Formas de la ecuación de la recta

Forma punto-pendiente

La ecuación de la recta cuando conoces su pendiente y un punto por el que pasa.

Sale de la definición misma de pendiente: entre el punto fijo (x₁, y₁) y cualquier otro punto (x, y) de la recta, la razón (y − y₁)/(x − x₁) siempre vale m. Multiplicas los dos lados por (x − x₁) y ya está. Léela así: (x₁, y₁) es el ancla —un punto por el que sí pasa la recta— y m es la inclinación con la que sale de ahí. Un ancla y una dirección definen una recta completa.

(x₁, y₁) es el punto conocido y m la pendiente. Como cada punto de la recta sirve de ancla, una misma recta tiene infinitas ecuaciones punto-pendiente, y todas son correctas.

Ejemplo · Con m = −3 y el punto (2, −5): y − (−5) = −3(x − 2), que se simplifica a y + 5 = −3(x − 2).

Ojo · El error más frecuente del tema: la coordenada negativa que se come un signo. Con el punto (−5, 3) la fórmula pide (x − (−5)), o sea (x + 5), no (x − 5). Escribe siempre el paréntesis doble antes de simplificar; es feo, pero te salva. Y recuerda que los signos que ves en la ecuación son los contrarios a las coordenadas del ancla: y + 4 = 2(x − 3) ancla en (3, −4).

Forma de dos puntos

Punto-pendiente con la pendiente ya sustituida, para cuando no te dan m.

No es una fórmula nueva. Si te dan dos puntos y no la pendiente, primero la calculas con la fórmula del Tema 2 y luego usas punto-pendiente; escribir las dos ideas juntas da esta forma. Cualquiera de los dos puntos puede ser el ancla: ambos están sobre la recta, así que las dos ecuaciones que salen describen la misma.

Regla práctica: escribe x₁, y₁, x₂, y₂ en una línea aparte antes de sustituir. La mayoría de los errores de esta forma son de captura, no de razonamiento.

Ejemplo · Con (2, 15 000) y (5, 45 000): m = (45 000 − 15 000)/(5 − 2) = 10 000, y con el primer punto queda y − 15 000 = 10 000(x − 2). La pendiente es el incremento promedio mensual.

Ojo · La pendiente de cabeza: con (1, 4) y (3, 10), m no es (3 − 1)/(10 − 4). Arriba van las y. Lo que no puedes hacer nunca es mezclar —la x de un punto con la y del otro— ni invertir el orden solo en el numerador: eso cambia el signo y refleja la recta.

Trazar desde punto-pendiente: ancla y escalera

El punto dice dónde empiezas; la pendiente, la escalera que subes o bajas.

La forma punto-pendiente te regala el dibujo sin despejar nada. Lees el ancla del paréntesis, cambiándole el signo, y marcas ese punto. Después lees la pendiente como fracción: el denominador es lo que avanzas a la derecha y el numerador lo que subes (o bajas, si es negativa). Llegas a un segundo punto, unes los dos y extiendes.

Ejemplo · Desde (−1, 2) avanzas 4 y subes 3: llegas a (3, 5). Con esos dos puntos ya tienes la recta.

Ojo · Si la pendiente es entera, como m = 4, escríbela como 4/1: avanzas 1 y subes 4. Y el signo negativo va en el movimiento vertical, no en el horizontal.

Ordenada al origen (b)

La coordenada y del punto donde la recta cruza el eje y: el punto (0, b).

En ese punto la x vale cero, y de ahí sale el atajo más útil de la sesión: si el punto que te dan tiene x = 0, su coordenada y ya es la b y no hay que despejar nada. En el plan de telefonía, b es la renta fija que pagas aunque uses 0 GB.

Ejemplo · El alpinista mide −5 °C al pie de la montaña, que es altura 0: el punto es (0, −5), así que b = −5 directamente.

Ojo · (7, 0) y (0, 7) no son lo mismo. El cruce con el eje y tiene la x en cero; el que tiene la y en cero es el cruce con el eje x, la abscisa al origen.

Forma pendiente-ordenada al origen

y = mx + b: la forma que se lee de un vistazo y con la que se grafica rápido.

m decide la inclinación y b la altura a la que la recta cruza el eje vertical: con b la recta sube o baja completa sin inclinarse, y con m gira, pero el cruce con el eje y se queda clavado. Cuando te dan la pendiente y un punto cualquiera, sustituyes el punto y despejas b; cuando te dan una ecuación revuelta, despejas y.

También se le llama forma pendiente-intersección. No sirve para las rectas verticales, porque ahí la pendiente no existe: esa es su única limitación, y la razón de ser de la forma general.

