓
Cómo corregirlo tú mismo
Adopta un solo hábito y este error desaparece: cada vez que veas una fracción, evalúa el denominador antes que nada. Escríbelo en tu hoja como un renglón aparte. Si da distinto de cero, sigue adelante con tranquilidad. Si da cero, detente y clasifica el caso.
Verifica
Sin resolver el límite completo, di únicamente si la ley del cociente aplica o no:
a) No aplica. no aplica El denominador x² − 4 tiende a 0. Numerador tiende a 2 ≠ 0 → no existe como número finito.
b) Sí aplica. aplica El denominador tiende a 1 ≠ 0. Se puede sustituir con confianza (daría 7).
c) No aplica… pero ojo. Denominador y numerador tienden a 0: es el caso 0/0. Aquí la ley no sirve, pero el límite sí existe y vale 1, porque para toda x ≠ −1 la fracción se simplifica a 1. Este es justo el escenario que abriremos en la Sesión 3.
Error frecuente 4: repartir el exponente sobre una suma
Lo que se escribe
lím (x→2) (x + 1)² = lím x² + lím 1² = 4 + 1 = 5 ✗
Lo correcto
= [lím (x→2)(x + 1)]² = (2 + 1)² = 3² = 9 ✓
Por qué pasa
Las leyes de la suma, la diferencia, el producto y el cociente se "reparten", y esa costumbre se contagia. Pero la ley de la potencia no reparte nada: mueve el exponente hacia afuera del límite, sin tocar lo que hay dentro del paréntesis.
Cómo corregirlo tú mismo
Comprueba con números pequeños antes de confiar en un atajo: (2 + 1)² = 9, mientras que 2² + 1² = 5. Como no coinciden, el atajo es falso. Este truco de verificación te sirve para cualquier regla algebraica de la que dudes.
Cuáles se reparten y cuáles no
| Ley | ¿Reparte? |
|---|---|
| Suma / diferencia | sí |
| Producto / cociente | sí |
| Potencia | no: el exponente sale entero |
| Raíz | no: la raíz sale entera |
"Repartir" solo tiene sentido cuando hay dos funciones unidas por una operación. En la potencia y la raíz hay una sola función y un símbolo que la envuelve.
Verifica
Calcula lím (x→3) (x − 5)³ y muestra por qué no es lo mismo que x³ − 5³ evaluado en 3.
= [lím (x→3)(x − 5)]³ = (3 − 5)³ = (−2)³ = −8
En cambio, x³ − 5³ en x = 3 daría 27 − 125 = −98
−8 y −98 no se parecen ni de lejos. La diferencia entre las dos respuestas es la razón por la que esta regla se enuncia con corchetes.
Una calculadora para explorar por tu cuenta
Para que incrementes tu nivel de aprendizaje en límites al infinito y continuidad de forma divertida, utiliza la calculadora que se presenta a continuación. Entra a la siguiente liga para utilizarla. ¡Verás las maravillas de esta herramienta!
GeoGebra · Cálculo de límites de funciones
GeoGebra. (s.f.). Cálculo de límites de funciones. Recuperado de
https://www.geogebra.org/m/W8ySJ2B5
Aviso
El siguiente enlace es externo a la Universidad Tecmilenio, al acceder a este considera que debes apegarte a sus términos y condiciones.
Cómo aprovecharla
¿Qué deberías intentar en esa calculadora para que realmente te enseñe algo?
- Primero calcula el límite a mano con las leyes, y después compruébalo en la herramienta. Al revés no aprendes nada.
- Grafica los casos donde el denominador se anula y observa qué hace la curva: vas a ver la asíntota vertical antes de que te la enseñen en el Tema 4.
- Prueba un caso 0/0 como (x² − 9)/(x − 3) cerca de x = 3 y fíjate en el hueco de la gráfica. Es el tema de la próxima sesión.
Una herramienta que te da la respuesta sin que tú la hayas intentado solo te quita la práctica. Úsala como verificador, no como sustituto.
Verificar antes de aplicar
Hoy la lección más valiosa no fue una fórmula: fue el hábito de revisar el denominador antes de usar la regla.
En ingeniería eso se llama validar las condiciones de frontera, y es literalmente la diferencia entre un sistema que aguanta y uno que se cae. Un método casi siempre viene con una zona donde funciona y una zona donde no. Quien solo memoriza el método falla en cuanto se sale de la zona; quien conoce las condiciones sabe reconocer el terreno.
