Elementos de la circunferencia, su gráfica y su ecuación en forma ordinaria y general, con el paso de una a otra, el caso de tres puntos y las aplicaciones a la trilateración y la robótica.
📅 29 de septiembre de 2026⏱ 1 sesión · 75 mincircunferenciaelementosecuación ordinariaecuación generalcompletar el cuadradotres puntostrilateración
Lo esencial de esta clase, sin tecnicismos y con el ejemplo que usamos en el salón: cada concepto trae la idea en una frase, la explicación larga, la fórmula tal como se escribe y el error que más se cobra en el examen.
Tema 5 · Sesión 1
Conceptos de Circunferencia explicados como si tuvieras 15 años
9 conceptos · 2 bloques
Imagina que programas una app de mapas y quieres dibujar una glorieta perfectamente redonda. La computadora no ve la glorieta: solo entiende números. ¿Cuántos necesita? Solo dos datos: dónde está el centro y qué tan lejos llega el borde. Eso es una circunferencia: todos los puntos que están exactamente a la misma distancia de un punto fijo. La clase convierte esa frase en una ecuación. Con el centro (h, k) y el radio r se escribe la forma ordinaria, que deja leer los datos a simple vista. Si desarrollas los cuadrados sale la forma general, que es como suele llegar la ecuación en problemas y en software, y de ella se recuperan el centro y el radio con fórmulas o completando cuadrados.
Elementos y ecuación ordinaria
Circunferencia
El conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo, el centro.
Piensa en la taquería que entrega a 3 km a la redonda: todas las casas que están exactamente a 3 km forman la circunferencia; las que están más cerca quedan dentro y las más lejos, fuera. La distancia común se llama radio. No confundas el círculo con la circunferencia: la circunferencia es solo la orilla de la pizza, y el círculo es toda la pizza, el área.
circunferencia = centro + radio
Con esos dos datos queda totalmente determinada. El centro es un punto y el radio, una distancia.
Ejemplo · Con la taquería en (0, 0) y 3 km de radio, la amiga en (−1.8, 2.4) está justo en el borde y la casa en (2, 2.5) queda a 3.20 km, fuera.
Ojo · Decir que el centro pertenece a la circunferencia. No: está a distancia 0 de sí mismo, no a distancia r. El centro sí pertenece al círculo, que es la región.
Elementos de la circunferencia
Radio, diámetro, cuerda, secante y tangente.
El radio une el centro con un punto de la circunferencia. La cuerda es un segmento que une dos puntos de ella, y el diámetro es la cuerda que pasa por el centro, la más larga, de medida 2r. La secante es una recta que la corta en dos puntos y la tangente es una recta que la toca en uno solo.
diámetro = 2r
Ejemplo · Todo diámetro es una cuerda, pero no toda cuerda es un diámetro: solo la que pasa por el centro.
Ojo · Confundir cuerda con secante. La cuerda es un segmento y termina en la circunferencia; la secante es una recta y sigue infinitamente hacia los dos lados.
Ecuación ordinaria de la circunferencia
(x − h)² + (y − k)² = r², con centro en (h, k) y radio r.
Sale de la fórmula de la distancia entre dos puntos: un punto (x, y) está en la circunferencia si su distancia al centro es exactamente r. Se eleva al cuadrado para quitar la raíz, y como r es positivo no se gana ni se pierde ningún punto. Si el centro está en el origen se simplifica a x² + y² = r². Es la forma cómoda para leer datos: el centro y el radio se ven a simple vista.
(x − h)² + (y − k)² = r²
Centro en el origen: x² + y² = r²
(h, k) es el centro y r el radio. Si un punto da (x − h)² + (y − k)² menor que r², está dentro; si da mayor, está fuera.
Ejemplo · (x − 4)² + (y + 9)² = 81 tiene centro (4, −9) y radio √81 = 9, porque (y + 9) es (y − (−9)).
Ojo · Copiar el centro con el mismo signo que ves en el paréntesis, o leer el lado derecho como r cuando es r². Truco: el centro es el punto que hace cero cada paréntesis.
Ecuación desde un centro y un punto, o desde un diámetro
Con el centro y un punto de la circunferencia, r² sale de sustituir ese punto.
Ya tienes h y k y solo falta r². Como el punto está en la circunferencia, sustituirlo en la ecuación da r² directamente, sin sacar raíz. Si te dan los extremos de un diámetro, el centro es su punto medio, porque es el único punto que está a la misma distancia de ambos, y luego mides la distancia a uno de los extremos.
Ejemplo · Centro (2, 3) y punto (7, 6): r² = 5² + 3² = 34, así que (x − 2)² + (y − 3)² = 34. Diámetro de (−6, 9) a (4, −5): centro (−1, 2), r² = 25 + 49 = 74.
Ojo · Sacar la raíz de más. La ecuación pide r², que ya tienes; solo hace falta la raíz si quieres la medida del radio para graficar. Comprobar con el otro extremo del diámetro debe dar el mismo r².
Graficar una circunferencia
Marca el centro, mide un radio hacia cada lado y une los cuatro puntos con curvas.
El método de los cuatro radios: ubica el centro, avanza r a la derecha, a la izquierda, hacia arriba y hacia abajo, marca esos cuatro puntos y únelos con curvas redondas. Para leer el radio de una gráfica sin regla, busca un punto de la circunferencia que esté a la misma altura que el centro y resta las coordenadas x.
