Cobertura completa del Tema 4: los límites al infinito y las tres reglas que se deciden comparando grados, el signo de ±∞, y la traducción gráfica de todo ello en asíntotas verticales y horizontales.
📅 2 de marzo de 2026⏱ 3 sesiones · 60 min c/ulímites al infinitoasíntotasasíntota horizontalasíntota verticalformas indeterminadas∞/∞gradosfunciones racionales
Lo esencial de esta clase, sin tecnicismos y con el ejemplo que usamos en el salón: cada concepto trae la idea en una frase, la explicación larga, la fórmula tal como se escribe y el error que más se cobra en el examen.
Tema 4 · Sesiones 1–3
Conceptos de Infinito y asíntotas explicados como si tuvieras 15 años
14 conceptos · 2 bloques
Hasta el Tema 3 siempre te acercabas a un punto: x → 3, x → −2. Aquí cambia el destino, x → ∞, y el infinito no es un punto al que se pueda llegar, así que no hay nada que sustituir. La pregunta deja de ser "¿cuánto vale ahí?" y pasa a ser "¿en qué se estabiliza a la larga?". La buena noticia es que casi todo el tema se resuelve con un solo gesto: comparar el grado de arriba con el de abajo. Y cuando ese cálculo se dibuja, sale una recta que la gráfica persigue sin alcanzar — la asíntota.
Límites al infinito: la idea y las tres reglas
Límite al infinito
Hacia qué valor se estabiliza f(x) cuando x crece (o decrece) sin parar.
Es el mismo juego de siempre —describir una tendencia— pero ahora la vecindad que miras es "todo lo que está muy lejos". Como el efecto túnel de un videojuego: nadie programó lo que pasa a la velocidad de la luz, porque llegar ahí es imposible; se programó cómo se vería el mundo si la velocidad siguiera creciendo.
lím (x→∞) f(x) = L
Existe también la versión izquierda, lím (x→−∞) f(x) = L, donde x se hace cada vez más negativo. Son dos preguntas distintas y pueden dar respuestas distintas.
Ejemplo · El costo promedio de una bodega, C(x) = 500 + 8000/x, tiende a 500: repartir el costo fijo entre más pedidos ayuda cada vez menos.
Ojo · No lo confundas con el límite infinito (lím (x→3) f(x) = ∞) del Tema 2. Ahí lo que se dispara es la salida; aquí lo que se va lejos es la entrada.
∞ no es un número
Es una instrucción —«sigue creciendo»— y por eso no se puede sustituir ni operar.
Escribir f(∞) no significa nada, porque ∞ no está en el dominio de ninguna función. Cuando un límite "da ∞", eso describe cómo falla el límite (crece sin cota), no un valor que haya alcanzado. De ahí que este tema necesite reglas: como no puedes sustituir, necesitas estrategia.
Ojo · De aquí salen tres errores en cadena: ∞/∞ = 1, ∞ − ∞ = 0 y "el límite es un número muy grande". Ninguno es válido, y el tercero vale cero puntos aunque la intuición sea correcta.
Forma indeterminada ∞/∞
No es un resultado: es el aviso de que hay que transformar la expresión.
Arriba y abajo no hay "un algo": hay dos procesos creciendo, y lo que decide el resultado es cuál crece más rápido. La forma sola no guarda esa información. Es exactamente el mismo argumento que usaste con 0/0 en el Tema 3.
Ejemplo · Las tres son de la forma ∞/∞ y dan cosas distintas: 2x²/(x²+1) → 2, x/(x²+1) → 0 y x²/(x+1) → ∞.
Ojo · La tentación viene de una regla verdadera aplicada donde no va ("algo entre sí mismo es 1"). La pregunta que la desarma: ¿los dos infinitos crecen exactamente igual de rápido?
La pieza básica: c/xⁿ → 0
Una constante dividida entre algo que se hace enorme se aplasta contra cero.
Es el único hecho nuevo que hay que memorizar en todo el tema, y se comprueba en diez segundos con la calculadora: 8/10 = 0.8, 8/100 = 0.08, 8/1000000 = 0.000008. Nunca vale cero exacto, y por eso se dice que tiende a cero.
lím (x→±∞) c/xⁿ = 0 (n > 0)
Ojo · Su gemelo malvado es c/0 → ±∞, del Tema 2. Si lo enorme está abajo, la fracción se aplasta; si lo diminuto está abajo, explota. Pregúntate siempre quién está en el denominador.
Dividir entre la mayor potencia
La técnica que resuelve cualquier ∞/∞ de este tema.
Se divide cada término, arriba y abajo, entre la mayor potencia de x que aparece. Eso no cambia el valor —es multiplicar por 1 disfrazado— y convierte cada término en una constante o en algo que tiende a cero. Después ya solo sobreviven los términos de mayor grado.
