Cobertura completa del Tema 3: las ocho propiedades de los límites, la condición que apaga la del cociente, y qué hacer cuando la sustitución directa devuelve 0/0.
📅 16 de febrero de 2026⏱ 3 sesiones · 60 min c/uleyes de los límitespropiedadessustitución directaformas indeterminadas0/0factorizarracionalizar
Lo esencial de esta clase, sin tecnicismos y con el ejemplo que usamos en el salón: cada concepto trae la idea en una frase, la explicación larga, la fórmula tal como se escribe y el error que más se cobra en el examen.
Tema 3 · Sesiones 1–3
Conceptos de Leyes de los límites explicados como si tuvieras 15 años
17 conceptos · 3 bloques
En el Tema 2 calculabas un límite acercándote con una tabla de siete renglones, y al final solo podías decir "creo que da 7". Las leyes de los límites son el atajo que convierte eso en una línea de trabajo justificada: ocho propiedades que permiten repartir el límite sobre las operaciones y sustituir directo. Lo que de verdad se evalúa en este tema no es recitarlas, sino saber cuándo una de ellas se apaga — y qué hacer entonces.
Las cuatro primeras: constante, variable, suma y diferencia
La idea que sostiene las ocho leyes
Operar y después tomar el límite da lo mismo que tomar los límites y después operar.
Todas las propiedades del tema dicen lo mismo con distintas operaciones: el límite respeta la suma, la resta, el producto, el cociente, la potencia y la raíz. Por eso puedes partir una expresión grande en piezas, resolver cada pieza y volver a armar el resultado. Esa maniobra tiene nombre en ingeniería: descomposición.
Ojo · No vale para cualquier cosa. El teorema exige que el límite de cada pieza exista; si una pieza se dispara, repartir te deja con "∞ − ∞", que no significa nada.
Límite de una constante
El límite de un número solo es ese número, sin importar a dónde tiende x.
Si la función siempre entrega 4, entonces se acerca a 4 pase lo que pase con x. El punto al que tiendes no aparece en la respuesta porque no hay ninguna x donde meterlo. Gráficamente es una recta horizontal: te acerques por donde te acerques, la altura no cambia.
lím (x→a) c = c
El material la titula "múltiplo constante", pero ahí no se multiplica nada: es el límite de una función constante.
Ejemplo · lím (x→1) 4 = 4, y también lím (x→100) 4 = 4. Y sí, π cuenta como constante.
Ojo · El error número uno del tema: escribir lím (x→6) 8 = 6. Antes de responder pregúntate en voz alta "¿dónde voy a poner el 6?". Si no hay una sola x, no hay lugar donde ponerlo.
Límite de la variable x
El límite de x cuando x tiende a a es exactamente a.
La función identidad devuelve lo que le das: si le das algo cercano a 3, devuelve algo cercano a 3. Junto con la propiedad de la constante forma los dos ladrillos del tema: no se deducen de nada anterior, y todas las demás leyes se construyen a partir de ellas.
lím (x→a) x = a
Ejemplo · lím (x→3) x = 3 · lím (x→−4) x = −4
Ojo · Constante y variable se ven parecidas y dan cosas opuestas: la primera ignora a dónde vas, la segunda solo te pregunta a dónde vas.
Suma y diferencia
El límite se reparte sobre la suma y sobre la resta.
Identificas las dos piezas, tomas el límite de cada una por separado y las vuelves a unir con la misma operación. La diferencia no es una ley nueva: como restar es sumar el negativo, sale de combinar la suma con el múltiplo constante.
lím [f + g] = lím f + lím g · lím [f − g] = lím f − lím g
Ejemplo · lím (x→−2) [(x + 5) + (x² − 1)] = (−2 + 5) + [(−2)² − 1] = 3 + 3 = 6. Con resta, el mismo cálculo da 3 − 3 = 0.
Ojo · Al restar, el segundo límite regresa en bloque: escribe el corchete antes de sustituir. Sin él, 3 − [4 − 1] se vuelve 3 − 4 − 1 y el resultado pasa de 0 a −2.
Las otras cuatro: producto, cociente, potencia y raíz
El producto
El límite de un producto es el producto de los límites.
Piénsalo como el área de un rectángulo: un lado mide f(x) y el otro mide g(x). Si un lado se acomoda en 3 y el otro también, el área no tiene a dónde ir más que a 9. Un producto nunca se rompe por el valor de sus factores, y por eso esta ley no pide condiciones extra.
Ojo · Antes de calcular, subraya el símbolo que une a las dos funciones. Sumar cuando el problema pedía multiplicar es el distractor favorito de los exámenes.
El múltiplo constante (el de verdad)
Un número que multiplica puede salirse del límite.
Sale de aplicar la ley del producto cuando una de las dos funciones es una constante. Es la regla que el material anuncia con ese nombre en el apartado 3.1 pero que solo queda justificada en el 3.2.