C(h, k) → (h ± r, k) y (h, k ± r)
Ejemplo · (x − 2)² + (y + 3)² = 25: centro (2, −3), r = 5. Los cuatro puntos son (7, −3), (−3, −3), (2, 2) y (2, −8).
Ojo · Olvidar sacar la raíz antes de medir. Con r² = 25 los puntos están a 5 unidades del centro, no a 25.
Ecuación general
Ecuación general de la circunferencia
x² + y² + Dx + Ey + F = 0, con coeficientes 1 en x² y en y².
Es la misma circunferencia con los binomios desarrollados y todo igualado a cero. Esconde el centro y el radio, pero es como suelen aparecer las ecuaciones en problemas y en software, y sirve para comparar con las otras cónicas en el Módulo 2. Para pasar de la ordinaria a la general se desarrollan los cuadrados y se juntan las constantes.
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
D = −2h · E = −2k · F = h² + k² − r²
Ojo · Olvidar pasar el r² al lado izquierdo con signo cambiado al igualar a cero.
Centro y radio desde la forma general
C = (−D/2, −E/2) y r = ½√(D² + E² − 4F).
Salen de despejar: como D = −2h, entonces h = −D/2, y lo mismo con E y k. La otra ruta es completar el trinomio cuadrado perfecto: agrupas los términos de x y de y, sumas (coeficiente/2)² de cada uno en los dos lados y factorizas. Una ecuación es una balanza: lo que agregas de un lado, lo agregas del otro.
C(h, k) = (−D/2 , −E/2)
r = ½ √(D² + E² − 4F)
Solo valen si los coeficientes de x² y de y² son 1; si no, divide toda la ecuación primero.
Ejemplo · x² + y² + 12x − 8y + 16 = 0: D = 12, E = −8, F = 16, así que C = (−6, 4) y r = ½√(144 + 64 − 64) = 6. Completando cuadrados, x² + y² + 6x − 14y + 6 = 0 da (x + 3)² + (y − 7)² = 52.
Ojo · Sumar el número para completar el cuadrado solo en el lado izquierdo, o usar las fórmulas cuando x² y y² tienen coeficiente distinto de 1. En 2x² + 2y² − 8x + 4y − 8 = 0 hay que dividir entre 2 antes de leer D, E y F.
¿Circunferencia, punto o conjunto vacío?
Al completar cuadrados, el signo de r² decide qué representa la ecuación.
El lado izquierdo es una suma de cuadrados y nunca es negativo. Si r² es positivo, es una circunferencia; si es cero, ambos cuadrados valen cero y solo cumple el centro, así que es un punto; si es negativo, ningún punto real la cumple y el conjunto es vacío.
r² > 0 → circunferencia
r² = 0 → un punto
r² < 0 → conjunto vacío
Ejemplo · x² + y² − 4x + 6y + 13 = 0 da (x − 2)² + (y + 3)² = 0, un solo punto (2, −3).
Ojo · Dar centro y radio a una ecuación con r² ≤ 0 sin revisar antes su signo.
Circunferencia por tres puntos
Se sustituyen los tres puntos en la forma general y se resuelve un sistema de 3 × 3.
Por tres puntos no colineales pasa una y solo una circunferencia. Cada punto da una ecuación en D, E y F; se eliminan variables y se despejan. Si los puntos están sobre una recta no hay circunferencia, porque una recta corta a una circunferencia en máximo dos puntos.
x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F = 0 (una por cada punto)
Ejemplo · Con A(−3, −2), B(2, 4) y C(6, 2) sale 17x² + 17y² − 67x + 36y − 350 = 0. Comprobación con B: 17(4 + 16) − 134 + 144 − 350 = 0.
Ojo · Un error de signo en cualquiera de las tres ecuaciones cambia toda la respuesta, así que conviene comprobar el resultado sustituyendo uno de los puntos.
Si solo te llevas esto
Ordinaria: (x − h)² + (y − k)² = r². El centro es (h, k) con el signo contrario al que ves; el lado derecho es r², no r.
General: x² + y² + Dx + Ey + F = 0. El centro es (−D/2, −E/2) y r = ½√(D² + E² − 4F), solo con coeficientes 1 en x² y y².
Si r² es positivo hay circunferencia, si es cero un punto y si es negativo, nada.
Para completar cuadrados, lo que sumas de un lado lo sumas del otro.
Compruébate
Sin puntaje y sin prisa: responde y mira la explicación. Equivocarte aquí es más barato que equivocarte en el examen.
¿Cuáles son el centro y el radio de (x + 5)² + (y − 2)² = 16?
Por qué · La forma es (x − h), así que (x + 5) es (x − (−5)) y h = −5; (y − 2) da k = 2. Truco: el centro es el punto que hace cero cada paréntesis. El lado derecho es r² = 16, por eso r = 4.
¿Qué representa x² + y² − 4x + 6y + 13 = 0?
Por qué · Completando cuadrados queda (x − 2)² + (y + 3)² = −13 + 4 + 9 = 0. Con r² = 0 ambos cuadrados deben ser cero, y eso solo pasa en el centro. Mismo centro que una circunferencia, pero de radio cero.
Por qué · Una ecuación es una balanza: lo que agregas de un lado lo agregas del otro. Queda (x − 3)² + (y + 2)² = 16, de centro (3, −2) y r = 4. El 9 sale de (−6/2)² y el 4 de (4/2)².