Lo mismo pasa fuera del salón
Un consejo financiero, una receta médica, un tutorial de internet: todos vienen con supuestos que casi nunca se dicen en voz alta. Preguntar "¿en qué caso esto no funciona?" es una de las preguntas más rentables que puedes aprender a hacer.
Y también hacia adentro
Distinguir "no aplica aquí" de "no sé hacerlo" es una forma de honestidad intelectual. La primera es una conclusión válida y se defiende con argumentos; la segunda es una señal de que falta estudio. Confundirlas te deja atorado.
Para cerrar
Piensa en una regla o consejo que sigues casi sin cuestionar. ¿Cuál sería su "denominador igual a cero", es decir, la situación donde dejaría de servir?
Una buena respuesta nombra una regla concreta y una condición concreta. Por ejemplo: "estudiar la noche anterior me funciona… hasta que el examen mide comprensión y no memoria". O: "el atajo por la lateral me ahorra tiempo… salvo a las 8 de la mañana".
Lo que hace valiosa la respuesta es que la excepción sea verificable: algo que podrías comprobar, no una intuición vaga. Igual que evaluar el denominador.
Las ocho propiedades, completas
| # | Nombre | Regla |
|---|---|---|
| 3.1 · 1 | Múltiplo constante | lím (x→a) c = c |
| 3.1 · 2 | Una variable x | lím (x→a) x = a |
| 3.1 · 3 | La suma | lím [f + g] = lím f + lím g |
| 3.1 · 4 | La diferencia | lím [f − g] = lím f − lím g |
| 3.2 · 1 | El producto | lím [f · g] = lím f · lím g |
| 3.2 · 2 | La división | lím f/g = lím f / lím g, con lím g ≠ 0 |
| 3.3 · 1 | La potencia | lím [f]ⁿ = [lím f]ⁿ |
| 3.3 · 2 | La raíz | lím ⁿ√f = ⁿ√(lím f) = ⁿ√f(a) |
La próxima sesión
Qué hacer exactamente cuando la sustitución te devuelve 0/0. Es el caso que más aparece en exámenes y el que abre la puerta al concepto de derivada en el Módulo 2.
La otra mitad de cada ley: cuándo NO aplica
La tabla anterior es la que viene en el libro. Esta es la que te salva el examen: cada ley con la condición que puede apagarla y la señal que la delata.
| Ley | Condición que exige | Señal de que se apagó | Qué hacer entonces |
|---|---|---|---|
| Constante | ninguna | — | — |
| Variable x | ninguna | — | — |
| Suma y diferencia | que ambos límites existan | una pieza se dispara | no repartir; analizar junta |
| Producto | que ambos límites existan | un factor se dispara | analizar la expresión completa |
| División | lím g ≠ 0 | el denominador da 0 | clasificar: k/0 o 0/0 |
| Potencia | que el límite de la base exista | la base se dispara | Tema 4 |
| Raíz de índice par | radicando ≥ 0 cerca de a | el radicando se vuelve negativo | no existe en los reales |
| Raíz de índice impar | que el límite del radicando exista | — | — |
Las tres preguntas antes de calcular
- ¿Hay una x adentro, o es una constante?
- Si hay fracción: ¿cuánto da el denominador?
- Si hay raíz par: ¿el radicando se queda positivo?
Tres cosas que nunca son respuesta
- k/0 escrito tal cual.
- 0/0 escrito tal cual.
- "Infinito" a secas, sin decir cómo falla el límite.
Cuando la sustitución
se queda corta
Las ocho leyes son poderosas, pero tienen un punto ciego con nombre propio: 0/0. Hoy aprendes a rodearlo.
Módulo 1 · Tema 3 · Integración y cierre
El velocímetro y el instante
La velocidad se calcula como distancia entre tiempo. Pero si quieres saber tu velocidad en un instante exacto, el intervalo de tiempo es cero… y la distancia recorrida también.
Y sin embargo tu velocímetro marca 60 km/h sin titubear. Algo debe estar mal en el razonamiento… o mejor dicho, algo debe faltar.
Ese "algo" es exactamente lo que vas a aprender hoy: la forma 0/0 no es una respuesta, es una señal de que hay que trabajar la expresión antes de tomar el límite. Y cuando lo hagas bien, aparecerá un número perfectamente concreto.
Pregunta de arranque
La expresión (x² − 9)/(x − 3) no está definida en x = 3. ¿Significa eso que no podemos decir nada sobre lo que pasa cerca de 3?
No. Podemos decir muchísimo.