Ejemplo · (3x² + 5x + 1)/(8x² − 2x + 3), dividido todo entre x², queda (3 + 5/x + 1/x²)/(8 − 2/x + 3/x²) y tiende a 3/8 = 0.375.
Regla 1 — grados iguales
Si n = m, el límite es la razón de los coeficientes principales.
Los términos de mayor potencia crecen al mismo ritmo, así que el cociente se acomoda en el cociente de sus coeficientes. Los términos menores no participan: frente a x² con x enorme, un +9 es polvo.
lím (x→±∞) (axⁿ + ⋯)/(bxⁿ + ⋯) = a/b
Ejemplo · (150x² + 7)/(50x² − 3) → 150/50 = 3
Ojo · Solo si los grados son iguales. Aplicar a/b sin comparar grados es el error más caro del tema y el distractor favorito del examen.
Regla 2 — gana el denominador
Si el grado de abajo es mayor, el límite es 0.
El denominador crece más rápido y aplasta la fracción, igual que 8/x. Al dividir entre la mayor potencia, arriba solo quedan términos que se van a cero y abajo sobrevive una constante: cero entre algo distinto de cero es cero.
lím (x→±∞) (axⁿ + ⋯)/(bxᵐ + ⋯) = 0 (m > n)
Ejemplo · (5x + 2)/(x² + 1) → 0. Con x = 1000 vale ≈ 0.005; con x = 10 000, ≈ 0.0005.
Ojo · Responder el cociente de coeficientes (por ejemplo 5) es aplicar la Regla 1 donde no toca. Primero compara grados, después calcula.
Regla 3 — gana el numerador
Si el grado de arriba es mayor, el límite se dispara: ±∞.
Al dividir entre la mayor potencia del denominador sobra una x arriba, y esa x sigue creciendo. La respuesta no es un número, y decirlo así es correcto e informativo: el límite no existe, y además sabemos cómo deja de existir.
lím (x→±∞) (axⁿ + ⋯)/(bxᵐ + ⋯) = ±∞ (n > m)
Ejemplo · (2x³ + 1)/(x² + 4) → ∞. Con x = 100 ya vale ≈ 200; con x = 1000, ≈ 2000.
Ojo · Aquí el signo es parte de la respuesta y lo deciden la paridad de la potencia que sobrevive y el signo del coeficiente: (−4x³)/(2x + 1) deja −2x², que se va a −∞.
El grado hay que calcularlo, no leerlo
Paréntesis con exponente, productos y raíces esconden el grado real.
Antes de comparar hay que desarmar la expresión. Una potencia multiplica el grado, un producto suma los grados de sus factores y una raíz cuadrada lo divide entre dos. El coeficiente principal sufre el mismo tratamiento.
Ejemplo · (3x + 2)² → grado 2 con coeficiente principal 9, no 3. (2x + 1)³ → grado 3 con coeficiente 8. √(4x² + 1) → se comporta como grado 1 con coeficiente 2.
Ojo · Con raíces, el lado importa: √(4x²+1)/(x+3) vale 2 cuando x → +∞ y −2 cuando x → −∞, porque √(x²) = |x| y el denominador cambia de signo. Es el único punto del tema donde la dirección cambia la respuesta y no solo el signo del infinito.
Asíntotas: la versión gráfica de todo lo anterior
Asíntota
La recta a la que la gráfica se acerca tanto como quieras conforme se aleja.
Una sola definición sirve para las dos familias: la distancia entre la curva y la recta tiende a cero. Lo que cambia es por dónde se hace esa aproximación — alejándose por el eje x (horizontal) o apretándose contra un valor prohibido (vertical).
Ojo · La definición NO dice "que nunca se toca". Una gráfica puede cruzar su asíntota horizontal en la zona central: 4x/(x² + 1) tiene asíntota y = 0 y pasa justo por el origen.
Asíntota vertical
La recta x = a donde la función se dispara hacia ±∞.
Basta con que uno de los dos límites laterales se vaya a ±∞; no hace falta que vayan en direcciones opuestas. En una función racional aparece donde el denominador vale cero y el numerador no, porque ahí la expresión no define ningún número.
lím (x→a⁻) f(x) = ±∞ o lím (x→a⁺) f(x) = ±∞
Ejemplo · f(x) = (2x − 1)/(x + 4) tiene asíntota vertical en x = −4: sube a +∞ por la izquierda y baja a −∞ por la derecha.
Ojo · Se escribe x = a, nunca y = a. Es una recta vertical y todos sus puntos comparten la x; escribirlo al revés cuesta el reactivo aunque la matemática esté bien.
