Pendiente de la línea recta

Pendiente (m)

Cuánto sube o baja una recta por cada unidad que avanza.

Es una razón, no una medida: compara dos cambios de posición, el vertical contra el horizontal. Por eso una rampa que sube 1.5 m en 8 m y otra que sube 2 m en 12 m se pueden comparar aunque no midan lo mismo — basta con dividir. El material del curso la define como la razón de crecimiento constante o promedio de los puntos de la recta.

La letra griega Δ (delta) se lee "cambio en". Δy es cuánto cambió la y; Δx, cuánto cambió la x.

Ejemplo · Una rampa que sube 0.6 m a lo largo de 8 m tiene m = 0.6 / 8 = 0.075: por cada metro que avanzas, subes 7.5 centímetros.

Ojo · m no trae unidades de longitud, trae las unidades de y sobre las de x. Si el problema tiene contexto, la respuesta completa las incluye: 15 litros por minuto, 500 pesos por mes.

Fórmula de la pendiente con dos puntos

Restas las y arriba, restas las x abajo, y siempre empiezas por el mismo punto.

En geometría analítica no te dan "elevación" y "avance": te dan dos puntos. La resta de sus ordenadas es el cambio vertical y la de sus abscisas el cambio horizontal. El orden en que tomes los puntos no importa mientras seas consistente arriba y abajo: si volteas los dos, los dos signos cambian y la fracción da lo mismo.

Memorízala por la estructura, no por las letras: arriba las y, abajo las x, y el mismo punto primero en las dos restas.

Ejemplo · Con A(−2, 1) y B(4, 5): m = (5 − 1) / (4 − (−2)) = 4/6 = 2/3 ≈ 0.67. Por cada 3 que avanzas a la derecha, la recta sube 2.

Ojo · Tres errores viven aquí: voltear la fracción (Δx/Δy), mezclar el orden (y₂ − y₁ arriba pero x₁ − x₂ abajo, que invierte el signo) y perder el doble signo al restar un negativo. Escribe siempre el paréntesis: 4 − (−2) = 6, no 2.

Forma pendiente-intersección

La ecuación de la recta donde la pendiente y el cruce con el eje y están a la vista.

Una recta es una sucesión infinita de puntos que cumplen la misma ecuación, y con dos de ellos queda determinada. En esta forma, m decide qué tan inclinada está y hacia dónde va, y b decide a qué altura cruza el eje vertical: m la gira, b la sube o la baja.

b es la ordenada del punto (0, b), donde la recta corta el eje y.

Ejemplo · En y = −5x + 6 no hay nada que calcular: m = −5 (baja, y baja rápido) y la recta cruza el eje y en (0, 6).

Los cuatro comportamientos de m

Positiva sube, negativa baja, cero es horizontal e indefinida es vertical.

Antes de calcular deberías poder anticipar el signo con solo ver la recta, y esa lectura rápida es la que salva tiempo en el examen. Ojo con los dos casos extremos, que no son lo mismo: en la horizontal Δy = 0, así que m = 0/Δx = 0; en la vertical Δx = 0 y la división entre cero simplemente no existe.

Ojo · Para una recta vertical la respuesta correcta es "la pendiente no está definida", nunca "m = ∞" ni "m = 0". Cero es un valor; indefinida es la ausencia de valor.

La pendiente no depende de qué puntos elijas

Dos puntos cualesquiera de la misma recta dan la misma pendiente.

Los triángulos que forman dos pares distintos de puntos sobre una misma recta son semejantes: tienen los mismos ángulos, así que sus lados son proporcionales y la razón Δy/Δx sale idéntica. La pendiente es una propiedad de la recta completa, no de los puntos que escogiste.

Ejemplo · Cuando te den una recta dibujada, elige los dos puntos que caigan justo en cruces de la cuadrícula: te ahorras decimales y el resultado es el mismo.

Ángulo de inclinación (θ)

El ángulo que forma la recta con la horizontal, medido en sentido contrario al reloj.

