Límites

Límite

El valor al que se dirige una función cuando te acercas a un punto, sin llegar a él.

Evaluar es preguntar "¿cuánto vale f exactamente aquí?" y necesita que el punto esté en el dominio. Calcular el límite es otra pregunta: "¿hacia qué valor va f cuando me acerco?", y esa se puede responder aunque la función ni siquiera exista en ese punto. El límite describe la vecindad, no el punto.

lím es la instrucción, x→5 es la condición (x se acerca a 5 sin valer 5), y el resultado es un número real.

Ojo · Escribir lím sin poner el x→a debajo es como escribir una fracción sin denominador: no dice nada. Eso cuesta puntos en el examen.

Estimar con una tabla

Te acercas por los dos lados con valores cada vez más pegados y ves a dónde apuntan.

Tomas valores por la izquierda (4.9, 4.99, 4.999) y por la derecha (5.1, 5.01, 5.001), calculas la función en cada uno y miras si los dos lados se cierran sobre el mismo número. Fíjate en que en ninguna tabla aparece el valor al que te acercas: nunca lo evalúas, y aun así respondes.

Ojo · Una tabla sugiere el límite, no lo demuestra: siempre quedan infinitos valores sin revisar entre 4.999 y 5. Evidencia numérica no es lo mismo que demostración.

El caso 0/0

No es la respuesta: es el aviso de que hay que trabajar más.

Cuando sustituyes y obtienes 0/0, eso no significa que el límite no exista ni que valga cero. Significa que la sustitución directa no sirve ahí. Casi siempre se arregla factorizando, y lo que queda es un hueco en la gráfica, no un problema.

Ejemplo · En (x² − 9)/(x − 3) con x → 3 sale 0/0. Como x² − 9 = (x + 3)(x − 3), la función es igual a x + 3 en todos lados menos en x = 3, así que el límite vale 6 y hay un hueco en (3, 6).

Hueco y punto relleno

El círculo hueco marca a dónde tiende; el relleno marca cuánto vale.

Son dos preguntas distintas con dos respuestas que pueden no coincidir, y eso está perfectamente permitido. Un círculo hueco dice que la curva llega hasta ahí pero ese punto no pertenece a la función. Un círculo relleno dice que ese punto sí pertenece.

Ejemplo · Una gráfica puede tener el hueco en (1, 3) y el punto relleno en (1, 1): el límite vale 3 y la función vale 1.

El límite no depende del valor en el punto

Tres funciones distintas en x = 2 pueden tener el mismo límite en x = 2.

Si tapas con el dedo la columna del punto, las tres curvas se ven idénticas, y el límite solo mira eso: la vecindad. Una puede pasar sin novedad, otra tener un hueco y la tercera tener el punto fuera de lugar; las tres tienen el mismo límite.

Ojo · Que f(7) = 12 no obliga a que el límite valga 12, ni al revés. Cuando sí coinciden, la función es continua ahí, y eso se estudia en el Tema 5.

Límite lateral

El valor al que tiende la función acercándote solo por un lado.

El signo del exponente indica el lado por el que te acercas, no si el número es positivo o negativo. El menos significa "desde los valores más chicos" y el más "desde los valores más grandes". Dibujar la recta numérica desarma toda la confusión: el lado más siempre queda a la derecha del dibujo.

Ojo · En x → −2⁺ los valores son −1.9, −1.99, −1.999: mayores que −2 aunque sigan siendo negativos. Escribir −2.1 ahí es el error más repetido del subtema.

Teorema de existencia

El límite existe si y solo si los dos laterales existen y son iguales.

No hay negociación: si un lado da 25 y el otro 40, el límite no existe. No se promedia, no se escoge uno, no se dice "más o menos 30". Cuando los laterales difieren, la gráfica tiene un salto, y ese salto es la forma visual de "el límite no existe".

Ejemplo · El estacionamiento que cobra 25 la primera hora y 40 pasando de ahí: por la izquierda tiende a 25, por la derecha a 40, y el límite en t = 1 no existe aunque la función sí esté definida.

Funciones definidas por partes

Cada lado usa la pieza que le corresponde; ahí está toda la dificultad.

