La razón de cambio promedio como pendiente de la recta secante, la razón de cambio instantánea como un límite (pendiente de la tangente) y cómo interpretar su signo y sus unidades.
Lo esencial de esta clase, sin tecnicismos y con el ejemplo que usamos en el salón: cada concepto trae la idea en una frase, la explicación larga, la fórmula tal como se escribe y el error que más se cobra en el examen.
5 conceptos · 2 bloques
Haces el viaje de Guadalajara a Chapala: 50 km en una hora. Tu velocidad promedio fue de 50 km/h, pero el velocímetro marcó 72 en algún momento. Esas dos cifras son las dos caras de este tema: el promedio se calcula con una división entre dos puntos; lo que marca el velocímetro justo ahora se calcula con un límite, el mismo que viste en el Módulo 1.
Cuánto cambia una cantidad por cada unidad que avanza otra: Δy/Δx.
Es la rapidez con la que ocurre un fenómeno, y no siempre implica movimiento: grados por minuto, habitantes por año, piezas por hora. Siempre es un cociente: unidades de lo que cambia entre unidades de lo que avanza.
razón de cambio = Δy / Δx
Δy es el cambio en la cantidad y Δx es el cambio en la variable de la que depende.
Ejemplo · Una batería que baja del 80 % al 72 % en una hora cambia −8 % por hora.
El cambio total entre dos puntos, dividido entre el tamaño del intervalo.
Se evalúa la función en x₁ y en x₁ + h y se divide la diferencia entre h. Gráficamente es la pendiente de la recta secante que une los dos puntos. Es la velocidad promedio cuando la función es una posición.
Δy/Δx = [f(x₁ + h) − f(x₁)] / h
Ejemplo · Con f(x) = x² entre x = 1 y x = 3: (9 − 1)/(3 − 1) = 4. La función aumenta, en promedio, 4 unidades por cada unidad que avanza x.
Ojo · Un promedio de 0 no significa que nada cambió: la función pudo subir y bajar y quedar a la misma altura en los dos extremos.
El límite de las razones promedio cuando h tiende a 0: la pendiente de la tangente.
Es lo que marca el velocímetro justo ahora. No se obtiene dividiendo entre cero: se calculan promedios en intervalos cada vez más chicos y se observa a qué valor se acercan. Ese valor límite es la pendiente de la recta tangente.
V(x₁) = lím (h→0) [f(x₁ + h) − f(x₁)] / h
Depende de x₁: en cada punto puede ser distinta, así que la razón instantánea es en sí misma una función.
Ejemplo · Con f(x) = x² en x₁ = 1: (2h + h²)/h = 2 + h, que tiende a 2 cuando h → 0.
Ojo · Sustituir h = 0 de entrada da 0/0, que no significa «no existe»: es la señal de que hay que simplificar primero, cancelar la h y después tomar el límite.
El signo dice si la cantidad sube o baja; las unidades son «y por cada x».
Positiva: la cantidad aumenta. Negativa: disminuye. El signo habla de la dirección del cambio, no del valor de la cantidad: una distancia de 13 km puede tener una razón de cambio de −4 km/min si el repartidor se está acercando.
Ejemplo · Un café que cambia a razón de −3 °C/min se está enfriando justo ahora, aunque su temperatura siga siendo positiva.
Ojo · Escribir «−6 km» en lugar de «−6 km/min»: una razón de cambio siempre lleva unidades de razón.
En una recta la inclinación es la misma en todos lados.
Si f(x) = 20 + 5x, la secante y la tangente son la misma recta, así que la razón de cambio es constante e igual a la pendiente. En una curva casi nunca coinciden.
Ejemplo · El volumen del DJ sube 5 dB/min tanto en promedio (de 1 a 2 min) como en el instante x = 1. En cambio, el repartidor de la app tiene promedio −6 km/min e instantánea −4 km/min en x = 1, porque va acelerando.
Sin puntaje y sin prisa: responde y mira la explicación. Equivocarte aquí es más barato que equivocarte en el examen.
Calculas el límite de [(1 + h)² − 1]/h cuando h → 0 y, al sustituir h = 0, te queda 0/0. ¿Qué concluyes?
Por qué · 0/0 es una forma indeterminada, no un veredicto. Al cancelar la h del denominador queda 2 + h, que sí tiene límite cuando h → 0.
La distancia de un repartidor a tu casa es de 13 km y su razón de cambio es −4 km/min. ¿Qué significa el signo negativo?
Por qué · El signo describe la dirección del cambio, no el valor de la cantidad. La distancia sigue siendo positiva (13 km), pero baja 4 km cada minuto.