Mate III · T6 Elipse
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Módulo 2 · Tema 6

La elipse

Elementos, ecuación ordinaria, ecuación general y trazo.

Al terminar la clase podrás…

  • Distinguir los elementos de la elipse (centro, vértices, covértices, focos, lado recto, excentricidad).
  • Modelar su ecuación en forma ordinaria y general a partir de los datos que conoces.
  • Trazar elipses horizontales y verticales.

Ruta de hoy

  1. ¿Qué es una elipse? (definición y elementos)
  2. Ecuación ordinaria: centro en el origen y en C(h, k)
  3. Práctica 1 · ejercicios 1–5
  4. Ecuación general ↔ ordinaria
  5. Práctica 2 · ejercicios 6–10
Contextualizar

Los planetas no giran en círculos

En el siglo XVII, Johannes Kepler publicó su primera ley: los planetas giran alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica, y el Sol ocupa uno de sus focos. Después, Isaac Newton usó estas leyes para deducir la Ley de la Gravitación Universal.

Y no solo en el espacio: en medicina, la litotricia extracorpórea usa un reflector elíptico para concentrar ondas en un punto y triturar cálculos renales sin cirugía.

Pregunta: si el Sol está en un foco (no en el centro), ¿la distancia entre la Tierra y el Sol es la misma todo el año?
No. Como el Sol no está en el centro, la distancia cambia: la Tierra está más cerca a inicios de enero (≈ 147 millones de km) y más lejos a inicios de julio (≈ 152 millones de km). Dato curioso: estamos más cerca del Sol en pleno invierno del hemisferio norte, así que las estaciones no se deben a la distancia, sino a la inclinación del eje terrestre.
Sol (foco) foco vacío centro
Contextualizar

¿Qué es una elipse?

“Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, cuya suma de las distancias desde dos puntos fijos es una constante. Los dos puntos fijos se llaman focos.” (Angel y Runde, 2019)
Mueve P50°

Mueve el punto P: d₁ y d₂ cambian, pero su suma nunca cambia. Esa es la elipse.

1. Si la suma constante es 10 y d₁ = 6.5, ¿cuánto vale d₂?
d₂ = 10 − 6.5 = 3.5.
2. Coloca P exactamente en un vértice (0°). ¿Cuánto vale la suma en términos de a?
En el vértice (a, 0): d₁ = a + c y d₂ = a − c. Suma = (a + c) + (a − c) = 2a, es decir, la longitud del eje mayor. Aquí a = 5, por eso la suma es 10.
Llevar a la práctica

Elementos de la elipse

  • Centro C: donde se cruzan el eje mayor y el eje menor.
  • Eje mayor = 2a: une los vértices, que están a distancia a del centro.
  • Eje menor = 2b: une los covértices, a distancia b del centro. Es perpendicular al eje mayor.
  • Focos: sobre el eje mayor, a distancia c del centro.
  • Lado recto (LR): cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje mayor (hay dos).
  • Excentricidad e: qué tan “aplastada” está la elipse.
c² = a² − b²   ·   LR = [[2b²|a]]   ·   e = [[c|a]]

Siempre a > b y vértices y focos están sobre el eje mayor.

Pregunta: ¿por qué la excentricidad de una elipse siempre cumple 0 < e < 1?
Porque c² = a² − b² < a², así que c < a y e = c/a < 1. Además c > 0 cuando a ≠ b. Si e es cercana a 0, la elipse parece círculo; si es cercana a 1, está muy aplastada.
Llevar a la práctica · Laboratorio

Laboratorio: construye tu elipse

Semieje en x
Semieje en y
h
k
Reto: haz que el semieje en y sea mayor que el de x. ¿Qué le pasa a la orientación y a la ecuación?
La elipse se vuelve vertical: el número mayor (a²) pasa a estar debajo de (y − k)². Regla de oro: el denominador mayor manda; donde esté a², ahí está el eje mayor. Si ambos semiejes son iguales, obtienes una circunferencia (c = 0).
Llevar a la práctica

Las 4 ecuaciones ordinarias

ElipseEcuaciónCentroVérticesCovérticesFocos
Horizontal, origen[[x²|a²]] + [[y²|b²]] = 1(0, 0)(±a, 0)(0, ±b)(±c, 0)
Vertical, origen[[x²|b²]] + [[y²|a²]] = 1(0, 0)(0, ±a)(±b, 0)(0, ±c)
Horizontal, C(h, k)[[(x − h)²|a²]] + [[(y − k)²|b²]] = 1(h, k)(h ± a, k)(h, k ± b)(h ± c, k)
Vertical, C(h, k)[[(x − h)²|b²]] + [[(y − k)²|a²]] = 1(h, k)(h, k ± a)(h ± b, k)(h, k ± c)

Ojo con los signos: en (x + 2)² el valor es h = −2.

