Matemáticas III · T5 Circunferencia
C · ContextualizarMódulo 1 · Tema 5

Circunferencia

Elementos, gráfica y las dos formas de su ecuación: ordinaria y general.

Al terminar esta clase podrás…

  1. Distinguir los elementos de la circunferencia.
  2. Representar gráficamente una circunferencia con base en los elementos dados.
  3. Modelar la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general.
Pregunta rápida · 🙋 Todo el grupo

¿Dónde has visto una circunferencia hoy, desde que despertaste?

No hay una sola respuesta. Algunas: el borde de un vaso o de un plato, las llantas del camión, el reloj, la tapa de una botella, la pantalla de una notificación redonda, una glorieta, el círculo de centro de una cancha. La circunferencia es la curva que más usamos sin darnos cuenta.
C · Contextualizar🙋 Lluvia de ideas

Una app de mapas quiere dibujar la Glorieta Minerva

Imagina que programas una app de mapas. La computadora no "ve" la glorieta: solo entiende números. Tienes que describirle la glorieta con la menor cantidad de datos posible para que la dibuje exacta.

Pregunta

¿Cuál es la información mínima que necesita la app para dibujar una glorieta perfectamente redonda?

Solo dos datos: la ubicación del centro (un punto con coordenadas) y la medida del radio (una distancia). Con eso, la circunferencia queda totalmente determinada. Hoy vas a aprender a convertir esos dos datos en una ecuación que cualquier computadora puede usar.
C · Contextualizar✋ Votación: ¿dentro o fuera?

“Entregamos a 3 km a la redonda”

Una taquería en el punto R(0, 0) anuncia envío gratis a 3 km a la redonda. Las coordenadas están en km.

Tu casa está en T(2, 2.5) y la de tu amiga en A(−1.8, 2.4).

Pregunta 1 · vota antes de revelar

¿Tu casa alcanza el envío gratis?

Calculamos la distancia de R a T con la fórmula de distancia entre dos puntos:
d = √(2 − 0)2 + (2.5 − 0)2 = √4 + 6.25 = √10.25 ≈ 3.20 km 3.20 > 3, así que no alcanzas: te quedas fuera por unos 200 m. Estaba tan cerca del borde que a ojo era difícil decidir: por eso calculamos.
Pregunta 2

¿Y tu amiga?

d = √(−1.8)2 + (2.4)2 = √3.24 + 5.76 = √9 = 3 km Está exactamente a 3 km: justo en el borde. Todos los puntos que están exactamente a 3 km de la taquería forman una circunferencia. Esa es la idea de toda la clase.

La línea punteada marca los 3 km.

C · Contextualizar

¿De dónde viene la circunferencia?

Los griegos fueron los primeros en estudiar las secciones cónicas: curvas que se obtienen al cortar con un plano un cono circular recto de dos mantos (dos conos unidos por la punta).

Aparecen en la naturaleza y la tecnología: órbitas de los planetas, electromagnetismo, óptica, mecánica, minería y muchas áreas más.

Pregunta

¿Cómo debe cortar el plano al cono para que el corte sea una circunferencia?

El plano debe ser perpendicular al eje del cono (paralelo a su base) y no pasar por el vértice. Si lo inclinas un poco, el corte se “estira” y obtienes una elipse.
Pregunta

La circunferencia es una de cuatro cónicas. ¿Cuáles son las otras tres?

La elipse, la parábola y la hipérbola. Las verás en el Módulo 2 (Temas 6, 7 y 8).
circunferencia plano ⟂ al eje eje
L·A · Práctica + DiálogoDefinición

¿Qué es una circunferencia?

Una circunferencia es el conjunto de puntos equidistantes a otro punto fijo en el plano. El punto fijo se llama centro, mientras que la distancia desde el centro hacia cualquier punto de la circunferencia es el radio y es una distancia constante.

En otras palabras: todos sus puntos están a la misma distancia r del centro.

El círculo se refiere al área delimitada por la circunferencia; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo.

Pregunta · 👥 Discute con quien tengas al lado

¿El centro pertenece a la circunferencia?

