Cuando x crece sin parar:
qué le pasa a f(x)
Hasta aquí siempre te acercabas a un punto: x → 3, x → −2. Hoy cambia el destino: x → ∞, y el infinito no es un punto al que se pueda llegar. La pregunta ya no es "¿cuánto vale ahí?", sino "¿hacia qué se estabiliza a la larga?" — y la respuesta tiene nombre y gráfica: la asíntota.
Sesión 1 de 3 · 60 minutos · Prepa Tecmilenio
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Qué vamos a hacer hoy
Contextualizar · 9 min
El costo promedio de una bodega y por qué se aplana en un número en vez de bajar a cero.
Practicar y dialogar · 30 min
La notación, la forma indeterminada ∞/∞ y las dos primeras reglas, con ejercicios en cada paso.
Retroalimentar · 12 min
Los dos errores que este tema provoca de verdad, y la pregunta que los desarma.
Anclar el propósito · 9 min
Por qué "acercarse sin llegar" no es un fracaso: en ingeniería casi todo se optimiza hacia un techo.
Al terminar el tema deberás poder
- Comprender los conceptos de límites infinitos y límites al infinito.
- Aplicar las reglas de los límites para obtener las asíntotas verticales y horizontales de una función.
Estos son los dos puntos del Checkpoint oficial del tema. Todo lo demás está al servicio de ellos.
El "efecto túnel" de los videojuegos
En un juego de carreras o en un simulador espacial, cuando la nave acelera muchísimo los gráficos se deforman: la carretera parece curvarse y las luces se estiran en líneas. Es el efecto túnel.
Nadie programó "lo que pasa a la velocidad de la luz", porque llegar ahí es físicamente imposible. Lo que el estudio programó es la tendencia: cómo se vería el mundo si la velocidad siguiera creciendo. Eso es, literalmente, un límite al infinito.
La maniobra matemática es la misma de siempre —describir la vecindad sin tocar el punto— pero ahora la "vecindad" es todo lo que está muy lejos.
Dos preguntas que hoy se separan
- Límite infinito — el resultado se dispara: lím (x→3) f(x) = ∞. Lo viste en el Tema 2.
- Límite al infinito — lo que se va lejos es la entrada: lím (x→∞) f(x) = L. Es lo nuevo de hoy.
Se parecen tanto al oírlas que conviene decirlas en voz alta una vez: "infinito" describe la salida; "al infinito", la entrada.
Pregunta de arranque (30 s, en voz alta). ¿Se te ocurre algo de tu vida diaria que se acerca a un tope y nunca lo alcanza?
Las que casi siempre salen, y por qué sirven:
- La batería al 100 %. El último 3 % tarda más que el primer 50 %: la carga se frena conforme se acerca al tope.
- La velocidad máxima de un coche. La resistencia del aire crece con la velocidad, así que hay un techo que se aproxima pero no se rebasa.
- El tiempo estimado del GPS. Se corrige y se corrige, acercándose a la hora real de llegada.
- Aprender algo. Los primeros días avanzas a saltos; después, cada mejora es más pequeña.
Todas comparten la forma del tema: hay un valor límite, la distancia a él se hace tan pequeña como quieras, y nunca se vuelve cero.
Antes de la fórmula, la apuesta
En parejas. Todavía no hay respuesta incorrecta: se trata de comprometerse con una hipótesis antes de ver la matemática, porque una hipótesis propia se corrige mejor que una página en blanco.
1La planta armadora
En una armadora de Jalisco, x es el número de turnos trabajados y f(x) el porcentaje de eficiencia de la línea. ¿La eficiencia puede crecer para siempre, o se estabiliza cerca de un valor?
Se estabiliza, y hay una razón física: la eficiencia está acotada por 100 %. Ninguna curva que mida un porcentaje puede crecer sin límite.
Y en la práctica el techo real está por debajo del 100 %: lo fijan el mantenimiento, los tiempos de cambio de herramienta y el descanso de la gente. Ese techo, dibujado, es una recta horizontal que la curva se acerca pero no cruza — hoy le pondremos nombre.
2Lo que sí crece sin freno
Ahora al revés: ¿se te ocurre algo que no tenga techo, algo que entre más avanza más rápido crece?
Los ejemplos honestos: una deuda con interés compuesto que no se paga, el número de combinaciones de una contraseña conforme le agregas caracteres, el almacenamiento que consume una app que nunca borra nada.
Guárdalos: son la Regla 3 de la Sesión 2. Que algo crezca sin límite en el modelo no significa que pueda hacerlo en el mundo — significa que el modelo deja de servir antes de lo que crees.
El costo que se aplana
Operar una bodega cuesta $8 000 fijos al mes más $500 por pedido. Si procesas x pedidos, el costo promedio por pedido es:
Arrastra el control y mira el costo promedio. La pregunta no es "¿cuánto vale en x = 40?", sino ¿hacia dónde va?
Predice antes de mover. ¿El costo promedio bajará hasta cero, se quedará en un número, o crecerá?
Se queda en 500. El término 8000/x se hace diminuto (con x = 1000 vale 8; con x = 1 000 000, 0.008), pero el 500 no se mueve: es el costo variable de cada pedido y ningún volumen lo elimina.
Interpretación de negocio: repartir el costo fijo entre más pedidos ayuda cada vez menos. A partir de cierto volumen, bajar el costo exige cambiar el proceso, no vender más. Esa recta y = 500 es la asíntota horizontal.
La curva baja y baja, pero se frena contra la recta y = 500. Por lejos que arrastres, el cuarto dígito nunca llega a 500.00 exacto.
Cómo se escribe "cuando x crece sin parar"
Se lee: "el límite de f de x cuando x tiende a infinito es L". Y significa, con todas sus letras: los valores de f(x) se pueden acercar a L tanto como se quiera, con tal de tomar x suficientemente grande.
La versión izquierda existe igual y se escribe lím (x→−∞) f(x) = L: ahí x se hace cada vez más negativo. Son dos preguntas distintas y pueden tener respuestas distintas.
Stewart, J. (2021). Cálculo de una variable.
Lo único que cambia frente al Tema 2
| Tema 2 y 3 | Tema 4 | |
|---|---|---|
| Debajo de lím | x → a | x → ∞ |
| ¿Se puede sustituir? | Sí, si la ley aplica | Nunca: ∞ no es número |
| Pregunta | ¿Cuánto vale cerca de a? | ¿En qué se estabiliza? |
| Se ve como | Un hueco o un punto | Una recta horizontal |
Todo lo demás —las ocho leyes del Tema 3— sigue vigente, siempre que cada pieza tenga límite.
∞ no es un número. Es una dirección.
Lo que ∞ NO es
- No es "el número más grande". No existe tal número: a cualquiera le sumas 1.
- No se puede sustituir. Escribir f(∞) no significa nada.
- No se cancela consigo mismo: ∞/∞ ≠ 1 y ∞ − ∞ ≠ 0.
Lo que ∞ sí es
- Una instrucción: "sigue creciendo, sin detenerte".
- Una descripción de cómo falla un límite: = ∞ dice "se dispara", no "vale infinito".
