Distancia de un punto a una recta
Matemáticas III · Módulo 1 · Tema 4: Otros conceptos de la línea recta · Sesión 1 de 3
Al terminar la sesión podrás
- explicar por qué la distancia más corta de un punto a una recta se mide en perpendicular;
- calcularla con una fórmula y decir si el punto queda arriba o abajo de la recta;
- medir la distancia entre dos rectas paralelas.
Cómo vamos a trabajar
- Apuesta antes de revelar. En cada ronda primero votas (con los dedos 1 a 4 o con tarjetas A–D) y después lo comprobamos.
- Cualquiera puede ser llamado. El turno se elige al azar y cada respuesta suma puntos a tu equipo.
- Los puntos de control (cuadritos dorados de la barra de abajo) se desbloquean al resolverlos o al revisar su solución.
El cable más barato
Tu familia heredó un terreno junto a una carretera recta. Puedes conectar la luz en cualquier punto de la carretera, pero cada metro de cable cuesta $180.
Ronda de votación: ¿dónde conectarías el cable para gastar lo menos posible?
Vota con los dedos, di tu razón en una frase y, después, revela.
Laboratorio: mueve el poste
Desliza el control para mover el punto de conexión Q sobre la carretera. El terreno es el punto P.
La distancia más corta es la perpendicular
Distancia de un punto a una recta: longitud del segmento que va del punto a la recta y forma un ángulo de 90° con ella.
Debate en parejas (2 min). Dibuja un cable inclinado y el cable perpendicular hasta la carretera. Se forma un triángulo rectángulo: ¿quién es la hipotenusa? ¿Qué te dice eso sobre cuál cable es más corto?
La hipotenusa siempre es el lado más largo de un triángulo rectángulo. El cable inclinado es la hipotenusa y el perpendicular es un cateto, así que el perpendicular siempre es más corto que cualquier cable inclinado. Por eso basta buscar una sola distancia: la perpendicular.
Problema: mover un control hasta encontrar el mínimo no sirve para calcular. Necesitamos una fórmula que dé la distancia directamente.
La fórmula de la distancia
- P(x₁, y₁) es el punto.
- A, B, C son los coeficientes de la recta en forma general Ax + By + C = 0.
- La recta debe estar igualada a 0 antes de sustituir. Si viene como y = 2x + 3, primero pásala a 2x − y + 3 = 0.
Dos pruebas de sentido común. Si P está sobre la recta, Ax₁ + By₁ + C = 0 y entonces d = 0. Y el valor absoluto existe porque una distancia nunca es negativa.
Ronda de votación: en 2x − 4y + 12 = 0, ¿cuánto valen A, B y C?
Cada coeficiente conserva el signo con el que aparece en la ecuación: el de y es −4.
¿De dónde sale A² + B²
La fórmula no cae del cielo. En Ax + By + C = 0, la pareja de coeficientes (A, B) marca la dirección perpendicular a la recta: si te paras sobre ella y avanzas A a la derecha y B hacia arriba, sales en ángulo recto.
- El numerador |Ax₁ + By₁ + C| sí mide cuánto te separas de la recta, pero contado en “pasos (A, B)”, no en unidades del plano.
- Un paso (A, B) mide
A² + B² - Dividir entre esa longitud es cambiar de unidades: de pasos a unidades del plano.
Por eso duplicar la ecuación no cambia el resultado. En 6x + 8y − 24 = 0 el numerador se duplica, pero el paso también mide el doble: arriba y abajo se cancelan. Es la misma recta y la misma distancia.
De regalo: esta fórmula sí funciona con rectas verticales. Para x = 4, o sea 1x + 0y − 4 = 0, queda d = |x₁ − 4| / 1, que es exactamente la distancia horizontal. y = mx + b ni siquiera puede escribirlas.
Laboratorio: arrastra el punto P
La recta es 3x + 4y − 12 = 0, así que A = 3, B = 4, C = −12 y √(A² + B²) = 5. Toca o arrastra en la gráfica para mover P.
Retos (30 s cada uno)
- Coloca P para que d = 2. Hay muchas soluciones.
- Encuentra tres puntos con d = 0. ¿Qué forman?
- Compara el signo de 3x₁ + 4y₁ − 12 cuando P está arriba y cuando está abajo.
1) Por ejemplo P(2, 4): 3(2) + 4(4) − 12 = 10 y 10 ÷ 5 = 2. También sirve (2, −1).
2) (4, 0), (0, 3) y (−4, 6) dan 0: están sobre la propia recta.