Calentamiento: ¿horizontal o vertical? ¿Dónde está el centro?

[[x²|12]] + [[y²|20]] = 1
20 > 12 y está bajo y² → vertical, C(0, 0), a² = 20, b² = 12.
[[(x − 1)²|49]] + [[(y + 3)²|9]] = 1
49 > 9 y está bajo x → horizontal, C(1, −3), a = 7, b = 3.
[[x²|4]] + y² = 1
y² = y²/1, y 4 > 1 → horizontal, C(0, 0), a = 2, b = 1.
Llevar a la práctica · Ejemplo guiado

Traza la elipse [[x²|9]] + [[y²|16]] = 1

  1. ¿Qué tipo de elipse es?
    Centro en el origen, C(0, 0). El denominador mayor (16) está bajo y² → vertical.
  2. ¿Cuánto valen a y b?
    a² = 16 → a = 4  ·  b² = 9 → b = 3.
  3. ¿Vértices y covértices?
    Vértices (0, a) y (0, −a): (0, 4) y (0, −4).
    Covértices (b, 0) y (−b, 0): (3, 0) y (−3, 0).
  4. Extra: ¿y los focos?
    c² = 16 − 9 = 7 → c = √7 ≈ 2.65. Focos: (0, ±√7).
  5. Traza: marca los 4 puntos y únelos con una curva suave.
    Mira la gráfica de la derecha. ✔
Llevar a la práctica · Ejemplo guiado

Forma Ax² + By² = C:  4x² + 16y² − 64 = 0

Determina el centro, la longitud del lado recto y las coordenadas de los focos.

  1. ¿Por qué el centro está en el origen?
    No hay términos lineales (ni x ni y solas). Por eso C(0, 0).
  2. Pasa el término independiente al otro lado y divide entre él.
    4x² + 16y² = 64 → [[4x²|64]] + [[16y²|64]] = [[64|64]] → [[x²|16]] + [[y²|4]] = 1
  3. ¿Orientación, a y b?
    16 está bajo x² → horizontal. a² = 16 → a = 4; b² = 4 → b = 2.
  4. ¿Focos?
    c² = 16 − 4 = 12 → c = √12 = 2√3 ≈ 3.46. Focos: (−2√3, 0) y (2√3, 0).
  5. ¿Lado recto?
    LR = [[2b²|a]] = [[2(4)|4]] = 2.
Llevar a la práctica · Tu turno (3 min)

Resuelve: 25x² + 9y² = 225

Encuentra orientación, vértices, covértices, focos, lado recto y excentricidad. Después trázala.

Divide entre 225: [[x²|9]] + [[y²|25]] = 1 → vertical (25 bajo y²).

a = 5, b = 3, c² = 25 − 9 = 16 → c = 4.

Vértices: (0, ±5) · Covértices: (±3, 0) · Focos: (0, ±4)

LR = 2(9)/5 = 18/5 = 3.6 · e = 4/5 = 0.8

Llevar a la práctica · Centro fuera del origen

El túnel elíptico

Un túnel de carretera tiene forma de media elipse. Se conocen: Vértice (5, 9) Foco (5, 6) Centro (5, 4). Calcula la altura, el ancho y la ecuación.

  1. ¿Horizontal o vertical?
    El vértice y el foco están arriba del centro (misma x) → eje mayor vertical → [[(x − h)²|b²]] + [[(y − k)²|a²]] = 1.
  2. Altura del túnel (a)
    a = 9 − 4 = 5 → a² = 25. Altura = 5 m.
  3. Calcula c y luego b
    c = 6 − 4 = 2. b² = a² − c² = 25 − 4 = 21 → b = √21.
  4. Ancho del túnel (eje menor)
    2b = 2√21 ≈ 9.165 → Ancho ≈ 9.2 m.
  5. Ecuación
    [[(x − 5)²|21]] + [[(y − 4)²|25]] = 1
Llevar a la práctica

Dado el centro, el extremo de un eje y la longitud del otro eje

Estrategia: calcula la distancia del centro al extremo (semieje), divide entre 2 la longitud del otro eje, y el mayor de los dos es a.

Caso A. Centro (−2, 1), un eje tiene un extremo en (4, 1) y el otro eje mide 6.
Del centro a (4, 1): 4 − (−2) = 6 (horizontal). Otro semieje: 6/2 = 3 (vertical).
6 > 3 → a = 6 horizontal, b = 3.
[[(x + 2)²|36]] + [[(y − 1)²|9]] = 1
Caso B (¡cuidado!). Centro (1, −2), un eje tiene un extremo en (1, 0) y el otro eje mide 10.
Del centro a (1, 0): 0 − (−2) = 2 (vertical). Otro semieje: 10/2 = 5 (horizontal).
5 > 2 → el punto dado era un covértice. a = 5 horizontal, b = 2.
[[(x − 1)²|25]] + [[(y + 2)²|4]] = 1
Pregunta rápida: en el Caso B, ¿por qué no podemos poner el 4 bajo (x − 1)² “porque el punto dado está en vertical”?
Porque la dirección del punto dado solo nos dice qué semieje es vertical (2). La horizontal mide 5, y lo que va debajo de (x − h)² es el cuadrado del semieje horizontal: 25. Cada cuadrado va con su dirección.
Llevar a la práctica · Práctica 1 (12 min)

Hoja de práctica: ejercicios 1 a 5

Resuelve en tu cuaderno o en la hoja impresa. Revela cada respuesta solo después de intentarlo.

