Lugares geométricos en el plano

Sistema de coordenadas rectangulares

Dos rectas perpendiculares numeradas que se cortan en el origen.

El eje horizontal es el eje x o de las abscisas, positivo a la derecha. El vertical es el eje y o de las ordenadas, positivo hacia arriba. Entre los dos parten el plano en cuatro cuadrantes, numerados I, II, III y IV en sentido contrario a las manecillas del reloj empezando arriba a la derecha.

Con solo mirar los signos de un punto ya sabes en qué cuadrante cae.

Lugar geométrico

El conjunto de todos los puntos que cumplen una misma condición.

Es el nombre del tema y la idea que va a sostener todo el curso. Una figura no es un dibujo: es una condición. Los puntos que están a la misma distancia de dos extremos forman la mediatriz; los que están a distancia fija de un centro forman una circunferencia. Elipse, parábola e hipérbola se definen exactamente igual.

Ejemplo · El punto (3, 4) está a distancia 5 del origen y también a distancia 5 de (7, 1). Todos los puntos que cumplen eso forman una recta: la mediatriz del segmento.

Distancia entre dos puntos

Pitágoras aplicado al triángulo que forman las diferencias de coordenadas.

Traza dos líneas imaginarias paralelas a los ejes y aparece un triángulo rectángulo donde el segmento que une los puntos es la hipotenusa. Los catetos son las diferencias de las coordenadas, así que la distancia sale directo de c² = a² + b². Es la operación que se ejecuta más veces por segundo en el mundo: repartidores, drones, buscadores de imágenes.

El cuadrado borra el signo, así que restar al derecho o al revés da lo mismo. Si los puntos comparten una coordenada, basta con la resta en valor absoluto.

Ojo · √(a² + b²) no es a + b. Con 3 y 4 da 5, no 7. Si te sale 7, sumaste catetos en lugar de aplicar Pitágoras. Y sustituye siempre con paréntesis: perder un signo en un negativo es el error número uno del tema.

Perímetro de un polígono

La suma de todos sus lados, incluido el que cierra la figura.

Calculas la distancia entre cada par de vértices consecutivos y sumas. Con cuatro vértices hay cuatro lados: A→B, B→C, C→D y D→A. Antes de calcular, revisa si algún lado tiene los vértices alineados: ahí te ahorras la raíz porque basta una resta.

Ojo · El lado que más se olvida es el último, el que regresa al primer vértice. Cuenta los lados antes de empezar y ve tachándolos.

Área por descomposición en triángulos

Partes el polígono en triángulos y sumas sus áreas.

Cualquier polígono se puede rebanar en triángulos, y el área del triángulo ya la conoces: base por altura entre dos. Conviene elegir una diagonal que quede vertical u horizontal, porque entonces base y altura salen de simples restas de coordenadas.

Área por determinante

Acomodas las coordenadas en columna, repites el primer vértice y multiplicas en diagonal.

Partir en triángulos funciona, pero con ocho lados se vuelve un martirio. El determinante lo resuelve de un golpe: las diagonales hacia abajo se suman, las diagonales hacia arriba se restan, y el resultado se divide entre dos en valor absoluto. Repetir el primer vértice hasta abajo no es un capricho: es lo que cierra el polígono.

Con n vértices, el arreglo lleva n + 1 renglones. Si te falta esa fila, el área sale mal sin que nada te avise.

Ojo · Los vértices se listan siguiendo el perímetro y todos en el mismo sentido. En desorden el determinante calcula obedientemente el área de un moño, no la de tu terreno.

Qué esconde el valor absoluto

El signo del determinante dice en qué sentido recorriste los vértices.

Si los listas en contra de las manecillas del reloj el resultado sale positivo, y a favor sale negativo. Un área no puede ser negativa, por eso van las barras. Pero ese signo no es basura: en gráficos por computadora sirve para saber qué cara de un polígono estás viendo.

Ejemplo · Área cero no es un error: significa que los puntos son colineales. Es la forma más rápida de comprobar si tres puntos están sobre la misma recta.

Cambio de escala

Al cambiar de unidades, el área se multiplica por el cuadrado del factor.