- El motivo por el que existen reglas: como no puedes sustituir, necesitas una estrategia. El resto de la sesión son esas reglas.
Pregunta (piénsala 20 s antes de revelar). Si ∞/∞ no vale 1, ¿por qué tanta gente lo escribe? ¿De dónde sale la tentación?
De una regla verdadera aplicada donde no va: "algo entre sí mismo es 1". Es cierta para números —7/7 = 1— y por eso se cuela.
Pero arriba y abajo no hay un "algo": hay dos procesos creciendo, y lo que decide el resultado es cuál crece más rápido. Si el de arriba corre al triple, el cociente se acerca a 3; si el de abajo corre al cuadrado, el cociente se va a cero. La forma ∞/∞ no contiene esa información: por eso se llama indeterminada. La siguiente pantalla lo enseña con tres funciones a la vez.
Tres funciones, la misma forma ∞/∞, tres respuestas
Las tres dan ∞/∞ al intentar sustituir. Las tres se comportan distinto:
Si la forma ∞/∞ decidiera el resultado, las tres tendrían que coincidir. No coinciden: la forma sola no determina nada. Lo que determina es la carrera entre los grados.
Misma forma indeterminada, tres destinos: se estabiliza en 2, cae a 0, o se dispara.
Pregunta. Sin calcular nada: ¿qué tienen de distinto los grados en los tres casos?
Caso 1 — grado 2 arriba y grado 2 abajo: empatan, y el cociente se acerca a la razón de los coeficientes, 2/1 = 2.
Caso 2 — grado 1 arriba, grado 2 abajo: gana el de abajo, y el cociente se hace diminuto: 0.
Caso 3 — grado 2 arriba, grado 1 abajo: gana el de arriba, y el cociente se dispara: ∞.
Ahí están las tres reglas del tema, descubiertas antes de enunciarlas. Hoy formalizamos las dos primeras; la tercera abre la Sesión 2.
Una constante entre algo enorme se hace cero
Es el único hecho nuevo que hace falta memorizar en toda la sesión, y se comprueba con la calculadora en diez segundos: el numerador se queda quieto mientras el denominador se dispara, así que el cociente se aplasta contra cero.
| x | 10 | 100 | 10 000 | 1 000 000 |
|---|---|---|---|---|
| 8/x | 0.8 | 0.08 | 0.0008 | 0.000008 |
Nunca vale cero exacto —8/1000000 es positivo— y por eso se dice tiende a cero. Es la misma honestidad del Tema 2: describimos la tendencia, no un valor alcanzado.
Las tres se aplastan contra y = 0, y las de mayor exponente llegan antes. Ninguna la toca.
Ojo con el gemelo malvado. Esta regla es c/∞ → 0. La del Tema 2 era c/0 → ±∞. ¿Cuál es cuál?
Pregúntate siempre quién es el que se mueve:
- Si lo que se hace enorme está abajo, la fracción se aplasta: 8/1000000 ≈ 0. Es lo de hoy.
- Si lo que se hace diminuto está abajo, la fracción explota: 8/0.000001 = 8 000 000. Eso era el Tema 2, y volverá en la Sesión 3 como asíntota vertical.
Dos comportamientos opuestos que se escriben casi igual. Si dudas, sustituye un número grande o uno pequeñito en la calculadora: en cinco segundos sabes de qué lado estás.
El truco: dividir todo entre la mayor potencia
-
∞/∞ = indeterminado
Intentar sustituir da ∞/∞. No es un resultado: es un aviso de que hay que transformar la expresión. No escribas "= 1".
-
(3x² + 5x + 1)/x² ÷ (8x² − 2x + 3)/x²
Divide cada término, arriba y abajo, entre x²: la mayor potencia que aparece en la fracción. Dividir arriba y abajo por lo mismo no cambia el valor — es multiplicar por 1 disfrazado.
-
lím (x→∞) (3 + 5/x + 1/x²) / (8 − 2/x + 3/x²)
Ahora cada término o es una constante, o tiene x en el denominador. Eso es exactamente lo que la herramienta anterior sabe resolver.
-
(3 + 0 + 0)/(8 − 0 + 0) = 3/8
Todo lo que tiene x abajo se va a cero. Sobreviven los coeficientes principales: 3 y 8.
Resultado
Compruébalo
Con x = 100: arriba 30 501, abajo 79 803, cociente 0.3822. Con x = 10 000 ya da 0.37506. Se está acomodando en 0.375.
Mismo grado arriba y abajo: la razón de los coeficientes
Dividir entre la mayor potencia siempre funciona, pero es lento. Cuando la función es un cociente de polinomios, el resultado se puede leer de un vistazo comparando los grados.
El numerador y el denominador tienen el mismo grado. Los términos de mayor potencia crecen al mismo ritmo y el cociente se acomoda.
Cómo se ve en los ejemplos
- (3x² + 5x + 1)/(8x² − 2x + 3) → 3/8
- (x² + 9)/(x² − 4) → 1/1 = 1
- (150x² + 7)/(50x² − 3) → 150/50 = 3
Los términos menores (+9, −4, +7) no participan. Frente a x² con x enorme, son polvo.
La condición no es decorativa
Solo si los grados son iguales. Aplicar a/b sin comparar grados es el error más caro del tema, y el distractor favorito del examen.
Escribe siempre, antes de tocar un coeficiente: n = ___ , m = ___.
Tu turno: grados iguales
Resuélvelos en tu cuaderno antes de revelar. Primero escribe los grados, después los coeficientes.
grados: n = 3, m = 3 → iguales
= 5/2 = 2.5
grados: n = 4, m = 4 → iguales
= 6/2 = 3
grados: n = 2, m = 2 → iguales
coeficientes: 1 y 1 (aunque no se escriban)
= 1
Comprobación: con x = 100 da 10009/9996 ≈ 1.0013.
La de en medio. En el segundo, ¿por qué el −x del numerador no aparece por ningún lado en la respuesta?
Porque al dividir entre x⁴ se convierte en −1/x³, que tiende a 0. Dicho en números: con x = 1000, el término 6x⁴ vale 6 × 10¹² y el −x vale −1000. Es menos de una milmillonésima parte del otro. Solo el grado más alto sobrevive al viaje al infinito.
Gana el denominador: el límite es cero
El denominador tiene el grado mayor: crece más rápido y aplasta la fracción, igual que 8/x.
Por qué sale cero, en una línea
Divide entre la mayor potencia: arriba quedan términos con x en el denominador (que se van a 0) y abajo sobrevive una constante distinta de cero.
0 entre algo que no es cero es 0. Sin misterio.
Compruébalo con números
En (5x + 2)/(x² + 1) con x = 1000: arriba ≈ 5 002, abajo ≈ 1 000 001. El cociente ≈ 0.005. Con x = 10 000 ya es 0.0005.
Pregunta. ¿Podría este límite dar un número negativo pequeño en vez de cero, por ejemplo con (−5x)/(x² + 1)?
El límite sigue siendo 0. La fracción se acerca a cero desde abajo (sus valores son negativos: −0.005, −0.0005…), pero el valor al que tiende es cero de todos modos. El signo describe por qué lado se acerca, no a qué se acerca — y en la Sesión 3 eso será justo la diferencia entre la gráfica que se apoya en y = 0 por arriba y la que lo hace por abajo.
