Logaritmos y exponenciales

Logaritmo

Un cazador de exponentes: te dice a qué potencia elevaste la base.

2ˣ = 8 y log₂(8) = x dicen exactamente lo mismo. La primera pregunta cuánto vale la potencia; la segunda pregunta qué exponente se usó. Traducir entre las dos formas de forma automática elimina el 80 % de los errores con logaritmos.

a es la base (positiva y distinta de 1), b el argumento (estrictamente positivo), c el logaritmo (cualquier número real, incluido negativo).

Ejemplo · La regla del dedo: la base se queda de base, el resultado c sube a exponente y el argumento b se queda solo del otro lado.

Por qué log(0) y log(−5) no existen

Porque ninguna potencia de una base positiva da cero ni un negativo.

log(−5) pregunta "¿a qué potencia elevo 10 para obtener −5?", y no hay ninguna: 10 elevado a lo que sea siempre sale positivo. log(0) pregunta por un exponente que dé cero exacto, y por más negativo que lo hagas siempre te queda algo: log(0.001) = −3, log(0.000001) = −6, y así sin fondo.

Ojo · log(0.2) SÍ existe y vale aproximadamente −0.699. Resultado negativo está permitido; lo prohibido es el argumento negativo o cero.

Dominio y rango

Están intercambiados entre logaritmo y exponencial, porque son inversas.

El logaritmo solo acepta entradas positivas pero puede devolver cualquier número. La exponencial acepta cualquier entrada pero solo devuelve positivos. Ese intercambio es la firma de dos funciones inversas, y se ve en la gráfica: una pasa por (0, 1) y la otra por (1, 0), con las coordenadas volteadas.

Las tres bases que vas a ver siempre

base 10 (log), base 2 (log₂) y base e (ln).

log sin subíndice casi siempre es base 10, y es la de Richter, el pH, los decibeles y la notación científica. log₂ cuenta cuántas veces puedes duplicar o partir a la mitad. ln es el logaritmo natural, base e ≈ 2.71828, y es el que vive en todo lo que crece o decae de forma continua y en todo el cálculo diferencial.

Ojo · Tu calculadora solo trae log y ln. Para cualquier otra base necesitas el cambio de base.

El número e

e ≈ 2.71828: el techo al que llega el interés compuesto cuando se paga todo el tiempo.

Un banco te ofrece 100 % anual sobre un peso. Si te paga una vez al año terminas con 2. Si te paga cada mes, con 2.61. Cada vez más seguido, más ganas, pero no infinitamente: el total se estanca en 2.718281828… Ese número es e, y nadie lo inventó: apareció solo.

Ejemplo · Se llama natural porque eˣ es la única exponencial que crece exactamente al ritmo de su propio tamaño. Con cualquier otra base arrastras un factor de conversión ln(a); con e ese factor vale 1 y desaparece.

Ley del producto

Multiplicar por dentro es sumar por fuera.

Es para lo que se inventó el logaritmo en 1614: convertir multiplicaciones difíciles en sumas fáciles. Míralo con números redondos: 100 × 1000 = 100 000 del lado de los números, y 2 + 3 = 5 del lado de los logaritmos.

Sale de las leyes de exponentes: si M = aᵖ y N = aᵠ, entonces M·N = a^(p+q).

Ley del cociente

Dividir por dentro es restar por fuera.

Es la misma ley del producto con el signo cambiado, y sale del mismo lugar: aᵖ/aᵠ = a^(p−q).

Ley de la potencia

Un exponente dentro del logaritmo baja como factor. Es la más útil de las tres.

Esta es la que te deja despejar: convierte un exponente, que no puedes mover, en un factor que sí puedes dividir. Cada vez que tengas la incógnita arriba, esta es la ley que la baja.

Ejemplo · Leída al revés también sirve: 2·ln(x) = ln(x²), y medio logaritmo es una raíz, porque ½·ln(320) = ln(√320).

Cambio de base

Cualquier logaritmo se calcula con log o ln: el de adentro arriba, el de abajo abajo.

Tu calculadora no tiene tecla de base 7, pero no la necesita. Le pones nombre a lo que buscas, pasas a forma exponencial, aplicas ln a los dos lados, bajas el exponente con la ley de la potencia y despejas. El resultado es siempre la misma fracción.

Ojo · ln(8)/ln(2) NO es ln(4). Un cociente de logaritmos es un cambio de base, no el logaritmo de un cociente. ln8/ln2 = 3 exacto, mientras que ln4 ≈ 1.386.