No. Los puntos de la circunferencia están a distancia r del centro, y el centro está a distancia 0 de sí mismo. El centro sí pertenece al círculo (la región), pero no a la circunferencia (la curva).
Pregunta

Una pizza: ¿la orilla es la circunferencia o el círculo? ¿Y toda la pizza?

La orilla (la curva) es la circunferencia. Toda la pizza (la región que te comes) es el círculo.
L·A · Práctica + Diálogo🎲 Número de lista: nombra un elemento

Elementos de la circunferencia

C 1 2 3 4 5
Reto · ¿cómo se llama cada elemento del 1 al 5?
  1. Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
  2. Diámetro: cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Su medida es igual a dos veces la longitud del radio.
  3. Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
  4. Secante: recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
  5. Tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto.
Pregunta · 👥 Debate

¿Todo diámetro es una cuerda? ¿Toda cuerda es un diámetro?

Todo diámetro sí es cuerda (une dos puntos de la circunferencia). Pero no toda cuerda es diámetro: solo la que pasa por el centro. El diámetro es la cuerda más larga posible.
Pregunta

¿Qué diferencia hay entre una cuerda y una secante?

La cuerda es un segmento: empieza y termina en la circunferencia. La secante es una recta: pasa por esos mismos dos puntos pero sigue infinitamente hacia ambos lados.
L·A · Práctica + DiálogoEcuación ordinaria

De la distancia a la ecuación

Por convención, el centro se ubica en las coordenadas C(h, k). Un punto P(x, y) está en la circunferencia si su distancia al centro es exactamente r.

Fórmula de la distancia entre dos puntos:

d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Sustituyendo d por r y las coordenadas h y k del centro:

r = √(x − h)2 + (y − k)2
(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Forma ordinaria, canónica o estándar.

Si el centro está en el origen, C(0, 0):

x2 + y2 = r2
Pregunta

¿Por qué elevamos al cuadrado ambos lados de r = √(…)?

Para quitar la raíz y obtener una ecuación más limpia y fácil de manipular. Como r es una distancia (positiva), elevar al cuadrado no agrega ni pierde puntos.
Pregunta · regresa a la taquería

¿Cuál es la ecuación de la frontera de “3 km a la redonda” si la taquería está en el origen?

Centro (0, 0) y r = 3, entonces x2 + y2 = 9. Tu amiga en (−1.8, 2.4) cumple: 3.24 + 5.76 = 9 ✔. Tu casa no: 4 + 6.25 = 10.25 ≠ 9.
Pregunta

Si un punto da (x − h)2 + (y − k)2 menor que r2, ¿dónde está?

Está dentro de la circunferencia (en el círculo, sin tocar la orilla). Si da mayor que r2, está fuera.
L·A · Práctica + Diálogo🎲 Un voluntario mueve los controles

Laboratorio: mueve h, k y r

h0
k0
r3

Forma ordinaria

Forma general (la verás en unos minutos)

Reto 1/4: dibuja la circunferencia

Pregunta

Si aumentas h, ¿hacia dónde se mueve la circunferencia? ¿Y por qué en la ecuación aparece un signo menos?

Se mueve a la derecha, sin cambiar de tamaño. En la ecuación aparece (x − h): si el centro está en h = 4, se escribe (x − 4). Por eso el signo que ves dentro del paréntesis es el contrario de la coordenada del centro. Mover r solo cambia el tamaño; el centro no se mueve.
L·A · Práctica + DiálogoEjemplo 1

Determina el centro y la medida del radio

Compara cada ecuación con (x − h)2 + (y − k)2 = r2. Primero intenta, luego revela.

(x − 4)2 + (y + 9)2 = 81
Reescribe (y + 9) como (y − (−9)):
(x − 4)2 + (y − (−9))2 = 81
C(4, −9)
r2 = 81 → r = √81 = 9
x2 + y2 = 196
Es de la forma ordinaria con centro en el origen, x2 + y2 = r2.
C(0, 0)
r2 = 196 → r = √196 = 14
x2 + (y − 8)2 = 12
Dado que el término x no está en la forma (x − h), entonces h = 0.
C(0, 8)
r2 = 12 → r = √12 (= 2√3 ≈ 3.46)
Pregunta · 👥 Diálogo

En la primera ecuación, alguien dice que el radio es 81. ¿Qué le responderías?