1. Traza 9x² + 25y² = 225.
[[x²|25]] + [[y²|9]] = 1, horizontal. a = 5, b = 3, c = 4. V(±5, 0), CV(0, ±3), F(±4, 0).
2. Focos de 16x² + y² = 16.
x² + [[y²|16]] = 1, vertical. a = 4, b = 1, c = √15. F(0, ±√15) ≈ (0, ±3.87).
3. Centro, vértices y focos de [[(x + 2)²|16]] + [[(y − 3)²|25]] = 1.
Vertical. C(−2, 3), a = 5, b = 4, c = 3. V(−2, 8), V(−2, −2); F(−2, 6), F(−2, 0).
4. Centro (3, −1), un eje con extremo en (3, 5), el otro eje mide 8.
Semieje vertical 6, horizontal 4 → a = 6 vertical. [[(x − 3)²|16]] + [[(y + 1)²|36]] = 1.
5. Focos (−1, 2) y (7, 2), eje mayor 10.
C(3, 2), c = 4, a = 5, b² = 25 − 16 = 9. [[(x − 3)²|25]] + [[(y − 2)²|9]] = 1.
Llevar a la práctica · Ecuación general

De la forma general a la ordinaria

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0

con A ≠ C, y A > 0, C > 0 (mismo signo). Herramienta: completar cuadrados.

Ejemplo: 3x² + 2y² + 6x − 8y − 13 = 0. Encuentra centro, eje mayor y orientación.

  1. Agrupa y factoriza los coeficientes de x² y y².
    (3x² + 6x) + (2y² − 8y) = 13 → 3(x² + 2x) + 2(y² − 4y) = 13
  2. Completa cuadrados (¡suma lo mismo del otro lado, multiplicado por el factor!).
    3(x² + 2x + 1) + 2(y² − 4y + 4) = 13 + 3(1) + 2(4)
    → 3(x + 1)² + 2(y − 2)² = 24
  3. Divide entre 24 para obtener el 1.
    [[(x + 1)²|8]] + [[(y − 2)²|12]] = 1
  4. Interpreta.
    12 > 8 y está bajo (y − 2)² → vertical. Centro C(−1, 2). a² = 12 → a = 2√3; b² = 8 → b = 2√2.
    Eje mayor = 2a = 4√3 ≈ 6.93.
Llevar a la práctica

De la ordinaria a la general (y tu turno)

Ejemplo: [[(x − 4)²|16]] + [[(y + 3)²|25]] = 1
  1. Multiplica por 16·25 = 400.
    25(x − 4)² + 16(y + 3)² = 400
  2. Desarrolla los binomios.
    25(x² − 8x + 16) + 16(y² + 6y + 9) = 400
    25x² − 200x + 400 + 16y² + 96y + 144 = 400
  3. Iguala a cero y ordena.
    25x² + 16y² − 200x + 96y + 144 = 0
Tu turno 1 (4 min): encuentra centro, vértices y focos de
9x² + 4y² − 36x + 8y + 4 = 0
9(x² − 4x + 4) + 4(y² + 2y + 1) = −4 + 36 + 4 = 36
→ [[(x − 2)²|4]] + [[(y + 1)²|9]] = 1, vertical.
C(2, −1), a = 3, b = 2, c = √5.
V(2, 2) y V(2, −4) · F(2, −1 ± √5)
Tu turno 2: los focos están en (2, −3) y (2, 7) y el eje mayor mide 26. Escribe la ecuación.
Centro = punto medio = (2, 2). c = 5 (vertical). a = 13. b² = 169 − 25 = 144.
[[(x − 2)²|144]] + [[(y − 2)²|169]] = 1
Activar el diálogo

Discute con tu compañero (5 min)

1. ¿Qué le pasa a la elipse si a = b? ¿Qué figura obtienes y dónde quedan los focos?
Obtienes una circunferencia (Tema 5): c² = a² − a² = 0, los dos focos se juntan en el centro y e = 0. En la forma general, eso pasa cuando A = C; por eso la elipse exige A ≠ C.
2. Si dejas fijo a y haces que c se acerque cada vez más a a, ¿cómo cambia la forma?
b² = a² − c² se acerca a 0: la elipse se aplasta hasta parecer un segmento, y e = c/a se acerca a 1. Pruébalo en el laboratorio.
3. ¿Qué crees que pasa si en Ax² + Cy² + … = 0 los coeficientes A y C tienen signos distintos?
Ya no es una elipse: aparece una hipérbola (Tema 8), donde la que es constante es la diferencia de distancias a los focos, no la suma.
Retroalimentar

¿Detectas el error?

