Funciones

Función

Una regla que a cada entrada le asigna exactamente una salida.

Piénsala como un taxímetro: le metes los kilómetros y te da un precio. Lo que la vuelve función es la palabra exactamente. Si le metes el mismo viaje dos veces, tiene que darte el mismo precio las dos veces. Una app donde el mismo trayecto a veces cuesta 80 y a veces 200 pesos sin razón no es una función, y por eso nadie la usaría.

Se lee "f de x". x es lo que entra, f(x) es lo que sale.

Ojo · Que dos entradas distintas den la misma salida sí está permitido: dos personas pueden pagar lo mismo por viajes distintos. Lo prohibido es que una misma entrada dé dos salidas.

Dominio y rango

El dominio es todo lo que puede entrar; el rango, todo lo que llega a salir.

El dominio es la lista de valores que la máquina acepta sin quejarse. Si le pides a √x que procese un número negativo, se niega: ese número está fuera del dominio. El rango es la lista de resultados que realmente produce. No son lo mismo y casi siempre se preguntan juntos.

Ejemplo · En f(x) = √x el dominio son los números mayores o iguales a cero, y el rango también.

Variable independiente y dependiente

x la eliges tú; f(x) la decide la regla.

A x se le llama variable independiente porque tú le pones el valor que quieras (dentro del dominio). A f(x) se le llama dependiente porque su valor ya no lo decides tú: lo decide la fórmula. Todo el tema se resume en la pregunta "¿de qué depende esto?".

Prueba de la recta vertical

Si una línea vertical corta la gráfica dos veces, no es función.

Es la forma visual de comprobar la regla del "exactamente uno". Pasas una recta vertical imaginaria por toda la gráfica: si en algún lugar toca la curva dos o más veces, ese valor de x tendría dos salidas y la curva no es función. Un círculo falla la prueba; una onda, por más que suba y baje, la pasa.

Ojo · Hay que barrer toda la gráfica, no solo la parte que se ve normal. El error clásico es revisar el centro, verlo bien y concluir.

Las cuatro representaciones

La misma función se puede escribir con palabras, tabla, gráfica o fórmula.

Son cuatro idiomas para lo mismo, y ninguno es "el bueno". La frase se entiende sin matemáticas pero no calcula nada; la tabla es exacta pero incompleta; la gráfica muestra la tendencia pero no valores precisos; la fórmula predice cualquier valor pero no se ve. Un profesional usa las cuatro y traduce entre ellas.

Ejemplo · "Cobran 350 fijos más 50 por giga extra" es lo mismo que C = 350 + 50G, que la tabla de costos, que la recta en el plano.

Evaluar

Sustituir un valor en la fórmula y hacer la cuenta.

Evaluar es lo más mecánico del tema y por eso conviene tenerlo automático: donde dice x, pones el número, y calculas. La única trampa es sustituir con paréntesis cuando el valor es negativo.

Función lineal

y = mx + b: una recta, donde m es la inclinación y b dónde arranca.

m es la pendiente: cuánto sube y por cada 1 que avanza x. En el taxi, m es lo que cobran por kilómetro. b es la intersección con el eje y: el valor cuando x = 0, o sea el banderazo. Con esos dos números la recta queda completamente determinada.

Si conoces un punto y la pendiente en vez de la intersección, usa la forma punto-pendiente: y − y₁ = m(x − x₁).

Ejemplo · Un plan cobra 200 al mes más un cargo por juego rentado, y quien renta 7 paga 725. Entonces b = 200, m = (725 − 200)/7 = 75, y la función es C = 200 + 75v.

Función potencia

y = k·xᵃ: una sola forma que genera tres familias según el exponente.

Cuando a es un entero positivo tienes las parábolas y sus hermanas mayores. Cuando a = 1/n tienes las raíces, que se cortan de golpe porque no aceptan negativos. Cuando a ≤ −1 tienes las recíprocas, que se acercan a los ejes sin tocarlos nunca.

Potencia: a = n entero positivo · Raíz: a = 1/n · Recíproca: a ≤ −1.

Ejemplo · La batería de tu celular se modela con B(t) = 100·t^(−0.5): se desgasta rápido al principio y luego más lento. A las 3.5 horas queda B(3.5) ≈ 53.45 %.

Función polinomial

Sumas de potencias enteras de x; el grado es el exponente más grande.

El grado te dice cuánto puede complicarse la curva: un polinomio de grado n tiene a lo más n raíces reales y a lo más n − 1 vueltas. La palabra clave es "a lo más": x³ tiene grado 3 y cero vueltas, y x² + 1 tiene grado 2 y ninguna raíz real porque nunca cruza el eje.

Ojo · "El número de raíces es igual al grado" solo es cierto contando multiplicidad y raíces complejas. En prepa la versión honesta es "a lo más n raíces reales".

Función exponencial

y = a^x: crecer multiplicando, no sumando.

En una función lineal cada paso suma siempre la misma cantidad. En una exponencial cada paso multiplica por el mismo factor a. Por eso arranca aburrida y de pronto se dispara: el crecimiento no depende del paso, depende de cuánto llevas acumulado.

a es el factor de cambio. Si a > 1 crece; si 0 < a < 1 decrece.

Ejemplo · Para saber si una tabla es exponencial, divide cada valor entre el anterior: 200/100, 400/200, 800/400 dan siempre 2. En una lineal lo constante es la resta; aquí es la división.

Número e

e ≈ 2.71828, la base del crecimiento continuo.

Aparece cuando algo no crece a saltos sino todo el tiempo. Se usa como base por defecto en cálculo porque es la única exponencial que crece exactamente al ritmo de su propio tamaño, y eso deja las cuentas limpias más adelante.

Ejemplo de crecimiento continuo al 5 % mensual partiendo de un solo caso.

Función inversa

La función que deshace lo que hizo la otra.

Si una función convierte 3 en 8, su inversa convierte 8 en 3. Para encontrarla despejas x en función de y y luego intercambias los nombres. En la gráfica, la inversa es la original reflejada respecto a la recta y = x: es un espejo, no una curva nueva.

Ejemplo · 2ˣ y log₂x, x² y √x, 2x + 3 y (x − 3)/2 son parejas de inversas.

Logaritmo

La inversa de la exponencial: te dice qué exponente se usó.

Si la exponencial pregunta "¿cuánto da 2 elevado a 3?", el logaritmo pregunta al revés: "¿a qué potencia elevé 2 para llegar a 8?". Por eso existe: es la única herramienta que baja una incógnita del exponente al suelo, donde sí la puedes despejar.

El logaritmo natural, ln, es el de base e: si y = eˣ, entonces x = ln y.

Propiedades del logaritmo

Convierten multiplicaciones en sumas y bajan exponentes.

Estas tres son las que se usan de verdad, y todas existen por la misma razón: despejar variables atrapadas en un exponente. Todo lo demás son consecuencias.

También: log(10^A) = A, 10^(log A) = A, log 10 = 1, log 1 = 0. Con ln es idéntico cambiando 10 por e.

Ojo · log(A + B) NO es log A + log B. La suma vive dentro del producto, no al revés. Compruébalo con A = 10 y B = 10 y vas a ver que no cuadra.

Transformaciones

Mover, estirar y reflejar una curva sin cambiar su familia.

Cualquier gráfica del catálogo se puede desplazar, estirar o voltear cambiando muy poco la fórmula. Vale la pena memorizar la tabla: es literalmente la hoja de fórmulas que vas a querer en el examen.

Ojo · f(x − 3) mueve la curva a la DERECHA, aunque diga menos. La razón: para que dentro del paréntesis quede cero, x tiene que valer 3 más que antes.