3) Arriba el valor es positivo y abajo negativo, porque aquí B = 4 > 0.
¿Arriba o abajo de la recta?
Regla (con B > 0). Sustituye el punto en Ax + By + C:
- resultado positivo: el punto está arriba de la recta;
- resultado negativo: está abajo;
- resultado cero: está sobre la recta.
Si B < 0, multiplica toda la ecuación por (−1) antes de sustituir.
¿Por qué funciona? Con B > 0, Ax + By + C > 0 equivale a y > −(Ax + C)/B: la y del punto es mayor que la altura de la recta en esa x.
Ejemplo 1
Determina si el punto A(−3, 4) está arriba o abajo de la recta 2x − 4y + 12 = 0.
- ¿B es positivo o negativo? ¿Qué debes hacer antes de sustituir?
- Sustituye x = −3, y = 4.
- Mira el signo del resultado y concluye.
Como B = −4 < 0, multiplico por (−1): −2x + 4y − 12 = 0.
Sustituyo A(−3, 4): −2(−3) + 4(4) − 12 = 6 + 16 − 12 = 10.
Como 10 > 0, el punto A está arriba de la recta.
Comprobación: la recta es y = x/2 + 3; en x = −3 vale 1.5 y el punto tiene y = 4, más alto.
Los dos lados de la recta, en imagen
Una recta parte el plano en dos mitades. La expresión Ax + By + C es positiva en toda una mitad, negativa en toda la otra, y vale 0 justo en la frontera: la recta misma.
Con B > 0, la mitad positiva es la de arriba. Lo que decide el letrero no es el punto, es el signo de B: si multiplicas toda la ecuación por (−1), los dos letreros se intercambian… y la recta sigue siendo exactamente la misma.
Por eso la regla pide normalizar antes de sustituir: “arriba” y “abajo” son etiquetas que dependen de cómo escribiste la ecuación. La distancia, en cambio, lleva valor absoluto y no depende de nada de eso.
En 30 segundos. Dos puntos dan +8 y −8 al sustituirlos en la misma recta. ¿Están a la misma distancia? ¿Están del mismo lado?
A la misma distancia —el valor absoluto los iguala— pero en lados opuestos. El signo guarda justo la información que el valor absoluto tira a la basura.
Punto de control 1
Responde para desbloquear el siguiente tema (o revisa la solución).
¿El punto (1, 6) está arriba o abajo de la recta 3x − y + 2 = 0?
Aquí B = −1 < 0, así que multiplico por (−1): −3x + y − 2 = 0.
Sustituyo (1, 6): −3(1) + 6 − 2 = 1 > 0: arriba.
Comprobación: la recta es y = 3x + 2; en x = 1 vale 5 y el punto tiene y = 6.
Ejemplo 2: ¿qué tan lejos está el río?
Se quiere construir un camino desde una casa hasta un río. La casa está en H(400, 250) y el río sigue la recta R₁: 2x + 3y − 270 = 0 (coordenadas en metros; E hacia la derecha, N hacia arriba). ¿Cuál es la distancia más corta de la casa al río?
- Identifica x₁, y₁ y A, B, C.
- Sustituye en la fórmula.
- Calcula y redondea a centésimas.
x₁ = 400, y₁ = 250, A = 2, B = 3, C = −270
La distancia más corta de la casa al río es 355.01 m.
Como 1280 es positivo y B = 3 > 0, la casa queda arriba de la recta del río.
Ronda relámpago
Calcula mentalmente (¡hay números amables!), vota con los dedos y luego revela. Un turno al azar por pregunta.
a) (2, 1) a 3x + 4y − 15 = 0
b) (−1, 3) a 5x + 12y − 5 = 0
c) (4, 0) a 3x + 4y − 12 = 0
a) d = |6 + 4 − 15| / √25 = 5/5 = 1.
b) d = |−5 + 36 − 5| / √169 = 26/13 = 2.
c) d = |12 + 0 − 12| / √25 = 0: el punto pertenece a la recta.
Activar el diálogo
En parejas o tríos: piensen, discutan y prepárense para defender su respuesta ante el grupo.
1. La recta 3x + 4y − 12 = 0 es la misma que 6x + 8y − 24 = 0. Calcula la distancia de (0, 0) a cada una. ¿Cambia? ¿Por qué?
Con la primera: 12/5 = 2.4. Con la segunda: 24/10 = 2.4. No cambia: al duplicar A, B y C, el numerador y el denominador se duplican y se cancelan. La recta es la misma, así que la distancia también.