Que el número del lado derecho es r2, no r. Hay que sacar raíz: r = √81 = 9. Un radio de 81 sería una circunferencia 81 veces más grande que una de radio 1… ¡y 9 veces más grande que la real!
L·A · Práctica + Diálogo👥 En parejas · 3 min

Tu turno: centro y radio

Resuelvan en parejas. Al terminar, el 🎲 elige quién explica cada una en voz alta.

a) (x + 1)2 + (y − 5)2 = 36
(x − (−1))2 + (y − 5)2 = 62 → C(−1, 5), r = 6
b) x2 + (y + 2)2 = 7
No hay (x − h), así que h = 0; y + 2 = y − (−2) → C(0, −2), r = √7 ≈ 2.65
c) (x − 3)2 + y2 = 14
k = 0 → C(3, 0); r = √(1/4) = 1/2
d) x2 + y2 = 50
Centro en el origen → C(0, 0); r = √50 = 5√2 ≈ 7.07
L·A · Práctica + DiálogoEjemplo 2

Centro y un punto por el que pasa

Determina la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 3) y que pasa por el punto P(7, 6).

Pregunta

Ya tenemos h y k. ¿Qué dato nos falta y cómo lo obtenemos?

Falta el radio. Como P está en la circunferencia, su distancia al centro es el radio. Basta sustituir P en la ecuación.
Solución paso a paso
Forma ordinaria: (x − h)2 + (y − k)2 = r2, con h = 2, k = 3.
Sustituimos P(7, 6), es decir x = 7, y = 6:
(7 − 2)2 + (6 − 3)2 = r2 → 52 + 32 = 34 Por lo tanto r2 = 34 y la ecuación es:
(x − 2)2 + (y − 3)2 = 34
Pregunta · 👥 Diálogo

¿Es necesario calcular r = √34 ≈ 5.83 para escribir la ecuación?

No. La ecuación pide r2, que ya es 34. Sacar la raíz solo es necesario si quieres la medida del radio (por ejemplo, para graficar).
L·A · Práctica + Diálogo🎲 Un voluntario al pizarrón

Traza la gráfica de (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25

Método de los cuatro radios

  1. Marca la coordenada del centro.
  2. Mide cuatro radios paralelos a los ejes x y y a partir del centro (derecha, izquierda, arriba, abajo).
  3. Dibuja un punto en el extremo de cada radio.
  4. Une los cuatro puntos con curvas redondas.
Paso 1 · ¿centro y radio?
h = 2, k = −3 → C(2, −3); r2 = 25 → r = 5
Paso 2 · ¿cuáles son los cuatro puntos?
Sumamos y restamos 5 a cada coordenada del centro:
derecha (7, −3) · izquierda (−3, −3) · arriba (2, 2) · abajo (2, −8)
Gráfica final
L·A · Práctica + DiálogoEjemplo 4

Determina la ecuación de la circunferencia mostrada

Pregunta · 🙋 Todo el grupo

Observa la gráfica. ¿Dónde está el centro? ¿Cómo mides el radio sin regla?

El centro está en C(−3, 1), así que h = −3 y k = 1.
Se localiza un punto colineal horizontalmente al centro por el que pasa la circunferencia: P(−10, 1). El radio es la diferencia entre las coordenadas x:
r = −3 − (−10) = 7 → r2 = 49
Ecuación
(x + 3)2 + (y − 1)2 = 49
L·A · Práctica + DiálogoEjemplo 5

Extremos del diámetro

Determina la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro tiene sus extremos en los puntos P1(−6, 9) y P2(4, −5).

Pregunta · 👥 Diálogo

¿Por qué el centro tiene que ser el punto medio del diámetro?

Porque el diámetro pasa por el centro y mide dos radios: del centro a cada extremo hay exactamente r. El único punto del segmento que está a la misma distancia de ambos extremos es su punto medio.
Paso 1 · centro
Con x1 = −6, y1 = 9; x2 = 4, y2 = −5:
Pm = (−6 + 42, 9 + (−5)2) = (−22, 42) = (−1, 2)
Por lo tanto C(h, k) = C(−1, 2).
Paso 2 · radio (con P1)
Distancia de C(−1, 2) a P1(−6, 9):
d = √(−6 − (−1))2 + (9 − 2)2 = √25 + 49 = √74
r = √74 → r2 = 74
Ecuación final
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 74
Pregunta

¿Obtendrías el mismo radio usando P2 en lugar de P1?

