Definición y elementos de la elipse, su ecuación ordinaria con centro en el origen y en C(h, k), el paso entre la forma general y la ordinaria, y las aplicaciones en órbitas, túneles y litotricia.
📅 6 de octubre de 2026⏱ 1 sesión · 75 minelipsefocoselementosecuación ordinariaecuación generalcompletar cuadradosexcentricidad
Lo esencial de esta clase, sin tecnicismos y con el ejemplo que usamos en el salón: cada concepto trae la idea en una frase, la explicación larga, la fórmula tal como se escribe y el error que más se cobra en el examen.
Tema 6 · Sesión 1
Conceptos de La elipse explicados como si tuvieras 15 años
6 conceptos · 3 bloques
Los planetas no giran en círculos: Kepler descubrió que cada órbita es una elipse y que el Sol no está en el centro, sino en uno de sus dos focos. Por eso la distancia a la Tierra cambia a lo largo del año. Una elipse es lo que dibujas si clavas dos chinchetas, atas un hilo a ambas y lo vas tensando con un lápiz: la suma de las dos distancias a las chinchetas nunca cambia. La clase convierte esa idea en datos que se leen de una ecuación (centro, vértices, focos) y enseña a pasar de la forma general a la ordinaria completando cuadrados.
Definición y elementos
Elipse
El conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante.
Es el truco del hilo y las dos chinchetas: las chinchetas son los focos y el hilo fija la suma. Si mueves el lápiz, una distancia crece y la otra disminuye, pero juntas valen siempre lo mismo. Esa suma constante es igual a 2a, la longitud del eje mayor.
d₁ + d₂ = 2a
d₁ y d₂ son las distancias de un punto P de la elipse a cada foco, y a es el semieje mayor.
Ejemplo · Si la suma constante es 10 y d₁ = 6.5, entonces d₂ = 3.5. En el vértice (5, 0) con focos en (±4, 0): 9 + 1 = 10.
Ojo · Pensar que el foco está en el centro, como en la circunferencia. En la elipse hay dos focos, a los lados del centro y sobre el eje mayor.
Elementos de la elipse
Centro, vértices, covértices, focos, lado recto y excentricidad.
El eje mayor (2a) une los vértices y el eje menor (2b), los covértices; se cruzan en el centro y son perpendiculares. Los focos están sobre el eje mayor, a distancia c del centro. El lado recto es la cuerda que pasa por un foco perpendicular al eje mayor, y la excentricidad dice qué tan aplastada está la elipse.
c² = a² − b²
LR = 2b²/a
e = c/a
Siempre a > b. La excentricidad cumple 0 < e < 1: cerca de 0 parece un círculo y cerca de 1 está muy aplastada.
Ejemplo · Con a = 5 y b = 3: c² = 25 − 9 = 16, c = 4, LR = 18/5 = 3.6 y e = 4/5 = 0.8.
Ojo · Sumar en vez de restar: c² = a² + b² pondría el foco fuera de la elipse. En la elipse se resta; la suma es de la hipérbola.
Ecuación ordinaria
Ecuación ordinaria de la elipse
(x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 si es horizontal; con a² y b² intercambiados si es vertical.
La regla de oro: el denominador mayor es a², y donde esté a² está el eje mayor. Si el mayor queda bajo x, la elipse es horizontal; si queda bajo y, vertical. El centro es (h, k), con el signo contrario al que ves en los paréntesis. Con centro en el origen se simplifica a x²/a² + y²/b² = 1.
Vértices a distancia a del centro, covértices a distancia b y focos a distancia c, todos sobre su eje correspondiente.
Ejemplo · (x − 1)²/49 + (y + 3)²/9 = 1 es horizontal, con centro (1, −3), a = 7 y b = 3.
Ojo · Decidir que a es el número bajo la x. Nada de eso: a siempre es el mayor, esté bajo la letra que esté. Y en (x + 2)² el centro tiene h = −2, no 2.
Ecuación desde datos del problema
Con el centro, un extremo de un eje y la longitud del otro, a es el mayor de los dos semiejes.
Calcula la distancia del centro al extremo dado (un semieje), divide entre 2 la longitud del otro eje (el otro semieje) y compara: el mayor es a. Cuidado: el punto dado puede ser un covértice, no un vértice. Si te dan los focos, el centro es su punto medio y c es la mitad de la distancia entre ellos.
b² = a² − c²
Ejemplo · Focos (−1, 2) y (7, 2) y eje mayor 10: centro (3, 2), c = 4, a = 5, b² = 25 − 16 = 9, así que (x − 3)²/25 + (y − 2)²/9 = 1.
Ojo · Poner el cuadrado de cada semieje bajo la letra equivocada. Lo que va bajo (x − h)² es el cuadrado del semieje horizontal, y bajo (y − k)², el del vertical.
Ecuación general
Ecuación general de la elipse
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0, con A ≠ C y del mismo signo.
Es lo que sale al desarrollar los binomios de la forma ordinaria. Si A = C es una circunferencia, y si tienen signos distintos es una hipérbola. Para leer el centro y los ejes hay que volver a la forma ordinaria completando cuadrados.
Ojo · Esperar que cualquier ecuación con x² y y² sea una elipse. Revisa que los coeficientes tengan el mismo signo y sean distintos.
De la general a la ordinaria
Agrupa, factoriza, completa cuadrados y divide para obtener 1.
Agrupa las x y las y, saca como factor común el coeficiente de x² y de y², y completa cuadrados en cada paréntesis. Lo que sumas dentro del paréntesis lo sumas del otro lado multiplicado por el factor. Al final divides entre el número de la derecha para que quede 1.
Ejemplo · Aquí 12 > 8 y está bajo y, así que es vertical, con centro (−1, 2) y eje mayor 2√12 = 4√3 ≈ 6.93.
Ojo · Sumar solo el 1 del lado derecho en 3(x² + 2x + 1): como el 1 está multiplicado por 3, en realidad sumaste 3. La balanza debe quedar equilibrada.
Si solo te llevas esto
Elipse: d₁ + d₂ = 2a. Siempre a > b, y los vértices y focos están sobre el eje mayor.
c² = a² − b² (se resta). LR = 2b²/a y e = c/a, con 0 < e < 1.
El denominador mayor es a²: si está bajo x la elipse es horizontal, si está bajo y es vertical. El centro es (h, k) con el signo contrario.
General → ordinaria: completar cuadrados y dividir para obtener 1; lo que sumas de un lado lo sumas del otro, multiplicado por el factor.
Compruébate
Sin puntaje y sin prisa: responde y mira la explicación. Equivocarte aquí es más barato que equivocarte en el examen.
¿Es horizontal o vertical (x − 3)²/7 + (y + 5)²/11 = 1, y cuál es su centro?
Por qué · El denominador mayor (11) está bajo (y + 5)², así que el eje mayor es vertical. El centro es el punto que hace cero cada paréntesis: x = 3 y y = −5.
Con a = 5 y b = 3, ¿dónde están los focos de la elipse horizontal con centro en el origen?
Por qué · En la elipse c² = a² − b² = 25 − 9 = 16, así que c = 4. Sumar daría 34, un foco fuera de la elipse, lo cual es imposible. Los puntos (±5, 0) son los vértices.
Por qué · Dentro del paréntesis sumaste 1, pero ese 1 está multiplicado por el factor 3, así que a la ecuación entró 3(1) = 3. Del otro lado debe ir 13 + 3.