2. El número Ax₁ + By₁ + C, antes del valor absoluto, puede ser positivo o negativo. ¿Qué información te da el signo que la distancia sola no te da?
Te dice de qué lado de la recta está el punto (arriba o abajo, cuando B > 0). Dos puntos pueden estar a la misma distancia de la recta pero en lados opuestos.
3. Si la “carretera” fuera una curva (por ejemplo, una circunferencia), ¿la distancia más corta seguiría siendo perpendicular? ¿A qué?
Sí: seguiría siendo perpendicular, pero a la tangente de la curva en el punto más cercano. Para una recta, la tangente es la propia recta.
Ejemplo 3: distancia entre rectas paralelas
Calcula la distancia entre dos rectas paralelas L₁ y L₂, si L₁ pasa por el punto P(−7, 12) y L₂ tiene la ecuación y =
Idea: todos los puntos de L₁ están a la misma distancia de L₂. Elige un punto (aquí ya te dan P) y usa la fórmula de punto a recta. Antes, pasa L₂ a forma general.
Forma general de L₂: y = x/2 + 13/2 → 2y = x + 13 → x − 2y + 13 = 0, con A = 1, B = −2, C = 13.
Punto: x₁ = −7, y₁ = 12.
La distancia entre las rectas paralelas es 8.05 u.
Atajo: si ambas rectas están en forma general con los mismos A y B, d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²). Aquí L₁: x − 2y + 31 = 0, y |31 − 13| / √5 = 18/√5, el mismo resultado.
Punto de control 2
¿Qué distancia hay entre las rectas paralelas 3x + 4y − 5 = 0 y 3x + 4y + 10 = 0?
El punto (−1, 2) está en la primera recta: 3(−1) + 4(2) − 5 = 0.
Distancia a la segunda: d = |3(−1) + 4(2) + 10| / √(3² + 4²) = 15/5 = 3 u.
Atajo: como las dos tienen los mismos A y B, d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²) = |−5 − 10| / 5 = 3, sin buscar punto.
Retroalimentar: encuentra el error
Dos compañeros resolvieron mal. No te damos la respuesta: descubre qué pasó y corrígelo.
Caso Fer
Fer calculó la distancia de (3, 1) a la recta y = 2x + 5. Tomó A = 2, B = 1, C = 5 y obtuvo d = 12/√5 ≈ 5.37.
- Pasa y = 2x + 5 a la forma Ax + By + C = 0. ¿Cuánto vale B, con su signo?
- Compara con lo que usó Fer. ¿Dónde se coló el error?
y = 2x + 5 → 2x − y + 5 = 0: A = 2, B = −1, C = 5. Fer usó B = 1: al pasar la y al otro lado, cambia de signo.
d = |2(3) − 1(1) + 5| / √5 = 10/√5 = 2√5 ≈ 4.47.
Caso Vale
Vale calculó la distancia de (−2, 3) a 3x + 4y − 12 = 0 así: d = |3(−2) + 4(3) − 12| / (3 + 4) = 6/7 ≈ 0.86.
- Ve al laboratorio de la fórmula y coloca P en (−2, 3). ¿Qué distancia marca?
- Compara el denominador de Vale con el de la fórmula. ¿Qué se hace con A y B?
El denominador es √(A² + B²) = √(9 + 16) = 5, no A + B.
d = |−6| / 5 = 1.2. Y una respuesta como −1.2 tampoco sirve: por eso existe el valor absoluto.
Boleto de salida (punto de control 3)
¿A qué distancia está el punto A(−3, 4) de la recta 2x − 4y + 12 = 0? (Sí, la del Ejemplo 1.)
En el Ejemplo 1 averiguaste que A está arriba de la recta; ahora sabes también a qué distancia: 2.24 u.
Anclar el propósito
¿Dónde vive esta idea?
- Ingeniería civil y topografía: llevar agua, drenaje o cable a una red recta por la ruta más corta.
- Robótica y vehículos autónomos: un robot mide su distancia a una pared o a una línea de carril para no chocar ni salirse.
- Logística y geografía: la distancia mínima de una casa, un hospital o una tienda a una vía.
Lo que te llevas
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
Con B > 0: valor positivo arriba, negativo abajo. Entre paralelas: elige un punto de una y aplica la fórmula.
Funciona con cualquier recta, verticales incluidas, porque parte de la forma general.
Sesión 2: ¿cómo medimos el ángulo con el que se cruzan dos rectas?
Tu propósito de vida
Encontrar el camino “más corto” exige saber qué estás midiendo. Hoy medimos metros y pesos. En tu vida, cuando eliges un camino (una carrera, un proyecto, una amistad), ¿qué estás tratando de minimizar y qué costo no estás dispuesto a pagar?