Sí: (4 − (−1))2 + (−5 − 2)2 = 25 + 49 = 74. Los dos extremos están a la misma distancia del centro, así que es una buena forma de comprobar tu resultado.
L·A · Práctica + Diálogo✅ Checkpoint 1 · individual · 5 min

Checkpoint: forma ordinaria

Resuelve en tu cuaderno. Revela cada respuesta después de intentarlo; al revelar las tres se desbloquea la siguiente sección.

a) Centro (−4, 0) y radio 3.

h = −4, k = 0, r2 = 9
(x + 4)2 + y2 = 9

b) Centro (1, −2) y pasa por (4, 2).

r2 = (4 − 1)2 + (2 − (−2))2 = 9 + 16 = 25 (r = 5)
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 25

c) Diámetro con extremos (−2, 1) y (6, 7).

Centro = punto medio = ((−2 + 6)/2, (1 + 7)/2) = (2, 4)
r2 = (6 − 2)2 + (7 − 4)2 = 16 + 9 = 25
(x − 2)2 + (y − 4)2 = 25
L·A · Práctica + DiálogoForma general

La forma general

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Donde los coeficientes de los términos x2 y y2 son +1.

¿De dónde sale? Desarrolla los binomios

(x − h)2 + (y − k)2 = r2
x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = r2

Simplificando e igualando a cero:

x2 + y2 − 2hx − 2ky + (h2 + k2 − r2) = 0

D = −2h · E = −2k · F = h2 + k2 − r2

Ejemplo · transforma a forma general
(x − 3)2 + (y + 4)2 = 61
Desarrolla los binomios al cuadrado:
x2 − 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 61
Simplifica e iguala a cero:
x2 + y2 − 6x + 8y + 9 + 16 − 61 = 0
x2 + y2 − 6x + 8y − 36 = 0
Pregunta · 👥 Diálogo

Si las dos formas describen la misma circunferencia, ¿qué ventaja tiene cada una?

La ordinaria te deja leer el centro y el radio “a simple vista”. La general los esconde, pero es la forma en que suelen aparecer las ecuaciones en problemas y en software (todo igualado a cero), y permite comparar la circunferencia con otras cónicas en el Módulo 2.
L·A · Práctica + DiálogoForma general → centro y radio

Centro y radio desde la forma general

Las fórmulas para calcular el centro y el radio dada la ecuación en su forma general son:

C(h, k) = (−D2, −E2)   r = 12√D2 + E2 − 4F
Pregunta

¿De dónde sale h = −D/2?

De la diapositiva anterior: D = −2h. Si despejas h, obtienes h = −D/2. Igual con E = −2k → k = −E/2. ¡No es magia, es despejar!
Ejemplo · determina el centro y el radio
x2 + y2 + 12x − 8y + 16 = 0
D = 12 ; E = −8 ; F = 16
C = (−122, −(−8)2) = (−6, 4)
r = 12√122 + (−8)2 − 4(16) = 12√144 + 64 − 64 = 12√144 = 122 = 6
L·A · Práctica + DiálogoCompletar el trinomio cuadrado perfecto

Otra ruta: completar cuadrados

Otra manera de identificar el centro y el radio es transformar la forma general a la ordinaria completando el trinomio cuadrado perfecto. Condición: los coeficientes de x2 y y2 deben ser 1.

Ejemplo · transforma a forma ordinaria y determina centro y radio
x2 + y2 + 6x − 14y + 6 = 0

1. Agrupa términos de variables comunes

(x2 + 6x) + (y2 − 14y) = −6

2. Suma (coef./2)2 en ambos lados

(6/2)2 = 9 ; (−14/2)2 = 49
(x2 + 6x + 9) + (y2 − 14y + 49) = −6 + 9 + 49

3. Factoriza y simplifica

(x + 3)2 + (y − 7)2 = 52
C(−3, 7) ; r = √52 = 2√13 ≈ 7.21
Pregunta · 👥 Diálogo

¿Por qué al completar el cuadrado hay que sumar el 9 y el 49 también del lado derecho?