Se mide desde el eje x, o desde cualquier paralela a él, girando contra las manecillas del reloj hasta topar con la recta. Su rango es de 0° a 180° y no de 0° a 360°, porque una recta no apunta a ningún lado: es la misma recta si la recorres en un sentido o en el otro.

Entre 0° y 90° la recta sube; en 90° es vertical; entre 90° y 180° baja.

Ojo · Un ángulo de inclinación nunca es negativo. Si tu respuesta final es −56.31°, la operación estuvo bien pero falta el ajuste.

La pendiente es la tangente del ángulo

m = tan θ conecta el número con el ángulo.

El triángulo de pendiente es un triángulo rectángulo: Δy es el cateto opuesto a θ y Δx el adyacente. Como la tangente es opuesto entre adyacente, tan θ = Δy/Δx, que es justo la pendiente. Las dos ideas eran la misma cosa vista desde ángulos distintos.

Si m es negativa, la calculadora devuelve un ángulo entre −90° y 0°: súmale 180° para caer en el rango correcto.

Ejemplo · θ = 60° → m = tan 60° = 1.732. Al revés, m = −1.5 → Tan⁻¹(−1.5) = −56.31°, y sumando 180° queda θ = 123.69°.

Ojo · Antes de tocar la calculadora, comprueba que esté en modo DEG: si tan 45° no da exactamente 1, está en radianes y todo el examen sale mal sin que te des cuenta.

Pendiente en porcentaje

El mismo número, multiplicado por 100, que es como se dice fuera del salón.

Nadie en una obra dice "la pendiente es 0.08": dice "8 %". Es la misma razón, expresada como partes por cada cien. Cuidado con la intuición: 100 % no es vertical, es 45°, porque sube exactamente lo mismo que avanza. Y el porcentaje puede crecer sin límite mientras el ángulo nunca llega a 90°.

Ejemplo · Una rampa que sube 45 cm en 6 m: m = 0.45/6 = 0.075 → 7.5 %, y θ = Tan⁻¹(0.075) ≈ 4.29°. Cumple la recomendación de accesibilidad de 8 %, aunque por poco.

Ojo · Dos trampas: leer "8 %" y anotar θ = 8° (el porcentaje es la pendiente, no el ángulo), y dividir centímetros entre metros. Unifica unidades antes de dividir, siempre.

Despejar una coordenada que falta

Si conoces cuatro de los cinco elementos de la fórmula, el quinto se despeja.

La fórmula de la pendiente tiene cinco piezas: m, x₁, y₁, x₂ y y₂. Los reactivos de examen suelen darte la pendiente y un punto y pedirte la coordenada faltante, que es exactamente la misma fórmula leída al revés.

Ejemplo · Con m = −4 y el punto final F(4, −6), la temperatura inicial I(0, y₁) sale de −4 = (−6 − y₁)/(4 − 0): (−4)(4) = −6 − y₁, −16 + 6 = −y₁, y₁ = 10 °C.

Ojo · Escribe el despeje completo aunque lo veas fácil: en el examen se califica el procedimiento, y los despejes de una sola línea son donde más puntos se pierden.

Rectas paralelas

Misma inclinación, misma pendiente.

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma dirección y nunca se cruzan, sin importar en qué zona del plano vivan. Como la inclinación es la pendiente, el criterio numérico es directo. Dos rectas verticales también son paralelas, aunque ninguna tenga pendiente definida: ese caso se justifica geométricamente.

Ejemplo · L₁ por (0, 1) y (2, 5) da m₁ = 2; L₂ por (1, −3) y (4, 3) da m₂ = 2. Son paralelas.

Ojo · Si además de la misma pendiente comparten un punto, no son paralelas: son la misma recta (rectas coincidentes).

Rectas perpendiculares

Pendientes recíprocas y de signo contrario; su producto da −1.

Se cruzan formando 90°. Para obtener la pendiente perpendicular haces dos movimientos: volteas la fracción y le cambias el signo. La razón es geométrica: al girar el triángulo de pendiente un cuarto de vuelta, el cateto horizontal se vuelve vertical —de ahí el recíproco— y el avance queda hacia el lado contrario —de ahí el cambio de signo.