Escribe dos líneas: una decisión que tienes por delante y lo que de verdad quieres cuidar al tomarla.
Ángulo entre dos rectas
Matemáticas III · Módulo 1 · Tema 4: Otros conceptos de la línea recta · Sesión 2 de 3
Al terminar la sesión podrás
- relacionar las pendientes de dos rectas con el ángulo que forman;
- calcular ese ángulo con la fórmula, cuidando cuál recta es la inicial y cuál la final;
- hallar los ángulos internos de un triángulo a partir de las coordenadas de sus vértices.
Repaso relámpago: la distancia más corta de un punto a una recta se mide…
Cruce de vías
Dos vías de tren se cruzan en un cambio de agujas. El ángulo del cruce decide qué tan brusco es el cambio de una vía a otra: con un ángulo pequeño el tren casi sigue derecho; con uno grande, el giro es fuerte.
Si conoces las ecuaciones de las dos vías, ¿puedes calcular ese ángulo sin medirlo con un transportador?
Ronda de votación: una vía tiene pendiente 1 y la otra es horizontal (pendiente 0). ¿Qué ángulo forman?
Laboratorio: dos rectas, un ángulo
L₁ (verde) y L₂ (naranja) se cruzan. Cambia sus pendientes y observa el ángulo θ entre ellas.
Misión: (1) ¿Qué ángulo obtienes si m₁ = m₂? (2) Busca pares de pendientes que den 90°: ¿qué notas en su producto m₁·m₂?
(1) 0°: las rectas son paralelas. (2) Siempre que m₁·m₂ = −1 el ángulo es 90°: por ejemplo 2 y −½, o 1 y −1. Eso hace que el denominador 1 + m₂m₁ valga 0.
El ángulo entre rectas es una resta
Cada recta tiene un ángulo de inclinación con la horizontal, y su pendiente es la tangente de ese ángulo: m₁ = tan θ₁ y m₂ = tan θ₂.
El ángulo entre las rectas es la diferencia: θ = θ₂ − θ₁.
Como tan(θ₂ − θ₁) =
Es la misma identidad de la tangente de una resta que viste en trigonometría; hoy la usamos con pendientes.
La fórmula del ángulo entre dos rectas
- m₁: pendiente de L₁, el lado inicial. m₂: pendiente de L₂, el lado final.
- El ángulo se traza girando de L₁ a L₂ en sentido contrario a las manecillas del reloj. Dibuja siempre el arco primero.
- Obtén la pendiente así: si y = mx + b, m es el número que multiplica a x. Si viene como Ax + By + C = 0, despeja y (resulta m = −A/B).
Casos especiales. Paralelas: m₁ = m₂, entonces θ = 0°. Perpendiculares: 1 + m₂m₁ = 0 (el denominador vale 0) y θ = 90°.
Ronda de votación: ¿cuál es la pendiente de 7x − 7y − 11 = 0?
Cuidado: dos rectas forman dos ángulos
Cuando dos rectas se cruzan no aparece un ángulo: aparecen cuatro. Dos miden θ y dos miden 180° − θ, y cualquier pareja vecina suma 180°.
tan⁻¹ siempre devuelve un valor entre −90° y 90°, así que la fórmula te entrega uno de los dos, nunca los dos.
Si te sale negativo, súmale 180°. Ese es el ángulo que de verdad se mide girando de L₁ a L₂ en sentido antihorario. El resultado negativo no es un error de cuentas: es el aviso de que el giro antihorario es el largo, no el corto.
Con las vías: de V₁ a V₂ la fórmula da 26.57°; de V₂ a V₁ da −26.57°, que quiere decir −26.57 + 180 = 153.43°. Las dos respuestas describen el mismo cruce, y 26.57 + 153.43 = 180.
Si el problema dice “de L₁ a L₂”, manda el orden. Si solo pide “el ángulo entre las rectas”, se reporta el agudo.
Ejemplo 1: las vías de tren
Dos vías de tren se intersecan. Calcula el ángulo que forman en el punto de intersección si la vía V₁ tiene la ecuación y =
- Obtén m₁ (ya está despejada) y m₂ (despeja y).
- Sustituye en la fórmula.
- Calcula tan⁻¹ con la calculadora en modo grados.
V₁: m₁ = 1/3. Para V₂: 7y = 7x − 11 → y = x − 11/7, así que m₂ = 1.
Las dos vías forman un ángulo de 26.57°.
