Continuidad

Función continua

f es continua en x = a si se cumplen tres condiciones a la vez.

Las tres son: f(a) existe, el límite cuando x tiende a a existe, y ambos valores son iguales. Si cualquiera de las tres falla, f es discontinua en a. Revisar solo la tercera ya revisa las otras dos, porque una igualdad no tiene sentido si alguno de sus dos lados no existe.

Esta única línea (Stewart) resume las tres condiciones siempre que f esté definida en un intervalo abierto que contenga a a.

Ojo · Sacar 0/0 al evaluar f(a) no es "un número distinto de f(a)": es que f(a) no existe. Eso hace fallar la condición 1, no la 3.

La prueba del lápiz

Idea intuitiva: continua es lo que se dibuja sin levantar el lápiz.

Sirve para ver de un vistazo si una gráfica tiene huecos, saltos o se va al infinito, pero solo funciona cuando ya tienes la gráfica. Si solo tienes la fórmula, necesitas la definición formal con límites para decidir.

El estacionamiento y la función escalonada

Cobra $20 por hora o fracción: un ejemplo vivo de discontinuidad por salto.

En t = 1 hora la gráfica brinca de $20 a $40 sin pasar por los valores intermedios. El mismo ejemplo ya se usó para los límites laterales en el Tema 2, y aquí regresa como el caso más intuitivo de "hay que levantar el lápiz".

Ejemplo · Una hora exacta cuesta $20; una hora y un minuto cuesta $40. No hay ningún tiempo que cueste, por ejemplo, $30.

Discontinuidad removible

El límite sí existe; solo falla que f(a) coincida con él (o no exista).

El problema vive en un solo punto: basta con definir o redefinir f(a) igual al valor del límite para que la función quede continua ahí. Aparece como un hueco en la gráfica, o como un hueco con un punto fuera de lugar.

Ejemplo · f(x) = (x² − 4)/(x − 2) no está definida en x = 2 (sale 0/0), pero factorizando el límite vale 4. Se repara definiendo f(2) = 4.

Ojo · Ver un cero en el denominador y concluir "asíntota" sin factorizar primero. Si el factor se cancela, es un hueco removible, no una asíntota.

Discontinuidad esencial

El límite no existe: ningún valor de f(a) la arregla.

Pasa de dos formas: un salto, cuando los límites laterales existen pero son distintos (como el estacionamiento), o una explosión, cuando al menos un lateral se dispara a ±∞ (una asíntota vertical). En ambos casos la gráfica se rompe de verdad y no hay forma de "tapar el hueco".

Ejemplo · r(x) = (x + 1)/(x² − 9) es esencial en x = 3 y x = −3: el denominador se anula pero el numerador no, así que hay asíntotas verticales.

Teoremas de continuidad

Si f y g son continuas en a, también lo son f+g, f−g, cf, fg y f/g (con g(a) ≠ 0).

Junto con esto, los polinomios son continuos en todos los reales, las racionales lo son donde el denominador no se anula, y las raíces, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas lo son en todo su dominio. El uso práctico: si f es continua en a, calcular su límite ahí es solo sustituir.

Ejemplo · lím (x→5) (3x³ − 6x)/(2 − 2ˣ) se calcula sustituyendo directo porque numerador y denominador son continuos en 5 y el denominador no se anula ahí (vale −30): el resultado es −11.5, sin factorizar nada.

Ojo · Sustituir directo solo es válido si el punto está en el dominio de la función. En (x² − 4)/(x − 2) con x → 2 el denominador sí se anula, así que el teorema no aplica y hay que factorizar, como en el ejemplo removible de arriba.

Teorema del valor intermedio (TVI)

Una función continua en [a, b] toca todos los valores entre f(a) y f(b).

Formalmente: si f es continua en [a, b] y N está entre f(a) y f(b), existe al menos un c en (a, b) con f(c) = N. El teorema garantiza que c existe, no dice cuál es ni cuántos hay: puede haber varios si la función sube y baja en el camino.

Ejemplo · Si a las 6:00 h había 12 °C y a las 14:00 h, 28 °C, el TVI garantiza un instante con exactamente 20 °C entre esas dos horas, aunque no diga cuál.

Ojo · El TVI exige continuidad en todo el intervalo. Si la función tiene un salto entre a y b, puede "saltarse" el valor N por completo, como el estacionamiento que nunca cobra $30.