El límite de una división es la división de los límites, solo si el de abajo no es cero.
Esta es la única de las ocho con una exigencia adicional, y es la más importante del tema. Multiplicar por algo pequeño da algo pequeño; dividir entre algo pequeño da algo enorme, y el resultado se vuelve extremadamente sensible: 1/0.1 = 10, 1/0.01 = 100, 1/0.001 = 1000.
lím f/g = (lím f) / (lím g), siempre que lím g ≠ 0
Ejemplo · lím (x→−2) (x + 5)/(x² − 1) = 3/3 = 1 sí se puede. lím (x→1) (x + 5)/(x² − 1) daría 6/0: la ley se apaga y hay que clasificar el caso.
Ojo · Cada vez que veas una fracción, evalúa el denominador en un renglón aparte antes de hacer nada más. Escribir "4/0 = 0" son dos errores en una sola línea.
La potencia
El exponente puede esperar afuera: primero el límite de la base, después la potencia.
A diferencia de la suma o el producto, esta ley no reparte nada: mueve el exponente hacia afuera del límite sin tocar lo que está dentro del paréntesis. Conviene simplificar la base antes de elevar, que además ahorra aritmética.
Ojo · Repartir el exponente sobre una suma es falso: (2 + 1)² = 9, pero 2² + 1² = 5. Comprueba cualquier atajo dudoso con números pequeños antes de confiar en él.
La raíz
La raíz también espera afuera: primero el límite del radicando, después la raíz.
Funciona igual que la potencia. Con índice impar no hay restricciones. Con índice par, el radicando no puede volverse negativo, porque ahí la función simplemente no existe en los reales y no hay curva que mirar.
lím ⁿ√f(x) = ⁿ√(lím f(x)) = ⁿ√f(a)
Ejemplo · lím (x→−2) ³√(x + 5) = ³√3, y se deja así: es el valor exacto. En cambio lím (x→1) √(x − 5) daría √(−4) y no existe en los reales.
Ojo · El último paso de la fórmula mete f(a), el valor de la función, donde veníamos hablando de su límite. Eso solo es legal cuando la función es continua ahí — el nombre técnico llega en el Tema 5.
Teorema de sustitución directa
En un polinomio (o una racional con denominador no nulo) basta sustituir el punto.
Es lo que queda al encadenar las ocho leyes sobre un polinomio cualquiera, y es el atajo que de verdad usarás el resto del módulo. Convierte "sustituir directo" de costumbre en un derecho con requisitos: cuando el requisito se cumple, sustituyes sin pedir permiso.
Si f es polinomio o racional y a está en su dominio: lím (x→a) f(x) = f(a)
Ojo · No te autoriza a sustituir cuando el denominador se anula, cuando el radicando de una raíz par se vuelve negativo, ni en el empalme de una función por trozos.
Cuando la sustitución se queda corta
El protocolo de tres pasos
Sustituye; si no sale un número, clasifica el caso; si es 0/0, transforma y vuelve a empezar.
Es el orden de trabajo para cualquier límite, y no conviene cambiarlo. Solo hay un camino que regresa al principio: el de la forma 0/0. Todos los demás terminan en una respuesta que puedes defender, incluso cuando esa respuesta es "no existe".
Ejemplo · En lím (x→3) (x² − 9)/(x − 3) el paso 1 da 0/0, el paso 2 lo clasifica como indeterminado y el paso 3 factoriza para volver al paso 1, donde ya sale 6.
La forma indeterminada 0/0
No es una respuesta: es el aviso de que la sustitución no alcanzó.
Se llama indeterminada porque la forma sola no determina nada. Tres límites con la misma cara en x = 0 dan cosas completamente distintas: 2x/x tiende a 2, x²/x tiende a 0 y x/x² ni siquiera existe. "Indeterminado" significa "la información que tengo no alcanza para decidir", no "imposible".
0/0 → factorizar, simplificar, reevaluar
Ojo · Responder 0/0, o 0, o 1, o "no existe" sin haber intentado transformar la expresión es el error que más puntos cuesta en este tema.
El caso k/0 con k ≠ 0
Numerador distinto de cero y denominador que se anula: el límite no existe como número finito.
Aquí no hay nada que factorizar, porque no hay factor común que cancelar. La fracción crece sin cota y aparece una asíntota vertical, que es justo el tema que sigue. La respuesta completa es "la ley del cociente no aplica y el límite no existe como número finito".
Ejemplo · lím (x→1) (x + 2)/(x − 1): el denominador tiende a 0 y el numerador a 3.
Ojo · Escribir "3/0" o "infinito" a secas no es una respuesta aceptable: el infinito describe cómo falla el límite, no cuánto vale.