Punto de control 1
¿Qué ángulo forman L₁: y =
Comprobación con inclinaciones: tan⁻¹(3) ≈ 71.57° y tan⁻¹(½) ≈ 26.57°; su resta es 45°.
Ronda relámpago
Sin calculadora: piensa en los casos especiales. Vota con los dedos y luego revela. Un turno al azar por pregunta.
a) L₁: y = 3x + 5 y L₂: y = 3x − 7
b) m₁ = 1 y m₂ = −1
c) L₁ horizontal (m₁ = 0) y m₂ = 1
a) m₂ − m₁ = 3 − 3 = 0 → θ = tan⁻¹(0) = 0°.
b) 1 + (−1)(1) = 0: el cociente no existe y el ángulo es 90°.
c) (1 − 0)/(1 + 0) = 1 → θ = 45°.
Ejemplo 2: los ángulos de un triángulo
Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo con vértices A(−2, 1), B(4, 3) y C(1, −4).
- Traza el arco de cada ángulo en sentido antihorario para fijar el lado inicial y el final (ya están en la figura).
- Calcula las pendientes de AB, BC y CA.
- En cada vértice: m₁ es la pendiente del lado inicial y m₂ la del lado final.
mAB =
mBC =
mAC =
Según los arcos de la figura: en A el lado inicial es AC y el final AB; en B, inicial AB y final BC; en C, inicial BC y final AC.
Ejemplo 2 (continuación): los tres ángulos
Antes de calcular, apuesta: ¿cuál de los tres ángulos parece el mayor?
Calcula cada ángulo y luego revisa. Cuando termines los tres, comprueba que suman 180°.
77.4712° + 48.3665° + 54.1623° = 180°. Los ángulos internos del triángulo ABC miden 77.4712°, 48.3665° y 54.1623°.
Activar el diálogo
En parejas o tríos: piensen, discutan y prepárense para defender su respuesta ante el grupo.
1. Intercambia el orden en las vías del tren (toma V₂ como L₁). ¿Qué obtienes? ¿Por qué importa cuál recta es la inicial?
Obtienes tan⁻¹((1/3 − 1)/(1 + 1/3)) = tan⁻¹(−1/2) ≈ −26.57°: el mismo tamaño con signo contrario. Girando en antihorario de V₂ a V₁ el ángulo es −26.57 + 180 = 153.43°, el suplemento del anterior. Importa el orden porque cada sentido recorre uno de los dos ángulos del cruce.
2. ¿Qué le pasa a la fórmula si las rectas son perpendiculares? ¿Y si una de ellas es vertical?
Perpendiculares: el denominador 1 + m₂m₁ vale 0, la tangente no existe y el ángulo es 90°. Vertical: no tiene pendiente, así que no puedes usar m. Se resuelve con otro razonamiento: una vertical forma 90° con la horizontal, y el ángulo con otra recta se obtiene restando su inclinación.
3. ¿Cómo comprobarías, solo con pendientes y sin dibujar, que un triángulo es rectángulo?
Calcula las pendientes de los tres lados. Si el producto de las pendientes de dos lados vale −1, esos lados son perpendiculares y el triángulo tiene un ángulo de 90°.
Punto de control 2
Responde para desbloquear el cierre de la sesión (o revisa la solución).
Sin calcular tan⁻¹: ¿qué puedes concluir de y = 3x + 2 y y = −
m₁ = 3, m₂ = −1/3. Entonces 1 + m₂m₁ = 1 + (−1/3)(3) = 0: el denominador se anula y θ = 90°.
Regla útil: dos rectas son perpendiculares cuando m₁·m₂ = −1.
Retroalimentar: encuentra el error
Dos compañeros resolvieron mal. No te damos la respuesta: descubre qué pasó y corrígelo.
Caso Dani
Dani calculó el ángulo entre V₁: y = ⅓x + 7/3 y V₂: 7x − 7y − 11 = 0. Tomó m₂ = 7 y obtuvo θ = tan⁻¹((7 − ⅓)/(1 + 7·⅓)) = tan⁻¹(2) ≈ 63.43°.
- Despeja y en 7x − 7y − 11 = 0. ¿Qué número multiplica a x?
- ¿El coeficiente A siempre es la pendiente?
7y = 7x − 11 → y = x − 11/7, así que m₂ = 1, no 7. En general m = −A/B, y solo coincide con A cuando B = −1.
Con m₂ = 1: θ = 26.57°.