Recuerda la definición del Tema 2: el límite describe el comportamiento alrededor del punto, no en el punto. Que la función no exista exactamente en x = 3 es irrelevante para el límite.
Prueba con x = 2.9: (8.41 − 9)/(2.9 − 3) = (−0.59)/(−0.1) = 5.9. Con x = 3.01 daría 6.01. Los valores se acercan a 6, aunque en 3 no haya nada. Hoy lo demostraremos con álgebra.
El protocolo de tres pasos
A partir de hoy, todo límite se ataca en este orden. No lo cambies.
El diagrama que conviene traer en la cabeza durante el examen
Solo hay una flecha que regresa: la de 0/0. Todas las demás terminan en una respuesta que puedes defender — incluso "no existe", que también es una respuesta.
Intenta sustituir directo. Las ocho leyes te dan permiso. Si obtienes un número, terminaste.
Si obtienes algo distinto de un número, clasifica el caso. ¿Es k/0 con k ≠ 0? ¿Es 0/0? ¿Es una raíz par de un negativo?
Si es 0/0, transforma la expresión con álgebra (factorizar, simplificar, racionalizar) y regresa al paso 1.
Caso k/0, con k ≠ 0
Ejemplo: lím (x→1) (x + 2)/(x − 1) → 3/0. El límite no existe como número finito. Hay asíntota vertical (Tema 4).
Caso 0/0
Ejemplo: lím (x→3) (x² − 9)/(x − 3) → 0/0. Se llama forma indeterminada: todavía no sabemos nada. Casi siempre sí hay respuesta.
"Indeterminada" no significa "imposible". Significa: la información que tengo hasta aquí no alcanza para decidir. Es una invitación a seguir trabajando, no un permiso para rendirse.
Factorizar y simplificar
Cuando numerador y denominador tienden a cero en el mismo punto, ambos comparten un factor. Encuéntralo y cancélalo.
Ejemplo resuelto
-
lím (x→3) (x² − 9)/(x − 3) → 0/0
Sustituyo primero. Obtengo forma indeterminada: la ley del cociente no aplica.
-
= lím (x→3) (x − 3)(x + 3)/(x − 3)
Factorizo la diferencia de cuadrados en el numerador.
-
= lím (x→3) (x + 3)
Cancelo el factor común. Puedo hacerlo porque x ≠ 3 mientras x solo se acerca a 3.
-
= 3 + 3 = 6
Ahora sí sustituyo. Las leyes vuelven a aplicar.
Lo que le hiciste a la gráfica
La gráfica es la recta y = x + 3 con un solo punto perforado. El hueco no impide que el límite exista: por los dos lados la curva apunta a 6.
Compruébalo antes de seguir
Ejercicio C7
Sustitución directa: (4 − 10 + 6)/0 = 0/0
indeterminada
= lím (x→−2) (x + 2)(x + 3)/(x + 2)
= lím (x→−2) (x + 3) = −2 + 3 = 1
Para factorizar x² + 5x + 6 busca dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5: son 2 y 3.
Racionalizar cuando hay raíces
Si la forma 0/0 viene acompañada de una raíz, multiplica arriba y abajo por el conjugado: la misma expresión con el signo del medio invertido.
Ejemplo resuelto
-
lím (x→0) (√(x + 4) − 2)/x → (2 − 2)/0 = 0/0
Sustituyo y confirmo la forma indeterminada.
-
Multiplico por (√(x + 4) + 2)/(√(x + 4) + 2)
Vale 1, así que no altera nada.
-
= lím (x→0) ((x + 4) − 4)/(x(√(x + 4) + 2)) = lím (x→0) x/(x(√(x + 4) + 2))
Arriba se aplica (a − b)(a + b) = a² − b², y la raíz desaparece.
-
= lím (x→0) 1/(√(x + 4) + 2) = 1/(2 + 2) = 1/4
Cancelo la x y ahora el denominador tiende a 4 ≠ 0: la ley del cociente vuelve a aplicar.
La curva llega perfectamente bien a la altura 0.25; el único punto que falta es justo el de x = 0. Racionalizar no cambió el límite: quitó el disfraz que impedía verlo.
Este límite no es un capricho: es exactamente el tipo de expresión que aparecerá en el Módulo 2 al definir la derivada.
Fracciones dentro de fracciones
Hay un tercer disfraz de 0/0 que aparece seguido en exámenes y que no se arregla ni factorizando ni racionalizando: cuando el numerador es a su vez una resta de fracciones.