Cómo se cancelan ln y e

No es magia: una función deshace lo que hizo la otra.

ln(e⁵) pregunta "¿a qué potencia elevo e para obtener e⁵?", y la respuesta está escrita ahí mismo. e^(ln 7) es elevar e al exponente que por definición da 7. Esa es exactamente la maniobra que usarás para despejar: aplicar la inversa a los dos lados.

La pregunta que va antes de todo

¿Dónde está la x: en el exponente, dentro del log, o en la base?

Si está en el exponente (3ˣ = 20), aplicas logaritmo a los dos lados y la bajas con la ley de la potencia. Si está dentro de un log (log₂ x = 5), elevas la base a los dos lados para liberarla. Si está en la base (x⁵ = 32), sacas raíz: aquí los logaritmos no pintan nada.

Ojo · Confundir x⁵ = 32 con 5ˣ = 32 es el error más común. El primero da 2 (raíz quinta); el segundo da ln32/ln5 ≈ 2.153. Se parecen en el papel y no tienen nada que ver.

Aislar antes de atacar

Primero deja sola la parte exponencial o logarítmica; después aplica el logaritmo.

En 5·2ˣ + 3 = 83 no puedes aplicar ln de entrada: te queda ln(5·2ˣ + 3) y no existe ninguna ley que abra eso, porque el logaritmo no reparte sobre sumas. Primero restas y divides hasta llegar a 2ˣ = 16, y ahí sí atacas.

Ejemplo · Y cuando la base se puede igualar, ni siquiera necesitas calculadora: 16 = 2⁴, así que 2ˣ = 2⁴ y x = 4.

Filtrar por dominio

El último paso: descartar cualquier solución que meta un número ≤ 0 dentro de un log.

Al compactar logaritmos y resolver la ecuación algebraica pueden aparecer raíces que no sirven en la ecuación original. Se llaman soluciones extrañas y hay que descartarlas por escrito, no tacharlas: explicar por qué se descartan también se califica.

Ejemplo · log₃(x) + log₃(x − 2) = 1 lleva a x² − 2x − 3 = 0, con raíces 3 y −1. La −1 se descarta porque log₃(−1) no existe. La solución es x = 3.

Acotar antes de calcular

Estima entre qué dos enteros debe caer la respuesta y compárala con lo que da la calculadora.

Para 3ˣ = 20: como 3² = 9 y 3³ = 27, la respuesta tiene que estar entre 2 y 3, más cerca de 3. Si la calculadora te devuelve otra cosa, apretaste algo mal. Es el filtro más barato que existe contra errores de dedo.

Cuadrática disfrazada

Si ves e^(2x), es (eˣ)²: dale nombre a lo que se repite.

e^(2x) − 5eˣ + 6 = 0 parece exótico y es una cuadrática común. Llamas u = eˣ y te queda u² − 5u + 6 = 0, factorizas, y regresas a x con logaritmos. Dar nombre a lo que se repite es de las técnicas más poderosas del álgebra.

Ejemplo · u = 2 y u = 3, así que x = ln 2 ≈ 0.693 y x = ln 3 ≈ 1.099. Si hubiera salido u negativa se descarta: una exponencial nunca da negativo.

Escalas logarítmicas

Cuando algo varía por factores de millones, el logaritmo lo comprime para que quepa.

Richter, pH, decibeles, magnitud estelar y la escala musical son todas logarítmicas. Un sismo de 8 no es un poco peor que uno de 7: tiene diez veces más amplitud y libera unas 32 veces más energía. Un refresco de pH 3 es diez mil veces más ácido que el agua de pH 7. Tus audífonos a 100 dB son cien veces más intensos que a 80 dB.

Ejemplo · Una octava musical es duplicar la frecuencia, y tu oído la percibe como un paso igual: tu oído ya sabía logaritmos antes de que te los enseñaran.

Tiempo de duplicación

Cuánto tarda algo en volverse el doble, y no depende de cuánto tengas.

Con capitalización continua, 2P = P·e^(rt). El capital inicial se cancela, así que el tiempo de duplicación es el mismo si inviertes cien pesos o un millón. Al 8 % anual son 8.66 años; y cuadruplicar toma exactamente el doble, 17.32 años, porque ln 4 = 2·ln 2.

Ojo · La misma matemática trabaja en tu contra: una tarjeta al 45 % anual duplica tu deuda en 69/45 ≈ 1.5 años.

Partir a la mitad

log₂ cuenta cuántas veces puedes partir algo en dos antes de quedarte con uno.

Puedo adivinar un número entre 1 y un millón en 20 preguntas, porque cada "¿es mayor que la mitad?" descarta la mitad de las opciones. Ese número de preguntas es log₂ del total. Es la diferencia entre un buscador que responde al instante y uno que tarda media hora.