Ejemplo · m = 3/4 → voltea a 4/3 → cambia el signo: −4/3. Comprobación: (3/4)(−4/3) = −1.

Ojo · Cambiar solo el signo no basta: −2 no es perpendicular a 2, porque su producto es −4 y no −1. Y cuando una recta es vertical, la fórmula del producto no aplica: ese caso se resuelve por geometría, no con números.

Construir la ecuación con m y un punto

Sustituyes el punto en y = mx + b y la única incógnita que queda es b.

Es el procedimiento estrella del tema y aparece en casi todos los exámenes: consigues m (con dos puntos, o con la condición de paralelismo o perpendicularidad respecto de otra recta), escribes y = mx + b con esa m, metes las coordenadas del punto y despejas b.

Ejemplo · m = 3 y P(2, 1): 1 = 3(2) + b → 1 = 6 + b → b = −5, así que y = 3x − 5.

Ojo · Con P(2, 1) el 2 es x y el 1 es y: meterlos al revés cambia todo. Y al despejar, un −3/5 que pasa al otro lado se vuelve +3/5. Comprueba tu respuesta sustituyendo el punto original.

Recta horizontal: y = b

Todos sus puntos tienen la misma y; su pendiente vale cero.

La gráfica de y = b es siempre una recta horizontal, paralela al eje x, para cualquier número b. No es una excepción a la forma pendiente-intersección: es el caso en que m = 0, o sea y = 0·x + b.

Ejemplo · y = 6 pasa por (−4, 6), (0, 6), (3, 6)… La x puede valer lo que sea; la y no se mueve.

Recta vertical: x = a

Todos sus puntos tienen la misma x; su pendiente no está definida.

La gráfica de x = a es siempre una recta vertical, paralela al eje y. Esta sí es una excepción de verdad: no existe ningún valor de m que produzca una recta vertical, así que x = a no se puede escribir en la forma y = mx + b por más que lo intentes.

Ejemplo · x = −2 pasa por (−2, 5), (−2, 0), (−2, −8). Y una vertical con una horizontal siempre son perpendiculares: x = 5 y y = −7 se cruzan en (5, −7) formando 90°.

Ojo · Que la pendiente no exista no significa que la recta no exista ni que su ángulo no exista: θ = 90° es un número perfectamente definido.

Colinealidad

Tres puntos están alineados si la pendiente no cambia al pasar por el de en medio.

Si A, B y C están sobre una misma recta, el tramo de A a B y el de B a C tienen que tener la misma inclinación. Comparten el punto B, así que basta comparar dos pendientes para decidir sin dibujar nada.

Ejemplo · A(−3, −4), B(0, −2) y C(6, 2): m(AB) = 2/3 y m(BC) = 4/6 = 2/3. Iguales, así que sí están alineados.

Ojo · Simplifica antes de comparar: 4/6 y 2/3 son la misma pendiente aunque se vean distintas. Si dudas, pasa las dos a decimal.

Clasificar figuras con pendientes

Las pendientes deciden la forma; las distancias deciden el tamaño.

Con las pendientes de los lados detectas paralelismo (lados opuestos con la misma m) y ángulos rectos (lados consecutivos cuyo producto da −1). Eso te lleva hasta "paralelogramo" o "rectángulo", pero para distinguir un rectángulo de un cuadrado hace falta medir, y ahí entra la fórmula de distancia del Tema 1.

Ejemplo · A(−2, −1), B(4, 1), C(3, 4), D(−3, 2): m(AB) = m(CD) = 1/3 y m(BC) = m(DA) = −3, así que es un paralelogramo; y (1/3)(−3) = −1, así que es un rectángulo. Como AB ≈ 6.32 y BC ≈ 3.16, no es cuadrado.

Ojo · Para buscar el ángulo recto de un triángulo, multiplica solo pendientes de lados que compartan un vértice. Ese vértice compartido es donde está el ángulo recto.