Cuidado: el grado no siempre está escrito
-
(3x + 1)² = 9x² + 6x + 1
Primero desarrolla. Mientras el denominador esté al cuadrado no se le ve el grado, y sin el grado no se puede elegir regla. Aquí está la trampa del ejercicio.
-
grados: numerador n = 1, denominador m = 2
Como m > n, es la Regla 2. Ya podrías responder; los pasos que siguen son la justificación.
-
lím (x→∞) (1/x + 1/x²) / (9 + 6/x + 1/x²)
Dividiendo todo entre x².
-
(0 + 0)/(9 + 0 + 0) = 0/9 = 0
Cero entre nueve es cero. El límite es 0.
Trampas de grado que hay que desarmar antes de comparar:
- (2x − 5)³ → grado 3, con coeficiente principal 2³ = 8.
- x(x + 4) → grado 2.
- (x² + 1)(x − 3) → grado 3 (se suman los grados de los factores).
- √(x² + 1) → se comporta como grado 1, porque √(x²) = |x|. Este aparece en la Sesión 2.
Regla práctica: si hay paréntesis con exponente, productos o raíces, el grado hay que calcularlo, no leerlo.
Regla 1 o Regla 2: decide y resuelve
Los tres se resuelven en menos de un minuto si primero comparas los grados. Escribe n y m antes de calcular.
n = 1, m = 2 → Regla 2
= 0
Responder 4 es aplicar la razón de coeficientes sin comparar grados.
n = 0, m = 3 → Regla 2
= 0
Una constante tiene grado 0: sí cuenta como polinomio.
n = 2, m = 2 → Regla 1
= 2/5 = 0.4
Reto de cierre (el que separa al que entendió)
Sin hacer cuentas: ¿qué vale lím (x→∞) (500x + 8000)/x? Y antes de responder: ¿dónde viste ya esta función hoy?
Grados iguales (1 y 1) → Regla 1 → 500/1 = 500.
Y es la bodega del inicio de la clase: si divides (500x + 8000)/x término a término obtienes 500 + 8000/x, que es exactamente C(x). Dos caminos, un mismo 500. Esa coincidencia no es casualidad: es la Regla 1 diciendo lo mismo que la gráfica.
Preguntas sin cuenta que hacer
En tríos. Cada equipo prepara una respuesta en una frase y elige vocero. Revela solo después de que el grupo haya dicho la suya en voz alta.
1
Si 3/8 es el límite, ¿alguna vez la función vale exactamente 3/8?
En este caso no: se acerca sin llegar. Pero cuidado con generalizar — una función puede tocar (e incluso cruzar) su valor límite en algún punto y seguir tendiendo a él. Un límite dice a dónde va la función a la larga, y no le prohíbe nada a mitad del camino. Lo veremos con una gráfica en la Sesión 3.
2
La bodega da 500. ¿Tiene sentido pedirle al gerente que procese "infinitos pedidos" para lograrlo?
No, y ahí está el valor real del límite: dice que por más que crezcas, no bajarás de 500. Eso convierte una curva en una decisión: si necesitas un costo de 450, ningún volumen te lo dará — hay que cambiar el proceso, negociar el insumo o rediseñar el producto. El límite acota lo posible, que es más útil que predecir un número.
3
¿Por qué el resultado de la Regla 1 no depende de los términos pequeños, si en x = 2 sí importan muchísimo?
Porque "importar" es relativo al tamaño de lo demás. En x = 2, el +9 de x² + 9 es más grande que el propio x² = 4. En x = 10 000, ese mismo +9 compite contra 10⁸. El término no cambió; cambió su compañía. Por eso un límite al infinito puede ignorar lo que cerca del origen manda.
"∞ sobre ∞ es 1, porque algo entre sí mismo es 1"
Lo que se escribe
Aparece en casi todos los primeros exámenes del tema, y viene de aplicar una regla verdadera de los números a algo que no es un número.
La pregunta que lo desarma
"¿Ese infinito de arriba y el de abajo crecen exactamente igual de rápido?"
Casi nunca. Y cuando la respuesta honesta es "no sé", la salida es el procedimiento: divide entre la mayor potencia y vuelve a mirar.
La prueba de una línea. Si ∞/∞ valiera 1, entonces 2x/x y x²/x tendrían que dar lo mismo al infinito. ¿Cuánto dan?
2x/x = 2 siempre → el límite es 2
x²/x = x → el límite es ∞
Dos respuestas distintas para la misma forma. Con eso basta para tirar la idea: ∞/∞ no es un valor, es una pregunta sin responder. (Es exactamente el mismo argumento que usaste con 0/0 en el Tema 3.)
"Entre infinito se hace enorme"
Lo que se escribe
O su variante: responder 8000, confundiendo el numerador con el límite.
El antídoto: un solo renglón de calculadora
Teclea 8000 ÷ 1000000. Sale 0.008. Ahí se acabó la discusión: repartir 8 000 entre un millón de personas no le da más a cada una.
De dónde viene la confusión
De mezclar las dos posiciones. Enorme arriba sí dispara la fracción; enorme abajo la aplasta. El error casi siempre es leer la fracción al revés bajo presión de examen.
El hábito que lo previene
Antes de responder cualquier límite al infinito, di en voz alta quién está abajo. Si abajo está lo que crece, la respuesta empieza por "se hace chiquito".
Pregunta relámpago. ¿Y cuánto vale lím (x→∞) x/8000?
∞. Aquí lo que crece está arriba: dividir entre 8 000 frena la carrera, no la detiene. Es la misma fracción con los papeles cambiados, y da lo opuesto — por eso la posición importa más que los números.
Cinco renglones para saber si la sesión sirvió
Si fallaste dos o más, la que hay que repetir es la pantalla "Tres funciones, la misma forma ∞/∞": ahí está la idea de la que salen las tres reglas.
Lo que se estabiliza también vale
Hay una idea de fondo en este tema que vale más que las reglas: no todo tiene que crecer sin límite para tener valor.
Casi todo lo que se hace bien en ingeniería se optimiza hacia un techo práctico, no hacia el infinito: el rendimiento de un motor, la pureza de un material, la disponibilidad de un servidor. Nadie promete el 100 %; se promete acercarse y sostenerse ahí.
Y lo mismo pasa afuera del salón. Dominar una habilidad, mejorar tu condición física, construir una relación: todas se comportan como un límite. Te acercas cada vez más, y esa aproximación constante ya es el progreso — no el premio por llegar.
Para pensar (1 min, sin compartir si no quieres)
¿Hay algo en tu vida donde ya dejaste de esperar "llegar al 100 %" y empezaste a valorar acercarte cada vez más?
No hay respuesta correcta, pero sí hay una distinción que conviene nombrar: entre "me rendí" y "entendí la forma de la curva".
Rendirse es dejar de acercarse. Lo otro es seguir acercándose sabiendo que el último tramo cuesta más que el primero — y aun así decidir que vale la pena. En matemáticas eso tiene nombre: converger. Es lo contrario de fracasar.