Ejemplo resuelto
-
lím (x→2) [(1/x) − (1/2)] / (x − 2) → 0/0
Sustituyo: arriba ½ − ½ = 0, abajo 0.
-
1/x − 1/2 = (2 − x)/(2x)
Junto el numerador en una sola fracción, con denominador común 2x.
-
= lím (x→2) (2 − x)/(2x(x − 2)) = lím (x→2) −(x − 2)/(2x(x − 2))
Saco el signo: 2 − x = −(x − 2). Ese paso es el que descubre el factor común.
-
= lím (x→2) (−1)/(2x) = −1/4
Cancelo y sustituyo. El denominador tiende a 4 ≠ 0: la ley vuelve a aplicar.
La señal para reconocerla
Ves fracciones dentro de la fracción grande. Antes de hacer nada más, junta el piso de arriba en una sola fracción. Casi siempre el factor común aparece solo después de ese paso.
El error que provoca
Cancelar "la x de arriba con la x de abajo" sin haber juntado nada. No se pueden cancelar términos de una suma, solo factores de un producto. Es el mismo error de repartir el exponente, con otra ropa.
Todas las leyes en un solo problema
Reto
Antes de revelar: escribe la lista de propiedades que vas a necesitar, en orden.
= lím (x→1) √((3x + 1)/(x + 3)) · lím (x→1) (x² + 2)
(producto)
Primer factor · reviso el denominador: lím (x→1)(x + 3) = 4 ≠ 0 ✓
= √((3(1) + 1)/(1 + 3)) = √(4/4) = √1 = 1
(raíz, cociente, suma, múltiplo constante, variable x)
Segundo factor: [1² + 2] = 3
(potencia, suma, constante)
Resultado: (1)(3) = 3
Usaste las ocho propiedades en un solo ejercicio. Eso es exactamente lo que pide el Checkpoint del tema: no solo identificarlas, sino encadenarlas correctamente.
Seis límites, sin avisar de qué tipo son
Aplica el protocolo de tres pasos en cada uno. Algunos se resuelven sustituyendo; otros no.
Mixto 1
Sustitución: 0/0 indeterminada
x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4)
(diferencia de cubos)
= lím (x→2) (x² + 2x + 4) = 4 + 4 + 4 = 12
Mixto 2
= (−1 + 6)[(−1)² − 3] = (5)(1 − 3) = (5)(−2) = −10
Mixto 3
Denominador → 0, numerador → 5 ≠ 0. Caso k/0.
La ley del cociente no aplica no aplica y el límite no existe como número finito. No intentes factorizar: no hay factor común que cancelar.
Mixto 4
Sustitución: 0/0 indeterminada
= lím (x→0) x(x + 3)/x = lím (x→0) (x + 3) = 3
Aquí el factor común es simplemente x. No siempre hay que buscar factorizaciones complicadas: revisa primero si hay factor común directo.
Mixto 5
= ³√(3² + 19) = ³√28 ≈ 3.037
Se deja el radical como respuesta exacta. Aquí se encadenan raíz, suma, potencia y constante.
Mixto 6
Sustitución: 0/0 indeterminada
Multiplico por el conjugado (√x + 3)/(√x + 3)
= lím (x→9) (x − 9)(√x + 3)/(x − 9) = lím (x→9) (√x + 3)
= 3 + 3 = 6
Truco alternativo: reconocer que x − 9 = (√x − 3)(√x + 3) y cancelar directo. Llega al mismo resultado con menos escritura.
Discutan entre ustedes
Diálogo 7
Al cancelar el factor (x − 3) en (x−3)(x+3)/(x−3) estamos dividiendo entre algo que tiende a cero, que es justo lo que la ley del cociente prohíbe. ¿No estamos haciendo trampa?
No hay trampa, y la razón es sutil pero decisiva.
- El límite solo mira valores de x distintos de 3. Para todos esos valores, x − 3 es un número distinto de cero, y cancelarlo es álgebra perfectamente legal.
- Nunca dividimos entre cero: dividimos entre algo muy pequeño pero nunca nulo, y esa división está definida en cada paso.
- Lo que sí cambiamos es la función: (x²−9)/(x−3) y x+3 no son la misma función (una tiene hueco en 3, la otra no). Pero coinciden en todos los demás puntos, y por eso tienen el mismo límite.
Frase para recordar: el límite no distingue funciones que solo difieren en el punto al que se acerca.
Diálogo 8
Comparen dos resultados de hoy: uno donde el límite no existe (caso k/0) y otro donde el límite sí existe aunque la función no esté definida (caso 0/0). ¿Cómo le explicarían la diferencia a alguien que va empezando?
