Módulo 1 | Tema 5
Continuidad
¿Se puede dibujar una función sin levantar el lápiz?
Al terminar la clase podrás…
- Verificar las 3 condiciones de continuidad en un punto.
- Clasificar una discontinuidad (removible o esencial) y reparar la removible.
- Usar los teoremas para calcular límites y aplicar el Teorema del valor intermedio.
Todo va bien… hasta que llegas a x = 2.
Cuando algo “se corta”
Seguro te ha pasado:
- Se va la luz varias horas y no puedes usar tu compu.
- El auto se apaga una y otra vez porque la gasolina no llega al motor.
- Estás viendo tu programa favorito y la señal se pierde unos minutos.
A veces se puede remediar… pero casi siempre es mejor tener continuidad desde el inicio.
Llegas a una plaza y dejas el auto 1 hora exacta. Tu amigo lo deja 1 hora y 1 minuto. ¿Cuánto paga cada uno? ¿Qué le pasa a la gráfica en t = 1?
Tú pagas $20; tu amigo, $40. Un minuto de diferencia y el cobro “brinca” $20.
En t = 1 la gráfica da un salto: para dibujarla tienes que levantar el lápiz. Eso es una discontinuidad.
Estacionamiento: $20 por hora o fracción
● incluido ○ no incluido
La prueba del lápiz ✏️
Idea intuitiva: una función es continua cuando su gráfica no tiene huecos ni saltos abruptos.
A
B
C
D
¿Cuáles puedes trazar de un solo trazo, sin levantar el lápiz?
Solo la A. En B hay un hueco, en C un salto y en D la gráfica se va al infinito (asíntota).
Mirar la gráfica funciona… pero ¿qué haces si no tienes la gráfica, solo la fórmula?
Necesitas una prueba con límites, que ya sabes calcular. Eso es justo la definición formal que viene en la siguiente diapositiva.
5.1 Función continua: 3 condiciones
f es continua en x = a si se cumplen las tres:
f(a) existe
Está definida: hay un punto en x = a.
limx→af(x) existe
Por la izquierda y por la derecha llegas al mismo valor.
limx→af(x) = f(a)
El punto está justo donde llega la gráfica.
Si alguna condición no se cumple, f es discontinua en x = a (Rojas, 2022).
Versión compacta (Stewart, 2021): sea f definida en un intervalo abierto que contiene a a; f es continua en a si limx→af(x) = f(a).
Si solo revisas la condición 3, ¿estás revisando también la 1 y la 2?
Sí. Para que la igualdad lim f(x) = f(a) tenga sentido, los dos lados deben existir: f(a) debe estar definida y el límite debe existir. Por eso Stewart la resume en una sola línea.
Laboratorio: revisa las 3 condiciones en x = 2
¿Qué caso cumple las condiciones 1 y 2, pero falla la 3?
El punto fuera de lugar: f(2) = 4 existe, el límite (2) existe, pero 2 ≠ 4.
Dos tipos de discontinuidad
El limx→af(x) sí existe, pero lim f(x) ≠ f(a) (o f(a) ni siquiera existe).
Hueco
Punto fuera de lugar
El limx→af(x) no existe.
Salto (laterales distintos)
Infinita (asíntota)
¿Por qué a una se le llama “removible” y a la otra “esencial”?
En la removible el problema es un solo punto: basta con definir (o redefinir) f(a) = límite y la discontinuidad desaparece.
En la esencial ningún valor de f(a) la arregla: el límite no existe, la gráfica se rompe de verdad.
Ejemplo: ¿f(x) = x2 − 4x − 2 es continua en x = 2?
- ¿Existe f(2)?
f(2) = (2)2 − 42 − 2 = 00
Hay una división entre cero: f(2) no está definida. ✗ Falla la condición 1.
- ¿Existe el límite? Sustituir da 0/0 (forma indeterminada) → factoriza.
limx→2(x + 2)(x − 2)x − 2 = limx→2(x + 2) = 2 + 2 = 4
✓ El límite existe y vale 4.
- Conclusión: ¿continua o discontinua? ¿De qué tipo?
Discontinua en x = 2. Como el límite sí existe, es removible.
- Repárala. ¿Cómo la harías continua?
Defínela en x = 2 con el valor del límite:
f(x) ={ x2 − 4x − 2si x ≠ 2 4si x = 2
¿Qué sucede con la gráfica en x = 2?
Hay un hueco en (2, 4): es la recta y = x + 2 con un solo punto “arrancado”. Las flechas muestran que por ambos lados te acercas a 4.
Explóralo en casa: escribe f(x)=(x^2-4)/(x-2) en el simulador de García, E. (s.f.). Discontinua evitable 3:
https://www.geogebra.org/m/YEwx9thA
✋ Checkpoint 1 · Antes de seguir
Para cada caso: ¿es continua en el punto indicado? Si no, ¿qué condición falla y de qué tipo es?