Lo que ya puedes hacer
Te llevas dos reglas y un hábito
- Regla 1 — mismo grado → razón de coeficientes principales.
- Regla 2 — gana el denominador → el límite es 0.
- El hábito — escribir n = ___ , m = ___ antes de calcular.
Lo que falta
Queda el tercer caso, el que hoy solo asomó en la gráfica: ¿y si el que manda es el numerador?
Ahí el límite no es un número. Y esa respuesta, la que "no da número", resulta ser la más informativa de las tres.
Para la próxima sesión: trae resueltos lím (x→∞) (x⁵ + 3)/(x² − 9) y lím (x→∞) (9x + 1)/x⁴. Uno de los dos no tiene respuesta finita — decide cuál antes de calcularlo.
Cuando nada lo detiene:
la tercera regla
Ya sabes qué pasa cuando los grados empatan y cuando gana el de abajo. Falta el tercer caso — y es el único cuya respuesta no es un número. Al final de la sesión tendrás el mapa completo: un vistazo a los grados y el límite decidido, sin dividir nada.
Sesión 2 de 3 · 60 minutos · Prepa Tecmilenio
Sin ver tus notas
1Si numerador y denominador tienen el mismo grado, ¿cómo se calcula el límite?
Razón de los coeficientes principales: a/b. Los coeficientes de los términos menores no participan.
2Si el denominador tiene mayor grado, ¿cuál es el límite?
0. Y no depende de los coeficientes: da igual que arriba haya un 1 o un 10⁹.
La tarea de la sesión pasada
Se pedía decidir cuál de los dos no tiene respuesta finita, antes de calcular: lím (x→∞) (x⁵ + 3)/(x² − 9) y lím (x→∞) (9x + 1)/x⁴.
(9x + 1)/x⁴ → n = 1, m = 4: gana abajo → Regla 2 → 0
(x⁵ + 3)/(x² − 9) → n = 5, m = 2: gana arriba → ¿? → no da número
Ese segundo es el tema de hoy. Fíjate en lo que ya pudiste hacer sin calcular: solo mirando grados supiste cuál se estabiliza y cuál no.
El crecimiento sin techo
Hay cuentas de redes sociales cuyos seguidores crecen cada vez más rápido: no se acercan a ningún techo visible, y entre más grandes son, más rápido suben.
En finanzas pasa igual con el interés compuesto: una deuda al 4 % mensual que no se paga no crece "un poco cada mes" — crece sobre lo que ya creció. En seis años se multiplica por más de diez.
Matemáticamente, esto ocurre cuando el numerador le gana al denominador. Y es la tercera regla, la que nos faltaba.
Una advertencia que vale por todo el tema
Que un modelo diga ∞ no significa que algo vaya a crecer para siempre en el mundo real. Significa que el modelo no tiene nada que lo frene.
Los seguidores chocan con la población del planeta; la deuda, con la quiebra; la bacteria, con el alimento. ∞ casi siempre es la forma en que un modelo avisa: "aquí dejo de servir". Saber leer eso es la mitad del valor de este tema en tu carrera.
Una carrera que el grado siempre gana
Compara y = 100x contra y = x². Al principio la recta va muy por delante: en x = 10 vale 1 000 contra 100.
Pero la parábola la alcanza en x = 100 y después la deja atrás para siempre: en x = 1 000 es diez veces mayor; en x = 10 000, cien veces.
La moraleja del tema: un coeficiente grande solo compra ventaja temprana. Un grado mayor gana a la larga, siempre. Y "a la larga" es justo donde vive x → ∞.
Contra y = 1 000 000x, la parábola tarda más: la alcanza en x = 1 000 000. Pero la alcanza. Y a partir de ahí la diferencia se vuelve abismal. Por eso lím (x→∞) x²/(1000000x) = ∞: un coeficiente, por enorme que sea, es un número fijo, y el grado es un proceso.
La recta va ganando hasta x = 100. Después, no hay regreso.
Gana el numerador: el límite se dispara
El numerador tiene el grado mayor. Al dividir entre la mayor potencia del denominador sobra x arriba, y esa x sigue creciendo.
Cómo se escribe la respuesta
Decir = ∞ es correcto y es informativo: dice que el límite no existe como número y además cómo deja de existir.
Lo que no se vale es tratarlo como número después: escribir ∞ + 5 o ∞/∞ en el renglón siguiente ya es otro error.
Nunca es "un número grande"
En un examen, = 1 000 000 vale cero aunque la intuición sea correcta. El límite no es grande: es que no hay límite. Cualquier número que propongas, la función lo rebasa más adelante.
Un caso con x → −∞
-
grados: numerador n = 6, denominador m = 4
Como n > m, es Regla 3. Ya sabes que no dará número; falta decidir el signo.
-
(x⁶ − x⁴)/x⁴ ÷ (x⁴ − x² + 3)/x⁴ = (x² − 1) / (1 − 1/x² + 3/x⁴)
Se divide entre x⁴, la mayor potencia del denominador. Arriba sobrevive x² − 1: ahí está la x que se escapa.
-
(x² − 1)/(1 − 0 + 0) = x² − 1
El denominador se acomoda en 1. Todo el comportamiento queda en manos de x² − 1.
-
x → −∞ ⟹ x² → +∞
Aquí está el detalle: aunque x se vaya hacia lo negativo, al elevarlo al cuadrado el resultado es positivo y enorme. (−1000)² = 1 000 000.
Pregunta. ¿Habría cambiado la respuesta si el límite fuera con x → +∞?
No: seguiría siendo +∞. Lo que sobrevivió fue x², y una potencia par da positivo por los dos lados. Si en cambio hubiera sobrevivido x³, los dos lados darían respuestas opuestas. La siguiente pantalla es exactamente sobre eso.
±∞: lo deciden la paridad y el signo del coeficiente
Cuando la Regla 3 aplica, lo que queda es un monomio k·xᵖ. Su destino depende de dos cosas nada más:
| k·xᵖ | x → +∞ | x → −∞ |
|---|---|---|
| x² (par, k > 0) | +∞ | +∞ |
| x³ (impar, k > 0) | +∞ | −∞ |
| −x² (par, k < 0) | −∞ | −∞ |
| −x³ (impar, k < 0) | −∞ | +∞ |
No hay que memorizar la tabla: basta sustituir mentalmente un número grande con el signo correspondiente. (−1000)³ = −10⁹ lo resuelve en un segundo.
Par: las dos ramas suben. Impar: una sube y la otra baja. Todo el signo del tema sale de ahí.
Practícalo. ¿Cuánto vale lím (x→∞) (−4x³)/(2x + 1)?
grados: n = 3 > m = 1 → Regla 3
queda: (−4x³)/(2x) = −2x²
x → +∞ ⟹ −2x² → −∞
Respuesta: −∞. El coeficiente negativo voltea la parábola, así que se dispara hacia abajo. Responder ∞ sin signo es media respuesta.
Tres reglas, una sola pregunta
Todo el Tema 4 —la parte de límites al infinito— cabe en una decisión que se toma antes de calcular:
m > n
→ 0
n = m
→ a/b
n > m
→ ±∞
Y una cuarta regla no escrita: si hay paréntesis con exponente, productos o raíces, calcula el grado primero.