Porque una ecuación es una balanza: si agregas algo de un lado y no del otro, ya no es la misma igualdad y obtendrías otra circunferencia (otro radio). Sumar en ambos lados mantiene la igualdad.
L·A · Práctica + Diálogo✋ Votación con dedos: 1, 2 o 3

¿Circunferencia, punto o conjunto vacío?

Al transformar la forma general a la ordinaria, el valor de r2 determina qué representa la ecuación:

Forma ordinaria (x − h)2 + (y − k)2 = r2La ecuación representa
r2 > 01 · Una circunferencia
r2 = 02 · Un punto en el plano
r2 < 03 · Un conjunto vacío
Pregunta

¿Por qué si r2 < 0 no hay ningún punto?

El lado izquierdo es una suma de cuadrados, que nunca es negativa. No existe ningún (x, y) real que dé un resultado negativo. Y si r2 = 0, ambos cuadrados deben ser 0: eso solo pasa en el centro.
a) x2 + y2 − 8y = 0
x2 + (y2 − 8y + 16) = 16 → x2 + (y − 4)2 = 16
1 · Circunferencia, C(0, 4), r = 4
b) x2 + y2 − 4x + 6y + 13 = 0
(x − 2)2 + (y + 3)2 = −13 + 4 + 9 = 0
2 · Un punto: (2, −3)
c) x2 + y2 + 2x + 10 = 0
(x + 1)2 + y2 = −10 + 1 = −9
3 · Conjunto vacío: ningún punto la cumple
L·A · Práctica + DiálogoCircunferencia que pasa por tres puntos

Tres puntos, una circunferencia

Ruiz (2018) define que “en geometría elemental se aprende que por tres puntos no colineales pasa una y solo una circunferencia”. Dados tres puntos, se sustituyen sus coordenadas en la forma general y se obtienen tres ecuaciones con tres incógnitas: D, E y F.

Puntos: A(−3, −2)B(2, 4)C(6, 2)

Pregunta

¿Por qué los tres puntos deben ser no colineales?

Si están sobre una misma recta, ninguna circunferencia pasa por los tres: una recta corta a una circunferencia en máximo dos puntos (¿recuerdas la secante?).
Paso 1 · sustituye en x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
A: 9 + 4 − 3D − 2E + F = 0 → 1) −3D − 2E + F = −13
B: 4 + 16 + 2D + 4E + F = 0 → 2) 2D + 4E + F = −20
C: 36 + 4 + 6D + 2E + F = 0 → 3) 6D + 2E + F = −40
Paso 2 · elimina E, luego D
2·(1) + (2): −6D − 4E + 2F + 2D + 4E + F = −26 − 20 → 4) −4D + 3F = −46
(1) + (3): 5) 3D + 2F = −53
3·(4) + 4·(5): −12D + 9F + 12D + 8F = −138 − 212 → 17F = −350
Paso 3 · despeja F, D y E
F = −350/17
En 5): 3D − 700/17 = −53 → 3D = −201/17 → D = −67/17
En 1): 201/17 − 2E − 350/17 = −13 → −2E = −72/17 → E = 36/17
Ecuación final (multiplica todo por 17)
17x2 + 17y2 − 67x + 36y − 350 = 0

Comprobación con B(2, 4): 17(4 + 16) − 67(2) + 36(4) − 350 = 340 − 134 + 144 − 350 = 0 ✔

L·A · Práctica + Diálogo✅ Checkpoint 2 · en parejas · 6 min

Checkpoint: forma general

Resuelvan y revelen cada respuesta después de intentarlo; al revelar las tres se desbloquea la siguiente sección.

a) Escribe en forma general:

(x + 2)2 + (y − 1)2 = 9
x2 + 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 9
x2 + y2 + 4x − 2y − 4 = 0

b) Centro y radio de:

x2 + y2 − 10x + 4y + 20 = 0
D = −10, E = 4, F = 20
C(5, −2); r = ½√(100 + 16 − 80) = ½√36 = 3
Con cuadrados: (x − 5)2 + (y + 2)2 = −20 + 25 + 4 = 9 ✔

c) ¿Qué representa?

