Otros conceptos de la línea recta

Distancia de un punto a una recta

La longitud del segmento que va del punto a la recta formando 90° con ella.

Es el cable más barato del ejemplo de clase: el terreno está en un punto, la carretera es la recta y el cable se puede conectar donde sea. Cualquier cable inclinado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto es el cable perpendicular, y en un triángulo rectángulo la hipotenusa siempre es el lado más largo. Por eso no hay que probar los infinitos puntos de la carretera: el más corto es siempre el perpendicular, y es el único que se llama "la distancia".

Ejemplo · Desde el terreno al punto de la carretera que queda justo de frente. Si el ángulo que forma el cable con la carretera no es de 90°, todavía se puede acortar.

Ojo · Confundirla con la distancia al corte con un eje, o con la ordenada al origen. Esas son distancias a puntos concretos; la distancia a una recta se mide perpendicular a ella y solo coincide con b cuando la recta es horizontal.

Fórmula de la distancia punto–recta

Sustituyes el punto en la ecuación, tomas valor absoluto y divides entre √(A² + B²).

La recta tiene que estar en forma general e igualada a cero antes de sustituir: si te la dan como y = 2x + 5, primero la pasas a 2x − y + 5 = 0. De dónde sale la raíz: el par de coeficientes (A, B) apunta perpendicular a la recta, y un "paso (A, B)" mide √(A² + B²) por Pitágoras. El numerador cuenta la separación en pasos y la raíz la convierte a unidades del plano.

(x₁, y₁) es el punto y A, B, C los coeficientes con su signo. Dos comprobaciones gratis: si el punto está sobre la recta el numerador da 0 y la distancia también; y el valor absoluto está porque una distancia nunca es negativa.

Ejemplo · De (2, 1) a 3x + 4y − 15 = 0: |6 + 4 − 15| = 5 y √(9 + 16) = 5, así que d = 5/5 = 1.

Ojo · Dos errores, y son los dos que más aparecen. El primero: sumar A + B en el denominador en vez de √(A² + B²) — de (−2, 3) a 3x + 4y − 12 = 0 el denominador es 5, no 7. El segundo: perder el signo de B al despejar. En y = 2x + 5 la y pasa al otro lado, así que B = −1, no +1. Si la ecuación no está igualada a cero, todavía no puedes sustituir.

El signo: de qué lado queda el punto

Con B > 0, el resultado positivo significa arriba de la recta y el negativo, abajo.

Una recta parte el plano en dos mitades. La expresión Ax + By + C es positiva en toda una mitad, negativa en toda la otra y vale 0 justo en la frontera, que es la recta. Con B > 0 la mitad positiva es la de arriba; si B es negativo, multiplica toda la ecuación por (−1) antes de sustituir y los letreros se acomodan. La recta no cambia al multiplicarla: lo que cambia es cuál mitad llamas positiva.

Es el mismo número del numerador de la distancia, pero antes del valor absoluto. El valor absoluto tira justo esta información, por eso conviene mirarlo antes.

Ejemplo · ¿(−3, 4) está arriba o abajo de 2x − 4y + 12 = 0? Como B = −4 < 0, multiplico por (−1): −2x + 4y − 12 = 0. Sustituyo: 6 + 16 − 12 = 10 > 0, o sea arriba. Comprobación: la recta es y = x/2 + 3, que en x = −3 vale 1.5, y el punto está a la altura 4.

Ojo · Aplicar la regla sin revisar el signo de B. Y ojo con lo que sí y lo que no depende de cómo escribiste la ecuación: "arriba" y "abajo" son etiquetas que se intercambian al multiplicar por (−1); la distancia, por llevar valor absoluto, no cambia nunca.

Distancia entre dos rectas paralelas

Eliges un punto cualquiera de una de ellas y mides su distancia a la otra.

Funciona porque dos paralelas están siempre a la misma separación: da igual qué punto tomes, la respuesta es la misma. Si te dan una recta como y = x/2 + 13/2, pásala primero a forma general. Si las dos ya están en forma general con los mismos A y B, hay un atajo: la distancia es la diferencia de las constantes dividida entre la misma raíz.