El diagrama completo. La única flecha de regreso es la de "desarrolla primero".
Por qué funciona, en una frase
Al dividir todo entre la mayor potencia del denominador, cada término se convierte en una constante o en algo que tiende a cero. Lo único que puede sobrevivir es el cociente de los términos de mayor grado — y de ahí salen los tres casos: sobra abajo (0), no sobra nada (a/b), sobra arriba (±∞).
Cuáles se resuelven solas y cuáles no
Se resuelven solas (no son indeterminadas)
La última es la del Tema 2, y es la que produce asíntotas verticales. Vuelve en la Sesión 3.
Indeterminadas: hay que trabajar
Ninguna tiene valor por sí misma: son un aviso de que falta transformar la expresión. En este tema la herramienta es siempre la misma — dividir entre la mayor potencia. (En el Tema 3 era factorizar o racionalizar, para 0/0.)
Pregunta. ¿Por qué ∞ − ∞ no puede valer 0, si "restar algo de sí mismo da cero"?
Porque no son "el mismo infinito": son dos procesos creciendo, y lo que decide es cuál crece más rápido y por cuánto. Tres ejemplos, los tres de la forma ∞ − ∞:
(x + 5) − x → da 5 (la diferencia es fija)
x² − x → da ∞ (el cuadrado se despega)
x − x² → da −∞ (el mismo par, al revés)
Misma forma, tres resultados. Exactamente el mismo argumento que ya usaste con ∞/∞ y con 0/0.
Las tres reglas mezcladas
Para cada uno: escribe n y m, decide la regla, y solo entonces calcula. Revela cuando lo tengas en el cuaderno.
n = 5, m = 2 → Regla 3
queda: x⁵/x² = x³, con x → +∞
= +∞
n = 3, m = 2 → Regla 3
queda: 2x³/x² = 2x
= +∞
Responder 2 es dividir coeficientes sin comparar grados: el distractor clásico.
n = 1, m = 4 → Regla 2
= 0
n = 3, m = 3 → Regla 1
= 1/5 = 0.2
Que sea x → −∞ no cambia nada en la Regla 1: cuando los grados empatan, el resultado es el mismo por los dos lados. La dirección solo importa cuando el límite se dispara.
El que hay que contestar sin escribir nada
lím (x→∞) (2x + 1)³/(x³ + 7)
(2x + 1)³ → grado 3, coeficiente principal 2³ = 8
n = 3, m = 3 → Regla 1
= 8/1 = 8
La trampa está en responder 2, leyendo el 2 del paréntesis sin elevarlo al cubo. No hace falta desarrollar el binomio completo: el coeficiente principal de (ax + b)ᵏ es aᵏ.
Cuando hay una raíz, el grado se parte a la mitad
-
grado de √(4x² + 1): 2 ÷ 2 = 1
Una raíz cuadrada divide el grado entre dos: por dentro crece como x², por fuera como x.
-
n = 1, m = 1 → Regla 1
Grados iguales. Falta el coeficiente principal de arriba.
-
√(4x² + 1) ≈ √(4x²) = 2|x|
El +1 es polvo frente a 4x². Y el coeficiente sale de la raíz ya con raíz aplicada: √4 = 2, no 4.
-
2|x|/x → 2x/x = 2 (porque x > 0)
Como x → +∞, entonces x es positivo y |x| = x.
El giro que cuesta puntos
Ahora el mismo ejercicio con x → −∞. ¿Sigue dando 2?
No: da −2.
si x < 0 → |x| = −x
2|x|/x = (−2x)/x = −2
La raíz cuadrada siempre entrega un resultado positivo, pero el denominador se ha vuelto negativo. Compruébalo con x = −1000: arriba √(4 000 001) ≈ 2000, abajo −997, cociente ≈ −2.006. Es el único lugar del tema donde el lado por el que te vas cambia la respuesta y no solo el signo del infinito.
Grados con radicales, para el cuaderno: √(x⁶) → 3 · ∛(x⁶) → 2 · √(x³ + x) → 1.5. Se comparan igual que los enteros.
¿Crecer para siempre es siempre bueno?
Equipos de tres, cuatro minutos, un vocero por equipo. Revela después de escuchar al grupo.
1
Piensa en un caso real de "Regla 3" —crecimiento sin freno—. ¿Es deseable a largo plazo, o en algún punto se vuelve un problema?
Casi siempre se vuelve problema, porque nada crece sin consumir algo: la deuda consume ingreso futuro, la población consume territorio, una app que nunca borra consume disco. Lo interesante no es si el crecimiento es bueno o malo, sino qué recurso lo va a frenar y cuándo. Un modelo con ∞ es un modelo al que todavía no le pusieron ese freno.
2
Da un ejemplo real de "Regla 1" —algo que se estabiliza en un valor— que te parezca más sano que uno de crecimiento infinito.
Salen cosas como el sueldo por hora de un oficio dominado, el rendimiento de un motor afinado o la temperatura de un cuarto con termostato. Todos comparten algo: el sistema llegó a un punto de operación y se sostiene ahí. En ingeniería eso se llama estado estacionario, y es el objetivo, no el consuelo.
3
Un modelo dice que tus seguidores crecerán como x³. ¿Qué le preguntarías a quien te lo presenta?
La pregunta honesta es "¿hasta qué valor de x lo mediste?". Un modelo se ajusta con datos de un rango, y fuera de ese rango es una suposición. x³ con x en meses predice, a cinco años, más seguidores que habitantes tiene el planeta — señal segura de que el modelo se rompió antes. El límite al infinito es una prueba de estrés: si el resultado es absurdo, el modelo tiene fecha de caducidad.
Dividir coeficientes sin haber mirado los grados
Lo que se escribe
Es el error más frecuente del tema completo: la Regla 1 se aprende primero, se siente fácil, y se aplica en automático.
El hábito que lo elimina
Antes de tocar un solo coeficiente, escribe n = ___ , m = ___.
Dos segundos de escritura contra un reactivo perdido. El grado decide qué regla usar; los coeficientes solo importan si la regla resultó ser la 1.
Detecta el error. Un compañero entrega esto. ¿Dónde se rompe?
La regla elegida sí era la correcta —los grados son 2 y 2—, pero el coeficiente principal de arriba no es 3.
(3x + 2)² = 9x² + 12x + 4 → coeficiente principal 9
= 9/1 = 9
Moraleja doble: desarrollar el paréntesis sirve para las dos cosas, para ver el grado y para ver el coeficiente. Leer el 3 "de reojo" cuesta el reactivo aunque la regla esté bien elegida.
Tratar a ∞ como si fuera un número
∞ − ∞ = 0
No. Depende de qué tan rápido crece cada uno: x² − x → ∞.
∞ + 5 = ∞ … y luego = 5
La primera igualdad es aceptable como descripción; la segunda es tratar ∞ como número y "cancelarlo".
∞/∞ = 1
El error de la sesión pasada, que reaparece en cuanto hay prisa.
La frase que resuelve las tres
"∞ no es un valor que se pueda operar: es la descripción de un proceso que no se detiene."