Error 1. “En [[x²|9]] + [[y²|16]] = 1, a = 3 porque está debajo de x.”
a no depende de la letra, sino del tamaño: a siempre es el mayor. Aquí a² = 16, a = 4, y la elipse es vertical.
Error 2. “Con a = 5 y b = 3, c² = 25 + 9 = 34.”
En la elipse es una resta: c² = a² − b² = 16, c = 4. Si sumas, el foco queda fuera de la elipse, lo cual es imposible.
Error 3. “3(x² + 2x + 1) = 13 + 1”
El 1 está dentro del paréntesis multiplicado por 3, así que en realidad sumaste 3(1) = 3. Del otro lado debe ir 13 + 3.
Error 4. “En (x + 2)² + … el centro tiene h = 2.”
La forma es (x − h)². Como x + 2 = x − (−2), entonces h = −2.
Retroalimentar · Práctica 2 (10 min)

Hoja de práctica: ejercicios 6 a 10

6. Centro, vértices y focos de 4x² + 9y² − 16x + 18y − 11 = 0.
[[(x − 2)²|9]] + [[(y + 1)²|4]] = 1, horizontal. C(2, −1), a = 3, b = 2, c = √5. V(5, −1), V(−1, −1); F(2 ± √5, −1).
7. Traza 25x² + 4y² + 100x − 8y + 4 = 0.
[[(x + 2)²|4]] + [[(y − 1)²|25]] = 1, vertical. C(−2, 1), V(−2, 6), V(−2, −4), CV(0, 1), CV(−4, 1).
8. Focos de x² + 4y² − 6x + 16y + 21 = 0.
[[(x − 3)²|4]] + [[(y + 2)²|1]] = 1, horizontal. c = √3. F(3 ± √3, −2).
9. Forma general de [[(x + 1)²|9]] + [[(y − 4)²|25]] = 1.
25x² + 9y² + 50x − 72y − 56 = 0
10. Litotriptor: sección [[x²|169]] + [[y²|25]] = 1 (cm). ¿A qué distancia del emisor debe estar el cálculo renal?
c² = 169 − 25 = 144 → c = 12. Emisor y cálculo van en los focos (±12, 0): distancia 24 cm. e = 12/13.
Anclar el propósito

¿Para qué me sirve saber dónde está un foco?

Medicina

Un litotriptor coloca el emisor en un foco y al paciente en el otro: toda la energía rebota y se concentra en el cálculo renal, sin cirugía.

Ingeniería y arquitectura

Túneles, puentes y bóvedas elípticas reparten mejor el peso. En “salas de susurros” elípticas, lo que dices en un foco se escucha claramente en el otro.

Espacio y tecnología

Satélites de comunicación y GPS siguen órbitas elípticas; calcular a, b y c decide cuándo un satélite pasa más cerca de la Tierra.
Para reflexionar: la elipse “junta” en un foco todo lo que sale del otro. ¿Qué habilidad tuya podrías “enfocar” para que tenga más impacto en tu comunidad?
No hay una única respuesta. Ejemplo: alguien que es bueno explicando puede concentrar ese talento en asesorar a compañeros que van atrasados en matemáticas; el esfuerzo es el mismo, pero dirigido a un punto donde hace la diferencia. Igual que la elipse: no se trata de cuánta energía tienes, sino de hacia dónde la diriges.
Anclar el propósito · Cierre

Lo que te llevas hoy

  • Elipse: suma de distancias a los focos constante = 2a.
  • a siempre es el mayor; el denominador mayor indica la orientación.
  • c² = a² − b² · LR = 2b²/a · e = c/a (entre 0 y 1).
  • General → ordinaria: completar cuadrados y dividir para obtener 1.
  • Ordinaria → general: multiplicar, desarrollar e igualar a cero.
Boleto de salida: sin calcular nada, ¿la elipse [[(x − 3)²|7]] + [[(y + 5)²|11]] = 1 es horizontal o vertical, y cuál es su centro?
Vertical (11 > 7 y está bajo y). Centro (3, −5).

Para reforzar: tarea de ALEKS del Tema 6 (trazar, hallar centro/vértices/focos y escribir ecuaciones).
Referencias: Angel y Runde (2019). Álgebra intermedia. Pearson · Cuéllar (2019). Matemáticas 3. McGraw Hill · Ruiz (2018). Matemáticas 3: Geometría analítica básica. Patria.