Si cada unidad del plano vale 10 metros, cada unidad cuadrada vale 10 × 10 = 100 m². Un terreno de 14.5 u² son 1 450 m², no 145. Es el paso donde más gente se equivoca al pasar del plano al mundo real.

Ojo · Perímetro en u o m; área en u² o m². Escribir "el área es 15 u" deja la respuesta incompleta aunque el número esté bien.

Punto medio

Es un promedio: promedias las x y promedias las y.

El punto medio parte un segmento en dos pedazos iguales, y se calcula promediando coordenada por coordenada. Nada más. La ventaja práctica es que se puede verificar a ojo: si el punto que calculaste no cae visiblemente entre los dos extremos, la aritmética salió mal.

Ejemplo · También funciona al revés: si sabes el punto medio y un extremo, despejas el otro. De A a M avanzaste 4 en x y 6 en y; para llegar a B repites exactamente ese avance.

Ojo · Es una suma dividida entre dos, no una resta. Si restas obtienes un cateto, que es otra cosa.

Razón

Una comparación entre dos cantidades hecha con una división.

Cuando dices "tres de agua por uno de concentrado" ya diste una razón: 3 a 1, que se escribe 3:1 o 3/1. Es lo mismo que hay detrás de una pantalla 16:9, de una escala 1:50 000 o de la mezcla de un bulto de cemento por tres de arena. Lo único que hay que tener claro es qué se compara con qué: una razón compara un pedazo contra el otro pedazo, nunca contra el total.

Ejemplo · En la razón 3:1 hay cuatro partes en total, no tres: el agua es 3 de 4. Ese salto de "3 a 1" a "3 de 4" es el que se atora, y es exactamente el mismo que hace falta para entender r.

Ojo · Razón no es lo mismo que fracción del total. 3:1 no significa "tres cuartas partes" ni "tres de tres": significa que la primera cantidad es el triple de la segunda.

Fracción del camino (t)

Qué parte del segmento completo llevas avanzada desde A.

El punto medio se puede leer como un recorrido: arranca en A y avanza la mitad del camino. Escrito así, P = A + t(B − A), donde t es la fracción avanzada: t = 0 te deja en A, t = 1 en B y t = ½ en el punto medio. Es la fórmula con la que un editor de video calcula los cuadros intermedios de una animación, y es el puente entre el punto medio y la razón.

Si el segmento se parte en a + b partes y avanzaste a de ellas, t = a/(a + b).

Ojo · t y r son dos números distintos y por eso se confunden: t compara un pedazo con el total, r compara los dos pedazos entre sí. r = 1/2 corresponde a t = 1/3, no a t = 1/2.

División de un segmento en una razón dada

Cuando el reparto no es mitad y mitad, r dice qué tan desigual es.

El punto P parte el segmento AB en dos pedazos que no tienen que medir lo mismo. La razón r = AP/PB los compara. Si r = a/b, el segmento queda dividido en a + b partes. Cuando r = 1 los dos pedazos son iguales y la fórmula se convierte exactamente en la del punto medio.

Ejemplo · Con r = 1/2 el segmento queda en 3 partes y P cae a un tercio de A, no a la mitad. De A a P hay la mitad de lo que hay de P a B.

Ojo · r = 1/2 NO es el punto medio: el punto medio es r = 1. Es el error número uno del subtema. Y el orden importa: AP/PB no es lo mismo que BP/PA.

De dónde sale la fórmula de la razón

Es la del punto medio con ½ cambiado por t, y t escrito en términos de r.

Paso 1: el punto medio es x = x₁ + ½(x₂ − x₁), que desarrollado da (x₁ + x₂)/2. Paso 2: cambia ½ por una fracción cualquiera t. Paso 3: si r = a/b, avanzaste a de las a + b partes, así que t = r/(1 + r); sustituye y saca denominador común. El 1 + r del denominador no es un adorno: es el total de partes del camino, contado en tamaños de b.

Ejemplo · Traducir el enunciado es el paso que más cuesta: "al doble de lejos de A que de B" es r = 2; "tres veces más cerca de A" es r = 1/3; "en la razón 2 a 3 desde A" es r = 2/3; "a un tercio del camino" es t = 1/3, que se convierte a r = 1/2.