x2 + y2 + 6x − 2y + 10 = 0
(x + 3)2 + (y − 1)2 = −10 + 9 + 1 = 0
r2 = 0 → un punto: (−3, 1)
R · Retroalimentar🕵️ Detective de errores 1/4

“El centro es (5, −2)”

Te piden el centro de (x + 5)2 + (y − 2)2 = 16 y escribes:

C(5, −2)

¿Dónde está el error? Piénsalo antes de revelar

Pista: pregúntate qué valor de x hace que el paréntesis (x + 5) valga cero.

Copiaste los números con el mismo signo que ves. Pero la forma es (x − h): (x + 5) = (x − (−5)), así que h = −5. Igual, (y − 2) da k = 2.
Correcto: C(−5, 2), r = 4.
Truco para verificar: el centro es el punto que hace cero cada paréntesis. x + 5 = 0 → x = −5 ✔.
R · Retroalimentar🕵️ Detective de errores 2/4

Confundir r con r2

Caso A. De (x − 1)2 + y2 = 49 escribes r = 49.

Caso B. Para centro (0, 3) y radio 6 escribes x2 + (y − 3)2 = 6.

¿Qué salió mal en cada caso?

Pista: ¿el lado derecho de la ecuación ordinaria es r o es r2?

El lado derecho siempre es r2.
Caso A: r2 = 49 → r = 7.
Caso B: r = 6 → r2 = 36 → x2 + (y − 3)2 = 36.
Hábito que te salva: al terminar, pregúntate “¿este número es el radio o el radio al cuadrado?”.
R · Retroalimentar🕵️ Detective de errores 3/4

La balanza desequilibrada

Para x2 + y2 − 6x + 4y − 3 = 0 escribes:

(x2 − 6x + 9) + (y2 + 4y + 4) = 3

(x − 3)2 + (y + 2)2 = 3 → r = √3

¿En qué renglón se rompió la igualdad?

Pista: ¿qué números agregaste del lado izquierdo? ¿Los agregaste también del derecho?

En el primer renglón: sumaste 9 y 4 a la izquierda pero no a la derecha.
(x − 3)2 + (y + 2)2 = 3 + 9 + 4 = 16
Correcto: C(3, −2), r = 4.
Compruébalo con la fórmula: ½√(36 + 16 + 12) = ½√64 = 4 ✔
R · Retroalimentar🕵️ Detective de errores 4/4

Cuando x2 y y2 no tienen coeficiente 1

Para 2x2 + 2y2 − 8x + 4y − 8 = 0 usas directo D = −8, E = 4, F = −8 y obtienes:

C(4, −2)

¿Qué condición olvidaste?

Pista: revisa cómo se ve exactamente la forma general x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

Las fórmulas (y completar cuadrados) solo funcionan si los coeficientes de x2 y y2 son 1. Primero divide toda la ecuación entre 2:
x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0
D = −4, E = 2, F = −4 → C(2, −1), r = ½√(16 + 4 + 16) = ½·6 = 3.
(Esto mismo pasó en el ejemplo de tres puntos: 17x2 + 17y2… para sacar centro y radio, primero divides entre 17.)
A · Anclar el propósito

Tu celular sabe dónde estás… con circunferencias

Una antena (o satélite) no sabe en qué dirección estás, solo a qué distancia. Eso te coloca en algún punto de una circunferencia con centro en la antena. Con varias antenas, tu ubicación es donde se cruzan sus circunferencias. A esto se le llama trilateración; las redes sismológicas usan la misma idea para ubicar el epicentro de un sismo.

Pregunta · 🙋 Todo el grupo

¿Por qué no bastan dos antenas para ubicarte en el plano?

Dos circunferencias pueden cruzarse en dos puntos, así que quedarían dos ubicaciones posibles. La tercera circunferencia decide cuál es la real.
Reto rápido

Antenas en (−3, 4), (5, 5) y (1, −4). El celular está a √34, 5 y √26 km, respectivamente. ¿El celular está en (2, 1)?