- En el caso k/0 la función se dispara: no se acerca a ningún número, se va cada vez más lejos. No hay destino.
- En el caso 0/0 la función sí se acerca a un número, solo que hay un punto perforado justo en el destino. Hay destino; simplemente el letrero está roto.
- Metáfora útil: el hueco es un bache en la carretera. Puedes ver claramente hacia dónde va el camino aunque falte un pedazo de asfalto. La asíntota, en cambio, es un precipicio: el camino se acaba.
Buena señal de que entendieron: si pueden dibujar las dos gráficas y señalar qué las distingue.
Diálogo 9
Las leyes de los límites se aplican en el diseño de gráficos de videojuegos, en el estudio del movimiento de los planetas y en la optimización de redes de Internet. Elijan una de las tres y traten de explicar dónde podría aparecer un límite ahí.
No se busca precisión técnica, sino que aterricen la idea de "acercarse sin llegar". Pistas por si la discusión se traba:
- Videojuegos: una curva suave se dibuja como muchos segmentos rectos diminutos. Mientras más pequeños, más suave se ve. El límite es la curva "perfecta" a la que tienden esos segmentos.
- Planetas: la velocidad de un planeta en un instante exacto es un cociente de cantidades que tienden a cero. Es literalmente el caso 0/0 de hoy.
- Redes: al aumentar el tráfico, el tiempo de espera de un servidor tiende a un valor límite; conocerlo permite dimensionar la infraestructura antes de que colapse.
Los tres ejemplos comparten la misma estructura: algo se hace cada vez más pequeño (o más grande) y el resultado se estabiliza en un valor que podemos calcular.
Error frecuente 5: responder "0/0" como si fuera un resultado
Lo que se escribe
lím (x→3) (x² − 9)/(x − 3) = 0/0 = 0 ✗
…o bien "= 1" ✗, o bien "no existe" ✗.
Lo correcto
0/0 es una señal, no una respuesta. Significa: "sustituir no bastó, hay que transformar la expresión". Al hacerlo, el límite resulta ser 6.
Por qué es tan tentador
Porque en aritmética 0/0 parece que debería valer algo. Pero mira estos tres ejemplos, todos con forma 0/0 en x = 0:
| Límite | Forma | Resultado real |
|---|---|---|
| lím (x→0) 2x/x | 0/0 | 2 |
| lím (x→0) x²/x | 0/0 | 0 |
| lím (x→0) x/x² | 0/0 | no existe |
Misma forma, tres resultados distintos. Por eso se llama indeterminada: la forma sola no determina nada.
Las tres, en la misma gráfica
Las tres valen 0/0 al sustituir. Una se estabiliza en 2, otra baja a 0 y la tercera se va de la hoja. Si la forma decidiera el resultado, las tres curvas tendrían que verse igual cerca del cero — y no se parecen en nada.
Verifica
¿Qué debes hacer al obtener 0/0? Escríbelo en tres palabras.
Factorizar, simplificar, reevaluar. (O "racionalizar" en lugar de factorizar, si hay raíces.) Lo que nunca debes hacer es dar 0/0 por respuesta ni declarar que el límite no existe sin haberlo intentado.
Error frecuente 6: quedarse con el hueco en la respuesta
Lo que se escribe
"El límite no existe porque la función no está definida en x = 3." ✗
Lo correcto
El límite vale 6. Que f(3) no exista es irrelevante: el límite describe el comportamiento alrededor de 3. ✓
Cómo corregirlo tú mismo
Cada vez que quieras concluir "no existe", oblígate a responder esta pregunta antes: ¿los valores de la función se acercan a algún número cuando me aproximo por los dos lados? Si la respuesta es sí, el límite existe, sin importar lo que pase justo en el punto.
La prueba práctica: evalúa en x = 2.99 y en x = 3.01. Si los dos resultados están cerca del mismo número, hay límite.
Verifica
Una función tiene un hueco en x = 5 y su gráfica se acerca a la altura 12 por ambos lados. ¿Cuánto vale el límite cuando x tiende a 5? ¿Cuánto vale f(5)?
El límite vale 12. f(5) no existe.
Son dos preguntas distintas con dos respuestas distintas, y eso es completamente normal. Cuando ambas coinciden decimos que la función es continua en el punto — y ese es exactamente el Tema 5 que sigue.
Lo que aprendiste en el Tema 3
En este tema se ha aprendido que existen propiedades que facilitan la obtención del límite de una función.