1 · en x = 1
f(1) = 3, pero por la izquierda llega a 2 y por la derecha a 3. Laterales distintos → el límite no existe (falla la 2). Discontinuidad esencial (salto).
2 · en x = −1
f(−1) = 3 y lim = 1: ambos existen pero 1 ≠ 3 (falla la 3). Removible: se repara redefiniendo f(−1) = 1.
3 · en x = 0
Continua. f(0) = 1, ambos laterales llegan a 1 y coinciden. El pico no rompe la gráfica: puedes trazarla sin levantar el lápiz. (Los picos te importarán en la derivada.)
4 · sin gráfica
k(x) = x2 − 9x − 3 en x = 3
k(3) = 0/0 → no existe (falla la 1).
limx→3(x + 3)(x − 3)x − 3 = 3 + 3 = 6
El límite existe → removible. Se repara con k(3) = 6.
💬 Activar el diálogo
Discute 2 minutos con quien tengas al lado. Luego revelen y comparen.
La temperatura en Guadalajara a lo largo del día, ¿es una función continua? ¿Y el saldo de tu tarjeta del transporte?
Temperatura: sí. No puede pasar de 18 °C a 25 °C sin pasar por todos los valores intermedios.
Saldo: no. Baja de golpe cada vez que pagas un viaje y sube de golpe cuando recargas: es una función con saltos (escalonada), como la del estacionamiento.
Tu compañero dice: “Si el límite existe, la función es continua”. ¿Tiene razón?
No. Contraejemplo: (x2 − 4)/(x − 2) tiene límite 4 en x = 2, pero f(2) no existe. Que el límite exista es solo la condición 2: todavía faltan la 1 y la 3.
Un hueco es un solo punto entre infinitos. ¿De verdad importa?
Sí. En un puente, una tubería o la trayectoria de un robot, un solo punto sin definir puede ser justo donde todo falla. Y en matemáticas, la derivada (Módulo 2) exige continuidad: en un hueco no puede haber recta tangente.
5.2 Teoremas: atajos para saber quién es continua
Si f y g son continuas en a y c es constante, también son continuas en a:
f + g · f − g · cf · fg · fg con g(a) ≠ 0
Familias continuas
- Polinomios: en todos los números reales.
- Racionales: siempre que no estén indefinidas (denominador ≠ 0).
- Raíz, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas: en todo su dominio.
¿Para qué sirve? Si f es continua en a, calcular el límite es solo sustituir: limx→af(x) = f(a)
¿Dónde es discontinua r(x) = x + 1x2 − 9?
Es racional: continua excepto donde el denominador vale 0. x2 − 9 = 0 → x = 3 y x = −3.
En ambos el numerador no se anula (vale 4 y −2), así que no hay factor que cancelar: son asíntotas → discontinuidades esenciales.
Ejemplo: límite por continuidad
limx→53x3 − 6x2 − 2x
- ¿Arriba y abajo son continuas?
Arriba hay un polinomio y abajo una exponencial (menos una constante): por los teoremas, ambas son continuas en todo su dominio.
- ¿El cociente es continuo en x = 5?
Sí, siempre que el denominador no sea 0: 2 − 25 = 2 − 32 = −30 ≠ 0 ✓
- Entonces, por la definición de continuidad, sustituye.
limx→5f(x) = f(5) = 3(5)3 − 6(5)2 − (2)5 = 375 − 30−30 = 345−30 = −11.5
¿Por qué aquí sí puedes sustituir directo, pero en (x2 − 4)/(x − 2) en x = 2 no?
Aquí el denominador en x = 5 vale −30 ≠ 0: el cociente es continuo en 5. En el otro caso el denominador vale 0 en x = 2: la función ni siquiera está definida ahí, así que el teorema no aplica y hay que factorizar.
Teorema del valor intermedio (TVI)
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y N es cualquier número entre f(a) y f(b), con f(a) ≠ f(b), entonces existe un número c en (a, b) tal que f(c) = N.
En palabras: una función continua toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b).
Temperatura en Guadalajara, de 6:00 a 14:00 h
A las 6:00 h había 12 °C y a las 14:00 h, 28 °C. ¿Hubo algún instante con exactamente 20 °C?
Sí, garantizado. La temperatura es continua y 20 está entre 12 y 28, así que existe un instante c entre las 6 y las 14 h con T(c) = 20. El TVI no dice cuándo, solo que existe.
Mueve N a 15 °C o a 25 °C. ¿Cuántos valores de c aparecen? ¿Contradice eso al teorema?
Aparecen 3 instantes: la temperatura subió, bajó un poco (se nubló) y volvió a subir. Pueden aparecer varios. No hay contradicción: el TVI asegura que existe al menos uno, no que sea único.
¿Y si la función tuviera un salto entre a y b?
Podría “saltarse” el valor N (como el estacionamiento, que nunca cobra $30). Por eso el TVI exige continuidad en todo [a, b].