Ejemplo · De 3x − 2y = 18: −2y = −3x + 18 → y = (3/2)x − 9. Entonces m = 3/2 y corta el eje y en (0, −9).

Ojo · Dividir a medias. Al despejar, la división afecta a todos los términos del lado derecho, no solo al de la x: de 4x − 3y = 9 sale y = (4/3)x − 3, no y = (4/3)x + 9.

Forma simétrica

La recta descrita por sus dos cortes con los ejes: x/a + y/b = 1.

a es la abscisa al origen —la x del punto (a, 0)— y b la ordenada al origen —la y del punto (0, b)—. Es la forma más fácil de graficar de todas: marcas los dos cortes y trazas la recta, sin calcular pendiente. Para convertir una ecuación a esta forma, divide todo entre la constante para que el lado derecho quede en 1.

Ni a ni b pueden valer cero, porque no se puede dividir entre cero.

Ejemplo · 2x + 3y = 12, dividida entre 12, da x/6 + y/4 = 1: corta los ejes en (6, 0) y (0, 4).

Ojo · Confundir a con b. El denominador de la x acompaña al punto que tiene y = 0, y el de la y al punto que tiene x = 0. Tres rectas no se pueden escribir así: las que pasan por el origen y las paralelas a cualquiera de los dos ejes, porque solo cortan un eje.

Forma general

Ax + By + C = 0: el formato único que sirve para todas las rectas, verticales incluidas.

Es lo que un GPS, un videojuego o un CAD guarda de una calle: tres números, A, B y C. La razón es práctica: y = mx + b se rompe con las calles verticales porque ahí la pendiente no existe, mientras que la general simplemente hace B = 0. En programación esto se llama representación uniforme: un mismo formato que aguanta todos los casos, incluidos los raros.

Si falta un término, la recta tiene una característica especial: sin C pasa por el origen, sin y es paralela al eje y, y sin x es paralela al eje x.

Ejemplo · De 100x + 5y − 9000 = 0: m = −100/5 = −20 y b = 9000/5 = 1800, o sea y = −20x + 1800. En la nevería, cada peso que sube el precio cuesta 20 ventas.

Ojo · Una misma recta tiene infinitas ecuaciones generales (todas múltiplos entre sí). Por convención se entrega con A positivo y con A, B y C enteros sin factores comunes, igual que una fracción se entrega simplificada.

Forma estándar Ax + By = C

La hermana de la general con la constante del otro lado — y con la b de signo contrario.

Se llaman parecido y las dos aparecen en la tarea, así que se distinguen por dónde está la constante. La pendiente es la misma en ambas, −A/B; lo único que cambia es el signo de la ordenada al origen: −C/B en la general y C/B en la estándar. Para convertir, quita denominadores multiplicando toda la ecuación y deja las variables de un lado.

Si prefieres no memorizar dos reglas, usa una sola estrategia segura: despeja y. Nunca falla.

Ejemplo · 3x + 4y + 12 = 0 da m = −3/4 y b = −3; 3x + 4y = 12 da la misma m pero b = 3.

Ojo · Aplicar b = −C/B a una ecuación que tiene la constante a la derecha. De 2x + 3y = 9 la ordenada es 3, no −3. Y al multiplicar para quitar una fracción, multiplica los dos lados: si un paso no se puede justificar como "hice lo mismo de los dos lados", está mal.

Forma normal y distancia al origen

Describe la recta desde el origen: con qué ángulo la ves y qué tan lejos está.

Las otras formas describen la recta "desde adentro". Esta la mira desde fuera: partiendo de Ax + By = C, divides toda la ecuación entre ±√(A² + B²), eligiendo el signo igual al de C para que el lado derecho quede positivo. Lo que queda a la derecha es d, la distancia perpendicular de la recta al origen, y los coeficientes de x e y son el coseno y el seno del ángulo que forma esa perpendicular con el eje x.

Comprobación gratis: cos²θ + sen²θ tiene que dar 1, porque son el coseno y el seno del mismo ángulo.

Ejemplo · De −12x + 16y − 80 = 0: como Ax + By = C queda −12x + 16y = 80, la raíz vale √400 = 20 y al dividir sale −(3/5)x + (4/5)y = 4. Entonces d = 4, cos θ = −3/5 y sen θ = 4/5.

Ojo · Una distancia nunca es negativa: si te sale d negativa, elegiste mal el signo de la raíz. Y d no es la ordenada al origen: b se mide a lo largo del eje y, mientras que d se mide perpendicular a la recta, que es el camino más corto. Solo coinciden si la recta es horizontal.