Es fundamental comprender que los límites desempeñan un papel esencial en diversas ramas de las matemáticas, como el cálculo, y que poseen aplicaciones prácticas en disciplinas como la física, la ingeniería y la tecnología. Por ejemplo, se aplican en el diseño de gráficos de videojuegos, en el estudio del movimiento de los planetas o en la optimización de redes de Internet, entre otras áreas.
El aprendizaje de los límites proporciona herramientas útiles para abordar situaciones que, en apariencia, pueden resultar complejas, pero que, al aplicar correctamente sus propiedades, se resuelven con mayor facilidad.
Videojuegos
Curvas suaves construidas con segmentos cada vez más pequeños.
Movimiento planetario
Velocidad en un instante exacto: el caso 0/0 llevado al espacio.
Redes de Internet
Comportamiento de un sistema cuando la carga crece sin parar.
Asegúrate de:
- Identificar las propiedades de límites.
- Utilizar de forma correcta las propiedades de los límites.
Autoevaluación honesta
¿Ya lo dominas?
Sin ver tus apuntes, responde: ¿cuáles son las ocho propiedades y cuál es la única que tiene una condición extra?
Las ocho: función constante (lím c = c), variable x (lím x = a), suma, diferencia, producto, división, potencia y raíz.
La condicionada: la división. Solo aplica si el límite del denominador es distinto de cero.
Bonus que también deberías tener claro: la raíz de índice par exige radicando no negativo, y todas las leyes exigen que los límites de las piezas existan.
¿Ya lo dominas?
¿Cuál es el protocolo de tres pasos para atacar cualquier límite?
1. Sustituir directo. 2. Si no da un número, clasificar el caso (k/0, 0/0, raíz par negativa). 3. Si es 0/0, transformar con álgebra y volver al paso 1.
Diez segundos por renglón
Responde mentalmente y descubre el renglón. No se trata de contar aciertos: se trata de que ningún renglón te deje dudando.
¿Dudaste en el último? Es el más importante de los ocho: recuerda que 0/0 significa "sigue trabajando", no "seguro hay respuesta".
Lo indeterminado no es lo imposible
Si te llevas una sola idea del Tema 3, que sea esta: cuando obtienes 0/0, la matemática no te está diciendo "no se puede". Te está diciendo "todavía no tienes suficiente información".
Son dos mensajes completamente distintos, y confundirlos cuesta caro dentro y fuera del salón. Frente a una decisión difícil, un problema laboral o una situación personal enredada, la reacción más común es concluir demasiado rápido que no hay salida. Casi siempre lo que falta no es una salida, sino una transformación del problema: mirarlo desde otro ángulo, factorizarlo, quitarle lo que sobra.
La habilidad concreta
Distinguir entre "esto no tiene solución" y "esto no se resuelve con el método que estoy usando". La primera afirmación es rarísima. La segunda es lo que pasa casi siempre.
Por qué importa para tu futuro
En cualquier carrera técnica, y en particular en ingeniería y desarrollo de software, el trabajo real no consiste en aplicar métodos conocidos a problemas conocidos. Consiste en reconocer cuándo el método se agotó y reformular el problema. Eso es lo que hiciste hoy con cada 0/0.
Reflexión final
¿En qué situación de tu vida has dicho "no se puede" cuando en realidad querías decir "no sé cómo"? ¿Qué cambiaría si te dieras permiso de reformular el problema en lugar de cerrarlo?
Una respuesta valiosa identifica el momento exacto en que se cerró la puerta y nombra al menos una manera de reabrirla: pedir ayuda a alguien específico, cambiar el orden de los pasos, dividir el objetivo, o buscar quién ya lo resolvió antes.
No hay respuesta "correcta" aquí. La única equivocada es no intentar nada, que es el equivalente humano de escribir 0/0 y entregar el examen.
Referencias bibliográficas
Del tema
- Stewart, J. (2021). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. México: Cengage.
- GeoGebra. (s.f.). Cálculo de límites de funciones. Recuperado de https://www.geogebra.org/m/W8ySJ2B5
Para profundizar · el resto del curso
- Galván, D. et al. (2013). Cálculo diferencial: un enfoque constructivista. México: Cengage.
- Rojas, A. (2015). Cálculo diferencial. México: Patria.
- Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas. México: McGraw-Hill.
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Siguiente parada:
Infinito y asíntotas
Hoy viste qué pasa cuando el denominador tiende a cero y el límite se dispara. En el Tema 4 le pondremos nombre y gráfica a ese comportamiento.