Caso Regina
Regina usó m₁ = ⅓ y m₂ = 1, pero restó al revés: θ = tan⁻¹((m₁ − m₂)/(1 + m₂m₁)) = tan⁻¹(−½) ≈ −26.57°. Le salió un ángulo negativo.
- En la fórmula, ¿qué pendiente va primero en el numerador: la del lado inicial o la del final?
- ¿Qué cambia si intercambias el orden de las rectas?
El numerador es m₂ − m₁: m₂ (lado final) menos m₁ (lado inicial). Regina restó al revés y por eso cambió el signo.
El tamaño es el mismo, 26.57°. Y si de verdad querías el ángulo de V₂ a V₁, el signo negativo se arregla sumando 180°: −26.57 + 180 = 153.43°, el otro ángulo del cruce. Dibuja el arco antihorario y respeta “inicial → final”.
Boleto de salida (punto de control 3)
¿Qué ángulo forman, de L₁ a L₂, las rectas L₁: 2x − y + 1 = 0 y L₂: x + y − 4 = 0?
L₁: y = 2x + 1 → m₁ = 2. L₂: y = −x + 4 → m₂ = −1.
Anclar el propósito
¿Dónde vive esta idea?
- Ingeniería ferroviaria y civil: cambios de vía, cruces y curvas de carreteras.
- Diseño industrial y arquitectura: ángulos entre piezas, rampas y techos.
- Robótica y videojuegos: cuánto debe girar un robot o un personaje para cambiar de trayectoria, o con qué ángulo rebota una pelota.
Lo que te llevas
θ = tan⁻¹( (m₂ − m₁) / (1 + m₂m₁) )
Pendiente: m = −A/B. Paralelas: θ = 0°. Perpendiculares: m₁m₂ = −1. Si el resultado sale negativo, súmale 180°. Los ángulos internos de un triángulo suman 180°: úsalo para comprobar.
Sesión 3: familias de rectas y un reto que junta todo el tema.
Tu propósito de vida
Cuando dos caminos se cruzan, importa no solo dónde se cruzan sino con qué ángulo: si es pequeño, casi no hay que cambiar de rumbo; si es cercano a 90°, el giro es grande.
Piensa en dos cosas que quieres lograr (por ejemplo, tu carrera y tu vida personal). ¿Van casi en la misma dirección o casi perpendiculares? ¿Qué giro te costaría pasar de una a otra y qué te ayudaría a hacerlo?
Familias de rectas
Matemáticas III · Módulo 1 · Tema 4: Otros conceptos de la línea recta · Sesión 3 de 3
Al terminar la sesión podrás
- reconocer una familia de rectas y decir qué comparten y qué cambia en ella;
- escribir la ecuación de una familia y usarla para modelar una situación;
- combinar distancia, ángulo y familias en un mismo problema.
Repaso relámpago: dos rectas son perpendiculares cuando…
¿Cuánto cuesta el viaje?
Supón que una app de transporte cobra $9 por kilómetro en todas las ciudades, pero cada ciudad cobra una tarifa base (el banderazo) distinta. Sea x los kilómetros y y el costo en pesos.
Ronda de votación: si graficas costo contra kilómetros de cada ciudad, ¿cómo se ven las gráficas?
Tarifas de ejemplo
| Ciudad | Tarifa base | Por km |
|---|---|---|
| A | $25 | $9 |
| B | $35 | $9 |
| C | $45 | $9 |
Piensa en el costo de un viaje de 0 km y de 10 km en cada ciudad.
Laboratorio: mueve un parámetro
Cada vez que mueves el control, la recta deja su rastro. Con el rastro vas dibujando toda una familia.
Misión: en cada modo, mueve el control despacio y describe con tus palabras qué se queda fijo y qué cambia.
Modo 1: la pendiente (−2) no cambia y la ordenada al origen b sí: las rectas se desplazan sin girar y quedan paralelas.
Modo 2: la ordenada al origen (4) no cambia y la pendiente m sí: todas pasan por (0, 4) y giran como un abanico.
Dos familias de rectas
Una familia de rectas es un conjunto de rectas que comparten un parámetro: la pendiente o la ordenada al origen.
Misma pendiente
y = −2x − 8, y = −2x − 4, y = −2x, y = −2x + 4
Ecuación de la familia: y = −2x + b. La pendiente es fija; la ordenada al origen b cambia. Son rectas paralelas.
Misma ordenada al origen
y = −x + 4, y = −4x + 4, y = 4x + 4, y = x + 4
Ecuación de la familia: y = mx + 4. La ordenada es fija; la pendiente m cambia. Todas pasan por (0, 4).