Asíntota horizontal
La recta y = b a la que la gráfica se acuesta cuando x se va lejos.
No hay técnica nueva: es exactamente el límite al infinito que ya sabes calcular, reportado como recta. Lo único que cambia es la escritura: el límite se escribe = 2 y la asíntota, y = 2.
lím (x→∞) f(x) = b o lím (x→−∞) f(x) = b
Ejemplo · Las tres reglas, traducidas: m > n da y = 0; n = m da y = a/b; n > m significa que no hay asíntota horizontal.
Ojo · "No tiene" es una respuesta completa y correcta. Inventar una recta cuando el límite se dispara es peor que dejarlo en blanco. Como máximo puede haber dos (una por cada dirección).
El hueco que se disfraza de asíntota
Denominador cero no basta: si el numerador también se anula, hay que factorizar.
Cuando el mismo factor está arriba y abajo se cancela, y lo que queda en ese punto no es una asíntota sino un punto faltante: la función no existe ahí, pero tampoco se dispara. Se acerca tranquilamente a un valor.
(x + 1)/(x² − 1) = 1/(x − 1), con x ≠ −1
Ejemplo · El denominador se anula en x = 1 y en x = −1, pero solo x = 1 es asíntota. En x = −1 hay un hueco a la altura −0.5.
Ojo · La regla completa es: denominador cero Y numerador distinto de cero. El examen plantea este caso casi siempre con una diferencia de cuadrados, como (x − 3)/(x² − 9), donde la única asíntota es x = −3.
Describir una función racional en cuatro pasos
Factoriza y cancela, denominador a cero, compara grados, y prueba un número a cada lado.
Es el procedimiento completo del tema, y cada paso responde una pregunta distinta: qué huecos hay, dónde se rompe, hacia dónde se estabiliza y si cada rama sube o baja. Dos minutos y la función queda descrita sin graficar.
Ejemplo · (3x² − 3)/(x² + 2x − 3) = 3(x + 1)/(x + 3) con x ≠ 1: asíntota vertical en x = −3, horizontal en y = 3 y un hueco en x = 1.
Ojo · El error central de la sesión es buscar cada asíntota con la herramienta de la otra. Vertical = "¿dónde se rompe?" (denominador = 0). Horizontal = "¿qué pasa muy, muy lejos?" (x → ±∞).
Si solo te llevas esto
Antes de tocar un coeficiente, escribe n = ___ , m = ___. El grado decide la regla.
m > n → 0 · n = m → a/b · n > m → ±∞. Y en gráfica: y = 0 · y = a/b · no hay.
Asíntota vertical: denominador = 0 y numerador ≠ 0. Se escribe x = a, nunca y = a.
∞ no es un número: ∞/∞ y ∞ − ∞ son avisos de que falta transformar, no resultados.
Desarrolla ( )ᵏ, productos y raíces antes de leer el grado y el coeficiente principal.
Compruébate
Sin puntaje y sin prisa: responde y mira la explicación. Equivocarte aquí es más barato que equivocarte en el examen.
¿Cuánto vale lím (x→∞) (2x³ + 1)/(x² + 4)?
Por qué · Los grados son 3 y 2, así que no empatan y la razón de coeficientes no aplica. Al dividir entre x² queda 2x, que se dispara. Responder 2 es el error más frecuente del tema: usar la Regla 1 sin haber comparado grados.
Al intentar sustituir obtienes ∞/∞. ¿Qué puedes concluir?
Por qué · Por eso se llama forma indeterminada. Las tres funciones 2x²/(x²+1), x/(x²+1) y x²/(x+1) dan ∞/∞ y valen 2, 0 e ∞ respectivamente. La forma sola no determina nada: divide entre la mayor potencia y vuelve a mirar.
Por qué · Hay que factorizar antes de concluir: (x + 1)/[(x + 1)(x − 1)] = 1/(x − 1). El factor (x + 1) se cancela, así que en x = −1 la función solo tiene un punto faltante y se acerca a −0.5. La regla completa pide denominador cero Y numerador distinto de cero.
¿Puede la gráfica de una función cruzar su asíntota horizontal?
Por qué · La definición solo exige que la distancia tienda a cero cuando x se aleja; lo que la curva haga en el tramo del medio no está regulado. Con las verticales sí es imposible, pero por otra razón: ahí la función no está definida, y además ninguna gráfica de función corta una recta vertical dos veces.
¿Cómo se escribe la asíntota vertical de f(x) = 3/(x − 5)?
Por qué · Es una recta vertical, y todos sus puntos comparten la x. (y = 0 sí es respuesta correcta a otra pregunta: es su asíntota horizontal, porque el denominador tiene mayor grado.) Escribir y = 5 es el error de escritura que más puntos cuesta en este tema.