Por eso, en cuanto aparece una forma indeterminada, la respuesta nunca está en operar el símbolo, sino en volver a la función y transformarla. En este tema: dividir entre la mayor potencia. Siempre la misma salida.
Cierra la idea. ¿Cuánto vale lím (x→∞) [√(x + 1) − √x]? Es de la forma ∞ − ∞.
Vale 0, y la intuición lo ve antes que el álgebra: con x = 10 000, √10001 − √10000 ≈ 0.005. Las dos raíces crecen, pero la distancia entre ellas se encoge.
Si lo quieres formal, se racionaliza igual que en el Tema 3: (√(x+1) − √x)·(√(x+1) + √x)/(√(x+1) + √x) = 1/(√(x+1) + √x), y ahí el denominador se dispara, así que el cociente va a cero. Misma técnica de siempre, otro disfraz.
Seis renglones
No todo crecimiento sin límite es progreso
En tu vida profesional vas a encontrarte los dos patrones, y casi nunca vienen etiquetados.
Metas que se estabilizan: dominar una técnica, un idioma, un puesto. Y procesos que, si no los cuidas, crecen sin control: las deudas, los compromisos que aceptas, el estrés, la lista de pendientes.
Reconocer de qué tipo es algo antes de que se note es literalmente la habilidad que entrenaste hoy: mirar la forma del crecimiento y anticipar a dónde lleva. En la hoja se llama comparar grados; afuera se llama criterio.
Para pensar (1 min)
¿Qué área de tu vida quieres que se comporte como Regla 1 —estable— en los próximos meses, y cuál quieres frenar antes de que sea Regla 3?
Lo que suele aparecer: Regla 1 para el sueño, los horarios de estudio y los gastos fijos — cosas que uno quiere predecibles. Regla 3 para las materias que se van acumulando, las notificaciones y los "sí" que se dan sin pensar.
Y hay una tercera respuesta legítima, la más honesta: algo que quieres que crezca sin techo —lo que sabes, la gente que conoces— y que por eso mismo conviene vigilar, porque también consume tiempo. El punto no es frenar todo: es saber cuál es cuál.
Ya tienes el mapa completo
m > n
Gana abajo → 0
n = m
Empate → a/b
n > m
Gana arriba → ±∞
Lo que sigue: la misma matemática, ahora dibujada
Cada uno de estos tres resultados tiene una traducción gráfica. Cuando el límite da un número, la gráfica se apoya en una recta horizontal. Cuando se dispara, no hay tal recta.
Y falta la otra mitad del tema, la que ya asomó en el Tema 2: las rectas verticales donde la función se rompe. En la Sesión 3 se juntan las dos y aprendes a describir una función racional completa.
Para la próxima sesión: calcula lím (x→∞) 4/(x + 1) y, sin graficar, di qué recta horizontal crees que la gráfica va a tocar… o a no tocar.
Las rectas que la gráfica
persigue sin alcanzar
Todo lo que calculaste en las dos sesiones anteriores ya era una asíntota: solo que escrita como límite en vez de dibujada como recta. Hoy se junta con las asíntotas verticales del Tema 2 y sale el procedimiento completo para describir una función racional de un vistazo.
Sesión 3 de 3 · 60 minutos · Prepa Tecmilenio
Un medicamento en la sangre y un precio que cae a cero
Hacia una recta horizontal
Después de una dosis, la concentración del medicamento en la sangre baja con el tiempo acercándose a 0, pero en el modelo matemático nunca llega exactamente a 0.
Por eso los médicos hablan de vida media y no de "la hora en que desaparece": el modelo no tiene esa hora. Lo que sí tiene es una recta a la que la curva se pega — y = 0.
Hacia una recta vertical
Al revés: si el precio de un producto se acerca a $0, la cantidad de compradores se dispara sin tope en el modelo.
Aquí la recta a la que la gráfica se pega es vertical: precio = 0. Y la función no está definida ahí, porque dividir entre cero no significa nada.
Pregunta. Los dos casos se describen con la palabra asíntota. ¿Qué tienen en común, si uno baja suavemente y el otro se dispara?
Lo común no es la forma de la curva sino la distancia a una recta: en los dos casos, la distancia entre la gráfica y esa recta tiende a cero sin volverse cero.
Lo que cambia es por dónde se hace esa aproximación: en el primero, alejándose por el eje x (asíntota horizontal); en el segundo, apretándose contra un valor prohibido (asíntota vertical). Una misma definición, dos maneras de alejarse.
Asíntota: la recta que la distancia persigue
La definición que sirve para las dos
Una recta es asíntota de una curva si la distancia entre la curva y la recta tiende a cero conforme la curva se aleja indefinidamente.
Dicho así, no hay dos definiciones que memorizar: hay una sola, y las dos familias del tema son dos formas de "alejarse indefinidamente".
La palabra viene del griego asymptotos: "que no coincide". Lo que no significa, y aquí está el matiz que cuesta caro, "que nunca se toca". Volveremos a eso en unas pantallas.
Las dos familias del tema
| Vertical | Horizontal | |
|---|---|---|
| Se escribe | x = a | y = b |
| La pregunta | ¿Dónde se rompe? | ¿Y muy lejos? |
| Se busca con | denominador = 0 | x → ±∞ |
| La viste en | Tema 2 | Sesiones 1 y 2 |
Dos preguntas distintas, dos herramientas distintas, y se contestan en momentos distintos del ejercicio. Confundirlas es el error central de la sesión.
Donde la función se dispara
La recta x = a es una asíntota vertical de f si al menos uno de estos enunciados es cierto:
En palabras: la función se dispara hacia arriba o hacia abajo al acercarse a x = a. Basta con que pase de un lado.
Stewart, J. (2021). Cálculo de una variable.
Dos precisiones que el apunte suele saltarse
- Los dos lados no tienen que ir en direcciones opuestas. En 1/(x − 2)² los dos van a +∞, y x = 2 es asíntota igual.
- Se escribe x = a, nunca y = a. Es una recta vertical: todos sus puntos comparten la x.
El segundo punto es el que más se pierde en los exámenes, y no por no saber: por escribir rápido.
Pregunta. ¿Por qué una función racional nunca puede evaluarse justo en su asíntota vertical?
Porque en una función racional la asíntota vertical aparece donde el denominador vale cero, y ahí la expresión no define ningún número: la división entre cero no está definida. El punto x = a sencillamente no pertenece al dominio.
Y cuidado con el eslogan "una función con asíntota vertical nunca está definida ahí": eso es cierto para las racionales de este tema, pero alguien podría inventar una función por partes que valga 1/x fuera del 0 y valga 5 en 0 — seguiría teniendo asíntota en x = 0 y estaría definida ahí. Lo que la asíntota describe es el comportamiento alrededor del punto, no el valor en el punto. Es exactamente la misma distinción del Tema 2: el límite habla de la vecindad, no del punto.
Denominador cero no siempre es asíntota
El denominador se anula en x = 1 y en x = −1. ¿Dos asíntotas verticales? No: hay que factorizar primero.
- En x = 1: queda 1/0 con numerador distinto de cero → se dispara → asíntota vertical.