Para el lateral por la izquierda en x = 3 usas los valores 2.9, 2.99, 2.999, que son menores que 3, así que va la pieza definida para x < 3. Para el derecho, los valores mayores. Una vez elegida la pieza correcta, sustituir directo está bien hecho: cada pieza suele ser una recta.

Ejemplo · Con f(x) = x + 4 si x < 3 y 2x + 1 si x ≥ 3: por la izquierda da 7, por la derecha da 7, y el límite existe y vale 7.

Ojo · El límite por la izquierda nunca toca el punto. Usar la pieza de x ≥ 3 "porque el 3 está ahí" es un error clásico.

Límite infinito

Los valores crecen sin cota: el límite no existe, y así se describe cómo falla.

El infinito no es un número: no está en los reales, no se alcanza y no se opera. Cuando escribes que un límite es infinito, ese signo igual no está dando un valor, está describiendo un comportamiento. La forma correcta de decirlo es "el límite no existe; la función tiende a infinito".

Ojo · "El límite vale infinito" está mal dicho, y ∞ − ∞ = 0 está peor: no se le puede restar nada a algo que no es un número.

El comportamiento de 1/x

Por la derecha se dispara a +∞ y por la izquierda se desploma a −∞.

Dividir 1 entre positivos cada vez más chicos da números enormes positivos; dividirlo entre negativos cada vez más chicos da números enormes negativos. Como los dos lados van en direcciones opuestas, el límite no existe y ni siquiera se puede describir con un solo símbolo ∞.

Ejemplo · En cambio 3/(x − 1)² tiende a +∞ por los dos lados, porque el cuadrado borra el signo del denominador. Ahí sí se escribe con un solo ∞.

Asíntota

Una recta a la que la curva se acerca tanto como quieras: la distancia entre las dos tiende a cero.

La definición formal no habla de tocar ni de no tocar. Dice que la distancia entre el punto (x, f(x)) y la recta tiende a cero conforme ese punto se aleja indefinidamente sobre la curva. Un punto se puede alejar de dos maneras —porque x crece sin cota o porque f(x) se dispara al acercarse a un valor—, y de ahí salen los tres tipos: vertical (x = a), horizontal (y = L) y oblicua (y = mx + b). En este tema trabajas solo la vertical, que es la única que se resuelve con límites laterales.

P = (x, f(x)) es un punto que recorre la curva y ℓ es la recta candidata a asíntota.

Ojo · "Se acerca sin tocarla nunca" es cierto para las verticales, donde la función ni siquiera está definida ahí, pero no es la definición: una asíntota horizontal sí puede ser cruzada por la curva y seguir siendo asíntota.

Asíntota vertical

La recta x = a a la que la curva se pega sin tocarla nunca.

Basta con que uno de los dos laterales se dispare a +∞ o a −∞ para que haya asíntota vertical. Se dibuja punteada porque no es parte de la gráfica, es una guía, y la curva nunca la cruza: si la tocara, la función estaría definida ahí y no se dispararía.

Cómo detectar una asíntota vertical

Denominador cero y numerador distinto de cero. Si los dos son cero, hay que trabajar.

El denominador anulándose es condición necesaria, no suficiente. Haz siempre las dos evaluaciones antes de concluir: si el numerador no se anula, se dispara y hay asíntota; si también se anula, es el caso 0/0 y muy probablemente haya un hueco, no una asíntota.

Ejemplo · (x + 1)/(x − 3) en x = 3 tiene asíntota (numerador 4). (x² − 9)/(x − 3) en x = 3 tiene un hueco en (3, 6), porque el numerador también se anula y se cancela al factorizar.

Ojo · Ver un cero en el denominador y gritar "asíntota" cuesta ejercicios completos. Dos segundos de revisión lo evitan.

Las dos formas de no existir

Salto (los laterales difieren) o explosión (ningún lateral llega a un número real).

Distinguirlas importa porque la gráfica se ve completamente distinta y porque se responden distinto en un examen. Un salto se responde con "no existe" y los dos laterales que lo justifican. Una explosión se responde con "no existe" más la descripción del comportamiento con ±∞.