Sustituye (2, 1) en cada ecuación:
(2 + 3)2 + (1 − 4)2 = 25 + 9 = 34 ✔
(2 − 5)2 + (1 − 5)2 = 9 + 16 = 25 = 52 ✔
(2 − 1)2 + (1 + 4)2 = 1 + 25 = 26 ✔
Sí: (2, 1) está en las tres circunferencias.
A · Anclar el propósito✍️ Reflexión personal

De la ecuación a tu propósito

🤖 Desde la ingeniería en robótica

Un robot con sensor láser (LiDAR) no “ve” una columna redonda: ve cientos de puntos sueltos. Para saber dónde está la columna y qué tan gruesa es, calcula la circunferencia que mejor pasa por esos puntos. Es exactamente el ejemplo de tres puntos… pero con muchos más.

¿Dónde más aparece?

  • Arquitectura: ubicar el centro de un techo en forma de bóveda para colgar un candelabro.
  • Ingeniería civil: diseñar glorietas y túneles.
  • Videojuegos: detectar si dos personajes “chocan”.
  • Automovilismo: la distancia recorrida en una pista circular tras varias vueltas.
Pregunta · videojuegos

Un personaje ocupa la circunferencia de centro (0, 0) y radio 3; otro, centro (4, 3) y radio 2. ¿Se tocan?

Distancia entre centros: √(16 + 9) = 5. Suma de radios: 3 + 2 = 5. Como son iguales, las circunferencias se tocan en un solo punto (son tangentes): el juego detecta el choque justo en ese instante.
Reflexión · escribe 2 renglones en tu cuaderno

Una circunferencia queda definida por un centro que no se mueve y un radio que marca hasta dónde llega. Si tu vida fuera una circunferencia: ¿qué hay en tu centro (lo que no negocias) y qué harías este semestre para hacer crecer tu radio (tu alcance)?

No hay una respuesta correcta: es tuya. Un ejemplo: “En mi centro está mi familia y ser honesto. Quiero que mi radio crezca aprendiendo programación para, algún día, diseñar apps que ayuden a mi comunidad.” Fíjate que, igual que en la ecuación, sin centro no hay circunferencia: el radio solo tiene sentido si sabes desde dónde lo mides.
Pregunta

Hoy tradujiste “un lugar redondo” a una ecuación que una computadora entiende. ¿Qué habilidad usaste que te sirve fuera de matemáticas?

Modelar: convertir una situación real en datos precisos (centro, radio) y reglas (la ecuación). Es lo que hace un ingeniero, un médico que interpreta estudios, un economista o un programador: identificar lo esencial y describirlo sin ambigüedad.
A · Anclar el propósito🎟️ Boleto de salida

Cierre: formas de la ecuación de la circunferencia

EcuaciónFórmulaCentroRadio
Ordinaria con centro en C(h, k)(x − h)2 + (y − k)2 = r2C(h, k)r = √r2
Ordinaria con centro en el origenx2 + y2 = r2C(0, 0)r = √r2
Generalx2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(−D2, −E2)12√D2 + E2 − 4F

Checkpoint · asegúrate de…

  • Distinguir los elementos de la circunferencia.
  • Representar gráficamente una circunferencia con base en los elementos dados.
  • Modelar la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general.

Semáforo: marca en tu cuaderno 🟢 domino · 🟡 casi · 🔴 necesito repasar, para cada punto.

Boleto de salida · individual

Escribe la ecuación en forma ordinaria y en forma general de la circunferencia con centro (3, −1) y radio 2.

Ordinaria: (x − 3)2 + (y + 1)2 = 4
Desarrollando: x2 − 6x + 9 + y2 + 2y + 1 = 4
General: x2 + y2 − 6x + 2y + 6 = 0
Compruébalo: C = (6/2, −2/2) = (3, −1) ✔; r = ½√(36 + 4 − 24) = ½·4 = 2 ✔

Referencias: Angel, A., y Runde, D. (2019). Álgebra intermedia (9ª ed.). Pearson. · Cuéllar, J. (2019). Matemáticas 3 (5ª ed.). McGraw Hill. · Ruiz, J. (2018). Matemáticas 3: Geometría analítica básica (4ª ed.). Editorial Patria.

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