Una familia más: todas las rectas por un punto cualquiera
El abanico y = mx + 4 gira alrededor de (0, 4), que está sobre el eje y. ¿Y si el clavo del abanico estuviera en otro lado, digamos en (3, −1)?
Se resuelve con la forma punto-pendiente del Tema 3, dejando m libre:
El punto fijo (x₁, y₁) es lo que comparten todas; la pendiente m es lo que corre.
Las dos familias de la pantalla anterior son casos particulares de la misma idea: algo se queda quieto y un parámetro corre. En las paralelas se queda quieta la dirección; en el abanico, un punto.
La que se escapa. Por (3, −1) también pasa la vertical x = 3, pero una vertical no tiene pendiente, así que ningún valor de m la produce. La familia dibuja el abanico completo menos esa recta.
Ronda: ¿a qué familia pertenecen?
Vota con los dedos (1 = misma pendiente, 2 = misma ordenada, 3 = ninguna) y luego revela. Un turno al azar por pregunta.
a) y = 3x + 1, y = 3x − 5, y = 3x
b) y = x − 2, y = −3x − 2, y = 5x − 2
c) 2x + y − 4 = 0 y 4x + 2y − 1 = 0
d) y = 2x + 1 y y = −x + 3
a) Misma pendiente (3). b) Misma ordenada (−2). c) Misma pendiente: y = −2x + 4 y y = −2x + ½. d) Ninguna de las dos.
En forma general, dos rectas son paralelas cuando A/B es igual en ambas (aquí 2/1 y 4/2).
Punto de control 1
Responde para desbloquear el siguiente tema (o revisa la solución).
¿Cuál es la ecuación de la familia de todas las rectas que pasan por el punto (0, −3)?
Cualquier recta que pase por (0, −3) corta al eje y en −3, así que b = −3. La pendiente m puede tomar cualquier valor. La familia es y = mx − 3.
Modelar: familias en las tarifas
Una app cobra $9 por km más una tarifa base que cambia según la ciudad. Sea x los km y y el costo en pesos.
- Escribe la ecuación de la familia.
- En una ciudad la tarifa base es $35. ¿Cuánto cuesta un viaje de 12 km?
- ¿Qué relación tienen las gráficas de dos ciudades distintas?
- Otra app cobra siempre $30 de base, pero su precio por km cambia según la hora. Escribe su familia y di qué punto comparten todas sus rectas.
Respuesta del inciso (b):
a) y = 9x + b, donde b es la tarifa base de cada ciudad.
b) y = 9x + 35; con x = 12: y = 108 + 35 = $143.
c) Son rectas paralelas: misma pendiente (9) y distinta ordenada al origen.
d) y = mx + 30. Todas comparten el punto (0, 30): con 0 km, siempre pagas la base de $30.
Las tres suben igual —$9 por km— y solo arrancan a distinta altura. La distancia vertical entre dos de ellas es la diferencia de banderazos, y no cambia por más kilómetros que hagas.
Reto integrador: junta todo el tema
Considera la familia de rectas y = 2x + b. Usa la distancia de la sesión 1 y el ángulo de la sesión 2.
a) ¿Para qué valores de b la recta queda a distancia √5 del origen? Escribe el valor positivo.
b) ¿Qué ángulo forma cada recta de la familia con el eje x?
a) En forma general: 2x − y + b = 0, con A = 2, B = −1, C = b. Distancia desde (0, 0): d = |b| / √(2² + (−1)²) = |b|/√5. Si d = √5, entonces |b| = 5: b = 5 o b = −5. Son dos rectas, una a cada lado del origen.
b) El eje x tiene m₁ = 0 y la familia tiene m₂ = 2: θ = tan⁻¹((2 − 0)/(1 + 2·0)) = tan⁻¹(2) ≈ 63.43°. Es el mismo ángulo para toda la familia: como todas tienen pendiente 2, todas son paralelas y forman el mismo ángulo con cualquier otra recta.
Las dos soluciones son simétricas respecto del origen: una pasa por arriba y la otra por abajo, a la misma distancia. Es el signo de la sesión 1 otra vez, ahora decidiendo de qué lado queda cada recta.
Activar el diálogo
En parejas o tríos: piensen, discutan y prepárense para defender su respuesta ante el grupo.
1. Las rectas de y = mx + 4 se abren como abanico y las de y = −2x + b se desplazan como escalones. ¿Qué “sujeta” a cada familia?
En el abanico, el punto (0, 4) sujeta a todas las rectas: pueden girar alrededor de él pero no salirse. En los escalones, lo que sujeta es la dirección (la pendiente): solo pueden desplazarse sin girar.