✋ Checkpoint 2 · Practica
¿Dónde es discontinua y de qué tipo es cada discontinuidad?
h(x) = x2 − 9x2 − x − 6
Denominador: (x − 3)(x + 2) = 0 → x = 3, x = −2.
(x − 3)(x + 3)(x − 3)(x + 2) = x + 3x + 2 (si x ≠ 3)
x = 3: el factor se cancela, lim = 6/5 → removible (se repara con h(3) = 6/5).
x = −2: numerador → 1, denominador → 0 → asíntota → esencial.
Encuentra k para que f sea continua en x = 2:
f(x) ={ kx + 1si x < 2 x2 − 1si x ≥ 2
f(2) = 22 − 1 = 3 y por la derecha también llega a 3.
Por la izquierda llega a 2k + 1. Para que el límite exista y valga 3:
2k + 1 = 3 → k = 1
Muestra que x3 + x − 1 = 0 tiene una solución entre 0 y 1.
Sea f(x) = x3 + x − 1: es polinomio → continua en [0, 1].
f(0) = −1 < 0 y f(1) = 1 > 0. Como N = 0 está entre −1 y 1, el TVI garantiza un c en (0, 1) con f(c) = 0. (Con calculadora: c ≈ 0.68.)
Calcula usando continuidad:
limx→3√(x + 6) · (x2 − 1)
La raíz es continua en su dominio (3 + 6 = 9 > 0), el polinomio en todo ℝ y el producto de continuas es continuo → sustituye:
√9 · (9 − 1) = 3 · 8 = 24
🔍 ¿Dónde está el error?
Estos errores aparecen seguido. Antes de revelar, intenta encontrarlo tú.
“f(2) = 0/0, y como 0/0 ≠ 4, falla la condición 3.”
0/0 no es un número. Significa que f(2) no existe: falla la condición 1, no la 3. La conclusión (removible) puede ser correcta, pero necesitas la razón correcta.
“El denominador vale 0 en x = a, así que ahí hay una asíntota.”
Primero factoriza. Si el factor que hace 0 al denominador se cancela, es un hueco (removible), como en (x2 − 4)/(x − 2). Solo es asíntota si el numerador no se anula ahí.
“Por la izquierda llega a 2 y f(1) = 2, entonces es continua en 1.”
Te faltó el lado derecho. El límite existe solo si ambos laterales coinciden. Revisa siempre izquierda y derecha, sobre todo en funciones por partes.
⚡ ¿Verdadero o falso?
a) Todo polinomio es continuo en todos los números reales.
Verdadero. Es uno de los teoremas: no tienen denominadores ni raíces que los rompan.
b) Si f(a) no existe, la discontinuidad siempre es esencial.
Falso. Puede ser un hueco: f(a) no existe pero el límite sí → removible.
c) f(x) = |x| es discontinua en 0 porque tiene un pico.
Falso. f(0) = 0 y ambos laterales llegan a 0. Un pico no es un hueco ni un salto.
d) Si f es continua en [a, b], f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces f tiene una raíz en (a, b).
Verdadero. Es el TVI con N = 0.
🧭 La continuidad fuera del salón
Un brazo robótico que “brinca” de una posición a otra se daña. Por eso sus trayectorias se diseñan continuas. Tu profe es ingeniero en robótica: esto se usa de verdad.
El “clic” en tus audífonos o el lag en un juego es una discontinuidad en la señal. Los ingenieros la detectan y la suavizan.
Un salto repentino en los datos (un sensor que falla, un cobro raro en una cuenta) es la primera pista para investigar qué pasó.
En tus metas también hay discontinuidades. Piensa en una: ¿es un “hueco” que se repara con un ajuste puntual, o un “salto” que te pide cambiar de camino?
No hay una sola respuesta. Una guía: lo removible se arregla con un ajuste concreto (un hábito, una pregunta a tiempo, pedir ayuda); lo esencial pide replantear el trayecto.
Y recuerda el TVI: si hoy estás en 12 y tu meta es 28, siendo constante vas a pasar por cada valor intermedio. Nadie llega de golpe.
Cierre del Módulo 1
✅ Asegúrate de poder…
- Identificar los tipos de discontinuidad en una función y cómo repararla si es removible.
- Aplicar los teoremas para determinar la continuidad de una función.
Resume continuidad en una sola frase.
f es continua en a cuando f(a) existe, el límite existe y son iguales: la gráfica llega justo al punto.
Lo que sigue: Tema 6 · Razón de cambio, el primer paso hacia la derivada.
Para practicar en casa
Khan Academy (s.f.). Discontinuidades removibles.
https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-13/e/continuity
García, E. (s.f.). Discontinua evitable 3 (GeoGebra).
https://www.geogebra.org/m/YEwx9thA
Referencias
Rojas, C. (2022). Cálculo diferencial e integral Módulo I. Colombia: Red educativa digital Descartes.
Stewart, J. (2021). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. México: Cengage.