Factorizar y cancelar
Si arriba y abajo se anulan en el mismo punto, comparten un factor: encuéntralo y cancélalo.
Cancelar no es hacer trampa. El límite solo mira valores de x distintos de a, y para todos esos valores el factor es un número distinto de cero, así que la división está definida en cada paso. Lo que cambias es la función —una tiene hueco y la otra no— pero coinciden en todos los demás puntos, y por eso tienen el mismo límite.
Ejemplo · (x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3, y el límite en 3 vale 6. La gráfica es la recta y = x + 3 con un solo punto perforado.
Ojo · Solo se cancelan factores de un producto, nunca términos de una suma. Tachar la x de arriba con la x de abajo en (x + 3)/x es el mismo error que repartir un exponente.
Racionalizar con el conjugado
Si el 0/0 trae una raíz, multiplica arriba y abajo por la misma expresión con el signo cambiado.
El conjugado convierte la resta de raíces en una diferencia de cuadrados, y la raíz desaparece del lugar que estorbaba. Multiplicar por una fracción que vale 1 no altera nada. Este tipo de límite es exactamente el que aparecerá en el Módulo 2 al definir la derivada.
Ejemplo · lím (x→0) (√(x + 4) − 2)/x se multiplica por (√(x + 4) + 2)/(√(x + 4) + 2), queda 1/(√(x + 4) + 2) y el límite vale 1/4.
Fracciones dentro de fracciones
Junta primero el piso de arriba en una sola fracción; el factor común aparece después.
Es el tercer disfraz de 0/0 y el que más falta hace en exámenes. No se arregla ni factorizando ni racionalizando de entrada: hay que sumar o restar las fracciones del numerador con denominador común y luego buscar el factor.
Ejemplo · lím (x→2) [(1/x) − (1/2)]/(x − 2): arriba queda (2 − x)/(2x) = −(x − 2)/(2x), se cancela (x − 2) y el límite vale −1/4.
Ojo · El signo. 2 − x no es x − 2: sacar el menos es justo el paso que descubre el factor común, y olvidarlo invierte la respuesta.
Hueco contra asíntota
El hueco es un bache en la carretera; la asíntota es un precipicio.
En el caso 0/0 la función sí se acerca a un número, solo que el punto exacto está perforado: hay destino, el letrero está roto. En el caso k/0 la función se dispara y no hay destino. Que f(a) no exista es irrelevante para el límite.
Ejemplo · Una función con hueco en x = 5 cuya gráfica se acerca a 12 por los dos lados tiene límite 12, aunque f(5) no exista.
Ojo · Antes de concluir "no existe", pregúntate si los valores se acercan al mismo número por ambos lados. Si la respuesta es sí, el límite existe.
Si solo te llevas esto
Las leyes dicen una sola cosa: operar y luego tomar límite da lo mismo que tomar límites y luego operar.
Si adentro del límite no hay una x, el punto al que tiende x no aparece en la respuesta.
Cada vez que veas una fracción, evalúa el denominador en un renglón aparte antes de calcular.
La potencia y la raíz no reparten nada: salen enteras del límite.
0/0 significa 'sigue trabajando'; k/0 con k ≠ 0 significa 'no existe como número finito'.
Sustituir directo es el primer intento, no la respuesta automática.
Compruébate
Sin puntaje y sin prisa: responde y mira la explicación. Equivocarte aquí es más barato que equivocarte en el examen.
Un compañero escribe lím (x→9) 5 = 9 y jura que aplicó bien la ley. ¿Qué le dirías?
Por qué · Confundir a dónde tiende x con lo que vale la función es el error más común del tema. La pregunta que lo evita es "¿dónde voy a poner el 9?": si en la expresión no hay una sola x, no hay lugar donde ponerlo y la función es constante.
Antes de aplicar la ley del cociente a lím (x→3) (x + 1)/(x − 3), ¿qué es lo primero que debes hacer?
Por qué · El denominador tiende a 0, así que la ley no aplica y no hay nada que sustituir. Como el numerador tiende a 4, este es el caso k/0: el límite no existe como número finito. Escribir "4/0 = 0" son dos errores en una línea.
Al sustituir en un límite obtienes 0/0. ¿Qué puedes concluir?
Por qué · Por eso se llama forma indeterminada: la forma sola no determina nada. En x = 0, tanto 2x/x como x²/x como x/x² dan 0/0, y valen 2, 0 y "no existe" respectivamente. Factoriza, simplifica y reevalúa antes de responder.
¿Por qué la ley del producto no necesita la condición extra que sí necesita la del cociente?
Por qué · Un producto nunca se rompe por el valor de sus factores: multiplicar por cero da cero, sin más. Un cociente sí tiene un valor prohibido abajo, y cerca de él la fracción se vuelve hipersensible: 1/0.1 = 10, pero 1/0.001 = 1000.