Ejemplo · Entre 3x + 4y − 5 = 0 y 3x + 4y + 10 = 0: con el atajo, |−5 − 10| / 5 = 3. Comprobando con el punto (−1, 2) de la primera: |−3 + 8 + 10| / 5 = 15/5 = 3.

Ojo · Usar el atajo cuando los coeficientes no son los mismos. En 2x + y − 4 = 0 y 4x + 2y − 1 = 0 las rectas sí son paralelas, pero la segunda está multiplicada por 2: hay que igualar los coeficientes antes de restar las constantes, o mejor, elegir un punto y usar la fórmula.

Ángulo de inclinación

El ángulo que forma una recta con la horizontal; su tangente es la pendiente.

Es la traducción entre las dos maneras de decir "qué tan inclinada está": la pendiente m es un número y el ángulo θ son grados, y se pasan de uno a otro con la tangente. Es lo que hace posible todo el tema: si cada recta tiene su ángulo con la horizontal, el ángulo entre dos rectas es la diferencia de esos dos ángulos.

La calculadora tiene que estar en modo grados (DEG). En modo radianes tan⁻¹(1) da 0.7854 en vez de 45.

Ejemplo · Una recta con pendiente 1 sube 1 por cada 1 que avanza: tan⁻¹(1) = 45°. Una horizontal tiene m = 0 y ángulo 0°, así que entre ellas hay 45°.

Ojo · Las rectas verticales no tienen pendiente, así que no tienen tan θ: su ángulo de inclinación es 90° y hay que tratarlas por separado, restando inclinaciones en vez de usar la fórmula.

Fórmula del ángulo entre dos rectas

θ = tan⁻¹ de la resta de pendientes entre 1 más su producto, girando de L₁ a L₂.

Sale de la identidad de la tangente de una resta, tan(θ₂ − θ₁), sustituyendo cada tangente por su pendiente. El orden importa: m₁ es la del lado inicial y m₂ la del lado final, y el giro se traza en sentido contrario a las manecillas del reloj. Dibuja el arco antes de sustituir y no te equivocarás de orden.

m₁ es el lado inicial y m₂ el final. Para sacar la pendiente de una forma general, despeja y: es lo único que nunca falla.

Ejemplo · Entre V₁: y = x/3 + 7/3 y V₂: 7x − 7y − 11 = 0. Despejando la segunda: y = x − 11/7, así que m₂ = 1 y m₁ = 1/3. Queda tan⁻¹((1 − 1/3)/(1 + 1/3)) = tan⁻¹((2/3)/(4/3)) = tan⁻¹(1/2) ≈ 26.57°.

Ojo · Tomar el coeficiente A como si fuera la pendiente. En 7x − 7y − 11 = 0 la pendiente es 1, no 7: m = −A/B = −7/(−7) = 1. Y restar al revés en el numerador (m₁ − m₂) cambia el signo del resultado, que es el otro error clásico.

Los dos ángulos del cruce

Dos rectas que se cruzan forman θ y 180° − θ; tan⁻¹ solo devuelve uno de los dos.

En un cruce no aparece un ángulo, aparecen cuatro: dos iguales a θ y dos iguales a su suplemento. Como tan⁻¹ siempre devuelve un valor entre −90° y 90°, la fórmula te entrega uno solo. Si sale negativo no te equivocaste: es el aviso de que el giro antihorario de L₁ a L₂ es el largo, y basta sumarle 180° para tenerlo.

Si el problema dice "de L₁ a L₂", manda ese orden. Si solo pide "el ángulo entre las dos rectas", se reporta el agudo.

Ejemplo · De V₁ a V₂ la fórmula da 26.57°; de V₂ a V₁ da −26.57°, que significa −26.57 + 180 = 153.43°. Las dos describen el mismo cruce, y 26.57 + 153.43 = 180.

Ojo · Entregar un ángulo negativo como respuesta final, o dar por hecho que intercambiar las rectas no cambia nada. Cambia: cada orden recorre uno de los dos ángulos del cruce.

Paralelas y perpendiculares, sin calculadora

Misma pendiente significa 0°; producto de pendientes igual a −1 significa 90°.