- En x = −1: el factor se cancela. La función no existe ahí, pero no se dispara: se acerca tranquilamente a 1/(−1 − 1) = −0.5. Es un hueco, no una asíntota.
La regla completa: hay asíntota vertical donde el denominador se anula y el numerador no. Si se anulan los dos, factoriza y vuelve a mirar.
Dos denominadores en cero, dos comportamientos opuestos: uno se dispara, el otro solo deja un punto faltante.
Pregunta. Si la gráfica de (x+1)/(x²−1) es idéntica a la de 1/(x−1) salvo por un punto, ¿para qué sirve distinguirlas?
Porque el dominio es parte de la función. Como modelo, ese punto faltante puede ser justo el caso que importa: una fórmula de costo que no admite "cero unidades", un circuito que no admite una resistencia concreta.
Y en el examen, la consecuencia es directa: quien responde "asíntotas en x = 1 y x = −1" pierde el reactivo. El hueco es la razón de ser del Tema 5, Continuidad, que empieza la semana que viene: ahí ese punto faltante se llama discontinuidad removible, y se aprende a repararlo.
f(x) = (2x − 1)/(x + 4)
-
x + 4 = 0 ⟹ x = −4
Se iguala el denominador a cero. Ese es el único candidato a asíntota vertical.
-
2(−4) − 1 = −9 ≠ 0
El numerador no se anula ahí, así que no hay cancelación: es asíntota de verdad, no un hueco.
-
por la izquierda (x = −4.01): −9.02 / (−0.01) = +902
por la derecha (x = −3.99): −8.98 / (+0.01) = −898
Sube por un lado y baja por el otro. Basta un número de prueba a cada lado: no hace falta el límite formal para saber el sentido.
-
grados: n = 1, m = 1 → Regla 1 → 2/1
Y de paso sale la horizontal: y = 2. Es el trabajo de la Sesión 1, aplicado sin cambiarle una coma.
Las dos asíntotas a la vez: la vertical parte la gráfica en dos ramas, la horizontal las guía a las dos hacia y = 2.
Lo que ya sabías calcular, ahora dibujado
La recta y = b es una asíntota horizontal de f si:
Esto es exactamente lo que hiciste en las Sesiones 1 y 2.
No hay técnica nueva: si ya sabes comparar grados, ya sabes encontrar asíntotas horizontales. Lo único que cambia es cómo se reporta la respuesta: el límite se escribe = 2; la asíntota se escribe y = 2.
Las tres reglas, traducidas a gráfica
| Grados | Límite | Asíntota horizontal |
|---|---|---|
| m > n | 0 | y = 0 (el eje x) |
| n = m | a/b | y = a/b |
| n > m | ±∞ | no tiene |
El tercer renglón es una respuesta completa y correcta: hay funciones que simplemente no tienen asíntota horizontal, porque no se estabilizan en nada.
Pregunta. ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener una función, como máximo?
Dos: una por cada dirección, x → +∞ y x → −∞. Son dos preguntas independientes.
Para funciones racionales casi siempre coinciden y la respuesta es una sola recta. Pero ya viste una que no: √(4x² + 1)/(x + 3) tiende a 2 por la derecha y a −2 por la izquierda. Esa función tiene dos asíntotas horizontales, y = 2 y y = −2. Verticales, en cambio, puede haber muchas: una por cada valor prohibido.
f(x) = 4/(x + 1)
Grados: n = 0 arriba (una constante) y m = 1 abajo → Regla 2 → el límite es 0 por los dos lados.
Conclusión: y = 0 es asíntota horizontal. Y de paso, el denominador se anula en x = −1 con numerador 4 ≠ 0, así que x = −1 es asíntota vertical.
Fíjate en el orden de trabajo que ya se repitió tres veces: denominador a cero para las verticales, comparar grados para las horizontales. Dos minutos, función descrita.
Las dos ramas se acuestan sobre y = 0 sin tocarlo, y se pegan a x = −1 sin cruzarlo.
Una gráfica sí puede cruzar su asíntota horizontal
Casi todos los apuntes dicen "la asíntota es la recta que la curva nunca toca". Es una buena primera imagen y es falsa para las horizontales.
- Grados: n = 1 < m = 2 → asíntota horizontal y = 0.
- Pero f(0) = 0: la gráfica pasa justo por la asíntota en el origen, y de hecho la cruza.
No hay contradicción: la definición solo exige que la distancia tienda a cero cuando x se aleja. Lo que la curva haga en el tramo del medio no está regulado.
Sube, cruza el eje, baja, y luego se acuesta sobre y = 0 por los dos extremos. Todo eso con y = 0 como asíntota.
Pregunta. Entonces, ¿con las verticales también puede cruzar?
No, y la razón es de función, no de gráfica: cruzar la recta x = a exigiría que la función tuviera valores en x = a… y ahí no está definida. Además, una función asigna un solo valor a cada x, así que ninguna gráfica de función puede cortar una recta vertical más de una vez.
Resumen honesto para el cuaderno: las verticales no se cruzan nunca; las horizontales se pueden cruzar en la zona de en medio, pero no "allá lejos".
Identifica las asíntotas
Para cada función: primero el denominador a cero (verticales), después comparar grados (horizontal). Contesta las dos cosas aunque una sea "no tiene".
denominador 0 en x = 5, numerador 3 ≠ 0
A.V.: x = 5
n = 0, m = 1 → Regla 2 → 0
A.H.: y = 0
denominador 0 en x = −7; numerador: 2(−7) + 1 = −13 ≠ 0
A.V.: x = −7
n = 1, m = 1 → Regla 1 → 2/1
A.H.: y = 2
denominador 0 en x = 3; numerador 9 ≠ 0
A.V.: x = 3
n = 2 > m = 1 → Regla 3 → ±∞
A.H.: no tiene
"No tiene" es la respuesta completa. Inventar una recta aquí es peor que dejarlo en blanco.
El que vale doble
f(x) = (x² − 4)/(x² − x − 2) — encuentra sus asíntotas verticales. Ojo: hay que factorizar.
factorizando: (x − 2)(x + 2) / [(x − 2)(x + 1)]
se cancela (x − 2) → (x + 2)/(x + 1), con x ≠ 2
A.V.: solo x = −1
En x = 2 hay un hueco, no una asíntota: la función se acerca a (2 + 2)/(2 + 1) = 4/3. Y la horizontal, por grados iguales, es y = 1. Quien no factoriza responde "x = 2 y x = −1" y pierde el reactivo completo.
Tres preguntas para cerrar el tema
En parejas, tres minutos. Revela solo después de que cada pareja haya dicho su versión.
1
Da un ejemplo de tu vida donde algo se dispara al acercarse a cierto valor.
El clásico: el tiempo de espera cuando la demanda se acerca a la capacidad máxima. Una caseta que atiende 100 coches por hora funciona bien con 95; con 99 la fila explota. También: el precio de un boleto de avión conforme se acerca la fecha, o el esfuerzo para ganar el último punto de una calificación. La forma es siempre la misma — algo / (capacidad − demanda) — y la asíntota vertical es el límite del sistema.
2
¿Puede una función tener asíntota horizontal y vertical a la vez? ¿Y ninguna de las dos?
