Razón de cambio
¿Qué tan rápido cambia algo… y cómo lo medimos con límites?
Al terminar esta clase podrás:
- Calcular la razón de cambio promedio como la pendiente de una recta secante.
- Interpretar la razón de cambio instantánea como un límite: la pendiente de la recta tangente.
- Explicar qué significan el signo y las unidades de tu resultado.
De Guadalajara a Chapala
Haces el viaje en coche: unos 50 km en 1 hora.
1. ¿Ibas a 50 km/h todo el camino?
2. Entonces, ¿qué mide el velocímetro?
La razón de cambio está en todos lados
Es la rapidez con la que ocurre un fenómeno. No siempre implica movimiento:
¿Qué tienen en común todas esas unidades?
Razón de cambio promedio = pendiente de la secante
Toma dos valores: x1 y x1 + h. Evalúa la función en ambos y divide:
Si s = f(t) es la posición de un objeto, este cociente es su velocidad promedio en un intervalo de tamaño h. Gráficamente, es la pendiente de la recta que une los puntos P y Q.
Mueve los deslizadores. ¿Cuándo sale positiva la pendiente cyan y cuándo negativa?
Checkpoint 1: calcula un promedio
Sea f(x) = x². Calcula la razón de cambio promedio entre x = 1 y x = 3.
Aquí x1 = 1 y h = 2 (porque 1 + 2 = 3).
Interpretación: entre x = 1 y x = 3, la función aumenta en promedio 4 unidades por cada unidad que avanza x.
De promedio a instantánea: haz h cada vez más chiquito
f(x) = x², con x1 = 1 fijo. Pendiente de la secante para distintos h:
| h | pendiente secante |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 0.5 | 2.5 |
| 0.1 | 2.1 |
| 0.01 | 2.01 |
| 0.001 | 2.001 |
¿A qué número se acerca la pendiente cuando h → 0?
La razón de cambio instantánea
- Si f es una función de posición, esto es la velocidad instantánea (o simplemente velocidad).
- Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x1, f(x1)).
- Depende de x1: en cada punto puede ser distinta, así que la velocidad instantánea es en sí misma una función.
¿Por qué no simplemente sustituimos h = 0 en el cociente?
El repartidor de tu app de comida
Pides comida en una app de reparto (Uber Eats, Rappi, etc.) y ves una gráfica de la distancia del repartidor a tu casa. Esa distancia es
donde x es el tiempo en minutos y f(x) la distancia en kilómetros.
a) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la distancia entre el minuto 1 y el minuto 2?
x1 = 1 min y x1 + h = 2 min:
El signo negativo indica que la distancia disminuye: tiene sentido, el repartidor se está acercando a tu casa.
El repartidor: ¿qué tan rápido se acerca al minuto 1?
b) Calcula la razón de cambio instantánea de la distancia en x = 1.
con f(1+Δx) = 15 − 2(1+Δx)² y f(1) = 15 − 2(1)² = 13.
Justo al minuto 1, la distancia disminuye a razón de 4 km por minuto.
c) El promedio fue −6 y el instantáneo en x = 1 fue −4. ¿Por qué no coinciden?
El DJ sube el volumen
Al empezar un concierto, el DJ sube el volumen poco a poco. El volumen (en decibeles) depende del tiempo según
donde x es el tiempo en minutos desde que empieza la música.
a) ¿Con qué rapidez promedio sube el volumen de 1 a 2 minutos?
El volumen aumenta en promedio 5 decibeles por minuto entre el primer y el segundo minuto.
b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del volumen en x = 1?
f(1+Δx) = 20 + 5(1+Δx) y f(1) = 25:
c) Aquí el promedio y el instantáneo salieron iguales. ¿Por qué?
Discute en parejas (2 min por pregunta)
1. Si tu promedio Guadalajara–Chapala fue de 50 km/h, ¿hubo algún momento en que el velocímetro marcara exactamente 50? ¿Cómo lo defenderías?
2. “Instante” significa que no pasa tiempo. Si no pasa tiempo, no hay desplazamiento… ¿cómo puede existir una velocidad instantánea?
3. ¿Puede una cantidad ser positiva y, al mismo tiempo, tener una razón de cambio negativa? Da un ejemplo.
Un clavadista de La Quebrada, Acapulco
La altura del clavadista sobre el agua es h(t) = 35 − 4.9t², en metros, donde t son los segundos desde que salta.
a) Razón de cambio promedio de la altura entre t = 0 y t = 2 s.
En promedio, durante los primeros 2 segundos baja 9.8 metros por segundo.
b) Razón de cambio instantánea de la altura en t = 2 s.
¡Unos 70 km/h hacia el agua justo a los 2 segundos!
c) ¿Qué significa el signo negativo en ambos resultados?
¿Cuándo creció más rápido el canal?
Una creadora de contenido registró sus seguidores:
| mes | 0 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| seguidores | 1,000 | 1,800 | 6,300 |
a) Calcula la razón de cambio promedio de los meses 0 a 2 y de los meses 2 a 5. ¿En qué periodo creció más rápido?
Creció más rápido de los meses 2 a 5. Ojo: aunque ese periodo ganó más seguidores en total, lo que compara la razón de cambio es el ritmo por mes, no el total.
b) ¿Con esta tabla puedes saber cuántos seguidores por mes ganaba exactamente en el mes 3?
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Comprueba lo que aprendiste
1. La razón de cambio promedio entre dos puntos es la pendiente de la recta ______ que los une.
2. Si f(x) = 3x², usa el límite para hallar la razón de cambio instantánea en x = 2.
f(2) = 3(4) = 12.
3. La temperatura de tu café cambia a razón de −3 °C/min en este momento. ¿Qué está pasando?
Del “en promedio” al “justo ahora”
Saber qué tan rápido cambia algo en este instante es lo que permite reaccionar a tiempo. Donde lo vas a usar:
Ingeniería y robótica
Tu profe estudió Robótica en la UdeG: el controlador de un motor revisa cientos de veces por segundo qué tan rápido cambia la posición del brazo para no pasarse ni quedarse corto.Salud
El ritmo al que baja la concentración de un medicamento en la sangre decide cada cuánto tiempo hay que tomar la siguiente dosis.Negocios y emprendimiento
No basta saber cuánto vendiste: importa si tus ventas crecen o caen, y qué tan rápido, para decidir a tiempo.Deporte y datos
Los chalecos GPS de los equipos profesionales miden la velocidad de cada jugador en cada sprint para cuidar su rendimiento.Piensa en una meta tuya (escuela, deporte, ahorro, un hobby). ¿Qué te dice más de hacia dónde vas: tu promedio o tu razón de cambio de esta semana?
Lo que te llevas hoy
Promedio · secante
Instantánea · tangente
Asegúrate de:
- Comprender el concepto de razón de cambio.
- Aplicar e interpretar las razones de cambio en situaciones de la vida real (con su signo y sus unidades).
Si el límite te pareció laborioso, tranquilo: más adelante verás herramientas que lo hacen mucho más rápido.
Para repasar
Video: Alejandro Sandoval Santana (2020). Razón de cambio. https://youtu.be/TmbPA_R4P8M
Simulador: Avendaño, A. (s.f.). Tasa de variación o razón de cambio: Aplicación. https://www.geogebra.org/m/jqxYuFPn
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Referencias: Rojas, C. (2022). Cálculo diferencial e integral Módulo I. Red educativa digital Descartes. · Stewart, J. (2021). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Cengage. · Siguiente tema: T7 · Rectas.