Son los dos casos que la fórmula resuelve sola. Si m₁ = m₂, el numerador se anula y θ = 0°: las rectas son paralelas. Si 1 + m₂m₁ = 0 —es decir, m₁·m₂ = −1— el denominador se anula, la división no existe y eso es justo lo que pasa cuando el ángulo es 90°, porque tan 90° no está definida. Mirar el producto de las pendientes es más rápido que calcular nada.

Ejemplo · y = 3x + 2 y y = −x/3 + 5: el producto es 3·(−1/3) = −1, así que son perpendiculares sin necesidad de tan⁻¹. Y para saber si un triángulo es rectángulo basta buscar dos lados cuyo producto de pendientes valga −1.

Ojo · Leer el denominador en cero como "error de la calculadora". No es un error: es la respuesta, y la respuesta es 90°.

Familia de rectas

Un conjunto de rectas que comparten algo y se diferencian en un solo parámetro libre.

En vez de escribir una ecuación por recta, escribes una sola con una letra suelta dentro. Cada valor que le des a esa letra produce un miembro de la familia. La pregunta útil siempre es la misma: qué se queda quieto y qué corre. Es la misma idea que usan las apps de transporte cuando cobran lo mismo por kilómetro en todas las ciudades pero cambian el banderazo.

Ejemplo · y = 9x + b describe la tarifa de todas las ciudades: $9 por kilómetro en todas, y b es el banderazo de cada una.

Ojo · Confundir la familia con uno de sus miembros. y = −3 es una sola recta; y = mx − 3 es toda una familia que la incluye (cuando m = 0).

Familia de paralelas (pendiente fija)

y = mx + b con m fija: todas apuntan igual y solo suben o bajan.

Lo que se queda quieto es la dirección. Al mover b las rectas se desplazan sin girar, como escalones, y por eso son paralelas entre sí. Para escribir la familia de las paralelas a una recta dada, saca su pendiente despejando y, y deja b libre.

Ejemplo · Las paralelas a 3x − 2y + 5 = 0: despejando, y = (3/2)x + 5/2, así que la familia es y = (3/2)x + b.

Ojo · Usar A/B en vez de −A/B, o tomar A como la pendiente. En 3x − 2y + 5 = 0 la pendiente es 3/2, no −3/2 ni 3. Y dos ecuaciones con coeficientes distintos pueden ser paralelas: 2x + y − 4 = 0 y 4x + 2y − 1 = 0 dan la misma pendiente, −2.

Abanico (ordenada al origen fija)

y = mx + b con b fija: todas giran alrededor del mismo punto (0, b).

Aquí lo que se queda quieto es un punto. Al mover m las rectas giran alrededor de (0, b) como las varillas de un abanico, pero ninguna se sale de ahí. No son paralelas: se cruzan todas, y se cruzan en ese punto.

Ejemplo · y = mx + 4 pasa por (0, 4) siempre. y = x + 4 y y = −x + 4 son dos miembros distintos, y se cortan justo en (0, 4).

Ojo · Decir que un abanico es un conjunto de paralelas "porque todas tienen el mismo 4". El 4 fijo es la ordenada al origen, no la pendiente; para ser paralelas se necesita la misma pendiente.

Familia por un punto cualquiera

Si el punto fijo no está sobre el eje y, se usa punto-pendiente con m libre.

Es la generalización del abanico, y no hace falta nada nuevo: es la forma punto-pendiente del Tema 3 con la pendiente sin fijar. El punto (x₁, y₁) es lo que comparten todas las rectas y m es lo que corre. Las dos familias anteriores son casos particulares de la misma idea: algo se queda quieto y un parámetro corre.

Con x₁ = 0 se recupera el abanico y = mx + b, porque el punto fijo cae sobre el eje y.

Ejemplo · Todas las rectas que pasan por (0, −3) forman la familia y = mx − 3, porque pasar por (0, −3) fija la ordenada al origen en −3 y deja la pendiente libre.

Ojo · Creer que la familia cubre absolutamente todas las rectas que pasan por el punto. La vertical x = x₁ también pasa por ahí, pero no tiene pendiente, así que ningún valor de m la produce: se le escapa a la ecuación.