Las dos, sí: es lo normal. 4/(x + 1) y (2x − 1)/(x + 4), los dos ejemplos de hoy, tienen una de cada una.
Ninguna, también: cualquier polinomio. En f(x) = x² + 1 no hay denominador que se anule (no hay verticales) y el límite al infinito se dispara (no hay horizontal). Son preguntas independientes, y cada una puede responder "no tiene" por su cuenta.
3
Un compañero dice: "la asíntota es el valor que la función nunca alcanza". ¿Qué le corregirías?
Dos cosas. Primero, una asíntota no es un valor: es una recta. Segundo, ya viste que 4x/(x² + 1) cruza la suya.
La corrección buena es corta: "es la recta a la que la gráfica se acerca tanto como quieras conforme te alejas". Esa versión sí aguanta los tres casos del tema, incluido el que cruza.
Cómo describir una función racional en cuatro pasos
-
Factoriza numerador y denominador, y cancela lo que se repita.
Lo cancelado no desaparece: deja un hueco. Anótalo.
-
Denominador = 0 en lo que quedó → asíntotas verticales.
Se escriben x = a. Puede haber varias, o ninguna.
-
Compara grados del original → asíntota horizontal.
m > n → y = 0 · n = m → y = a/b · n > m → no tiene.
-
Un número de prueba a cada lado de cada asíntota vertical.
Decide si la rama sube o baja, que es lo que hace falta para bosquejar la gráfica.
Aplícalo completo
f(x) = (3x² − 3)/(x² + 2x − 3)
1. factoriza: 3(x − 1)(x + 1) / [(x + 3)(x − 1)]
se cancela (x − 1) → 3(x + 1)/(x + 3), con x ≠ 1
2. denominador 0: x = −3 → A.V.: x = −3
3. grados 2 y 2: 3/1 → A.H.: y = 3
4. prueba: en x = −3.1 da ≈ +63; en x = −2.9 da ≈ −57
Descripción final: sube a +∞ por la izquierda de −3, baja a −∞ por la derecha, se acuesta sobre y = 3 en los dos extremos, y tiene un hueco en x = 1 (donde valdría 3(2)/4 = 1.5). Cuatro pasos, función descrita.
Buscar cada asíntota con la herramienta de la otra
Lo que se hace
- Calcular lím (x→∞) para buscar la vertical.
- Igualar el denominador a cero para buscar la horizontal.
Las dos salen mal, y lo peor es que producen un número que parece respuesta.
La regla mental, en dos preguntas
Vertical = "¿dónde se rompe la función?" → denominador = 0.
Horizontal = "¿qué pasa muy, muy lejos?" → x → ±∞.
Y el error gemelo, el de la escritura
Escribir la vertical como y = −4 en vez de x = −4. Se sabe la matemática y se pierde el punto igual.
Ayuda para no fallarlo: una recta vertical tiene todos sus puntos con la misma x, así que su ecuación empieza con x =. Una recta horizontal comparte la y, y empieza con y =. Dilo en voz alta una vez y ya no se olvida.
Cantar asíntota sin revisar el numerador
Lo que se escribe
El denominador sí se anula en los dos. Pero en uno de ellos el numerador también, y eso cambia todo.
El paso que faltó
Factorizar antes de concluir. Si el mismo factor está arriba y abajo, se cancela y lo que queda es un hueco, no una asíntota.
La versión completa de la regla: denominador cero y numerador distinto de cero.
Practícalo. ¿Dónde tiene asíntota vertical f(x) = (x − 3)/(x² − 9)?
factoriza: (x − 3) / [(x − 3)(x + 3)] = 1/(x + 3), con x ≠ 3
A.V.: solo x = −3
En x = 3 hay un hueco a la altura 1/6. Responder "x = 3 y x = −3" es el error que esta pantalla existe para evitar — y aparece en el examen casi siempre con esta misma forma, diferencia de cuadrados arriba y abajo.
Siete renglones que cubren el Tema 4 completo
Acercarse sin llegar también es una meta válida
Una asíntota horizontal no es una función fallando por no llegar a un valor: es un sistema estabilizándose.
Muchas metas funcionan así. Tu mejor versión no es un punto fijo que alcanzas y ya — es una dirección a la que te acercas constantemente, y en la que cada tramo cuesta un poco más que el anterior. Eso no es un defecto del plan: es la forma que tienen las cosas que valen la pena.
Y la asíntota vertical recuerda lo otro: hay límites reales —de tiempo, de dinero, de energía, de capacidad— y acercarse demasiado a ellos no produce un poco más de rendimiento, produce que todo se dispare: el estrés, la deuda, el agotamiento. Un sistema al 99 % de su capacidad no está optimizado; está a punto de romperse.
Para pensar (1 min)
¿Qué "asíntota vertical" personal reconoces — un límite que, si te acercas demasiado, hace que todo se dispare?
Las que se repiten cada semestre: las horas de sueño (dormir 4 h no cuesta el doble que dormir 8, cuesta mucho más), la agenda sin huecos, y estudiar la noche anterior — donde el tiempo disponible se acerca a cero y el estrés se dispara.
Lo útil no es la lista, es la estrategia que sugiere: los sistemas que aguantan dejan margen a propósito. Un hospital no planea al 100 % de sus camas, ni un servidor al 100 % de su memoria. Operar con holgura no es desperdiciar capacidad — es lo único que evita la asíntota.
Antes de seguir al Tema 5
Asegúrate de poder
- Comprender los conceptos de límites infinitos y límites al infinito, y decir en qué se diferencian.
- Decidir, según los grados de f(x) y g(x), cuál de las tres reglas aplica.
- Aplicar las reglas de los límites para obtener las asíntotas verticales y horizontales de una función racional.
Si alguna no la puedes marcar con confianza, el selector de arriba te lleva directo a la pantalla que la cubre.
Formulario del tema
Regla 1 — grados iguales: lím = a/b (coeficientes principales).
Regla 2 — gana el denominador: lím = 0.
Regla 3 — gana el numerador: lím = ±∞ (el signo, por paridad y coeficiente).
Pieza básica — c/xⁿ → 0.
A. vertical — denominador = 0 y numerador ≠ 0 → x = a.
A. horizontal — el límite al infinito → y = b. Máximo dos; puede no haber.
Las tres trampas que más cuestan: desarrollar los paréntesis antes de leer el grado · factorizar antes de cantar una asíntota vertical · escribir x = a y no y = a.
De dónde sale lo que viste hoy
- Rojas, C. (2022). Cálculo diferencial e integral, Módulo I. Red educativa digital Descartes.
- Stewart, J. (2021). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (9ª ed.). México: Cengage.
- Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas (4ª ed.). México: McGraw Hill.
Las definiciones de asíntota vertical y horizontal siguen la formulación de Stewart; los ejemplos de contexto (la bodega, el medicamento, el efecto túnel) son del material del curso.
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Siguiente parada:
Continuidad de una función
Hoy apareció dos veces un punto donde la función no existe pero no se dispara: el hueco. En el Tema 5 ese hueco tiene nombre —discontinuidad removible— y, a diferencia de una asíntota, se puede reparar.