2. Dos rectas de y = −2x + b están a distancia d. Si tomas otro punto de una de ellas, ¿cambia d? ¿Qué propiedad de las paralelas lo explica?
No cambia: dos paralelas están siempre a la misma distancia, se elija el punto que se elija. Por eso en la sesión 1 bastaba un solo punto para medir la distancia entre paralelas.
3. Da un ejemplo de la vida real de “misma tasa, distinta base” y otro de “misma base, distinta tasa”.
Misma tasa, distinta base: taxis con el mismo precio por km y distinto banderazo. Misma base, distinta tasa: dos planes de datos con el mismo cargo fijo pero distinto costo por GB extra. Tú puedes proponer otros.
Retroalimentar: encuentra el error
Dos compañeros resolvieron mal. No te damos la respuesta: descubre qué pasó y corrígelo.
Caso Sofi
Sofi dice que 2x + y − 4 = 0 y 4x + 2y − 1 = 0 no son paralelas “porque los coeficientes son distintos”.
- Despeja y en cada una. ¿Qué pendientes salen?
- Para saber si son paralelas, ¿qué conviene comparar: los coeficientes o las pendientes?
y = −2x + 4 y y = −2x + ½: ambas tienen m = −2 y distinta ordenada. Son paralelas, de la familia y = −2x + b.
Los coeficientes de la segunda son el doble de los de la primera en A y B, pero no en C: por eso la ecuación cambia y la pendiente no.
Caso Mau
Mau dice que todas las rectas de y = mx + 4 son paralelas “porque todas tienen el mismo 4”.
- Dibuja y = x + 4 y y = −x + 4. ¿Se cruzan? ¿Dónde?
- ¿Qué debe ser igual para que dos rectas sean paralelas?
Se cruzan en (0, 4): todas pasan por ese punto. El 4 fijo es la ordenada al origen; para ser paralelas se necesita la misma pendiente.
Esta familia es un abanico, no un conjunto de paralelas.
Boleto de salida (punto de control 2)
¿Cuál es la ecuación de la familia de rectas paralelas a 3x − 2y + 5 = 0?
3x − 2y + 5 = 0 → −2y = −3x − 5 → y =
Pendiente 3/2. Las rectas paralelas conservan la pendiente y cambian la ordenada: y = (3/2)x + b.
Anclar el propósito
Cierre del tema
La línea recta aparece una y otra vez en la naturaleza y desde siempre la hemos usado para resolver problemas: desde los planos de una casa hasta la gráfica de una inversión o la posición de una estrella. Con ella relacionamos dos cantidades que crecen en proporción, y hoy sumaste tres herramientas: medir distancias, medir ángulos y describir familias.
Pregunta para reflexionar: ¿conoces alguna app que trabaje con las ecuaciones de la recta?
Mapas y GPS (la distancia mínima a una calle), apps de transporte (tarifa = base + costo por km), hojas de cálculo (líneas de tendencia), videojuegos (trayectorias y rebotes) y editores de imágenes (rotar y alinear). ¿Se te ocurre otra?
Tu propósito de vida
En y = mx + b, b es el punto del que partes y m es el ritmo con el que avanzas. Dos rectas con distinto punto de partida pueden avanzar al mismo ritmo, ir en paralelo y aun así llegar lejos.
Escribe dos líneas: ¿qué parte de tu punto de partida no depende de ti y qué parte de tu ritmo sí depende de ti a partir de hoy?
Checkpoint del tema 4
Asegúrate de poder:
Si alguna casilla no la puedes marcar con confianza, regresa a su sesión y repite los puntos de control.
Referencias
- Cuéllar, J. (2019). Matemáticas 3 (5ª ed.). México: McGraw Hill.
- Ruiz, J. (2018). Matemáticas 3: Geometría analítica básica (4ª ed.). México: Editorial Patria.
Formulario del tema
Distancia punto–recta: d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
Arriba o abajo (con B > 0): valor positivo arriba, negativo abajo.
Paralelas: elige un punto de una y aplica la fórmula.
Ángulo entre rectas: θ = tan⁻¹((m₂ − m₁)/(1 + m₂m₁)), con m = −A/B.
El otro ángulo: si tan⁻¹ sale negativo, súmale 180°. Los dos ángulos del cruce suman 180°.
Familias: y = mx + b con m fija (paralelas) o con b fija (abanico); por un punto cualquiera, y − y₁ = m(x − x₁).
Siguiente tema: la circunferencia.