Cálculo Diferencial

Separa el pago que ocurre una sola vez del que se repite.

1. La inscripción de $350 la pagas aunque lleves cero meses. Es un valor fijo: no se multiplica por nada.
2. Los $180 dependen de cuántos meses lleves. Si son x meses, pagas 180x.
3. El costo total es la suma: C(x) = 350 + 180x.

Verifícalo con un caso fácil: con 3 meses, C(3) = 350 + 540 = $890. Tiene sentido.

Dónde suele fallar la gente · Es fácil intercambiar los números y escribir 180 + 350x. Para no confundirte, pregúntate siempre cuál de los dos pagos crece cuando pasa el tiempo: ese es el que lleva la x.

Repasa: Tema 1 — Modelos lineales

El banderazo se cobra por subirte, sin importar la distancia: es el término constante.

1. Constante: 12.50
2. Variable: 6.80 por cada kilómetro → 6.80x
3. C(x) = 12.50 + 6.80x

Prueba con x = 0: el taxímetro debe marcar $12.50 apenas subes. Solo una de las opciones cumple eso.

Dónde suele fallar la gente · La opción de 19.30x suma 12.50 + 6.80 y lo multiplica todo por x. Eso te cobraría el banderazo en cada kilómetro. Truco rápido: evalúa en x = 0 y checa si el resultado es el cobro fijo.

Repasa: Tema 1 — Modelos lineales

Lee la estructura de la función antes de leer los números.

1. El 450 no está multiplicado por x, así que no cambia sin importar cuántas playeras pidas: es el cargo fijo.
2. El 95 sí multiplica a x: es lo que se suma por cada playera adicional.
3. Por eso: $450 fijos + $95 por playera.

Comprobación: 10 playeras cuestan 450 + 950 = $1,400, es decir $140 cada una. Entre más pidas, menos te sale cada playera, que es justo como funciona una imprenta.

Dónde suele fallar la gente · Aquí el error no es de cuentas, sino de lectura. Antes de contestar, ubica cuál número toca la x: ese siempre es el costo por unidad, y el otro siempre es el costo fijo.

Repasa: Tema 1 — Modelos lineales

Primero arma el modelo, luego evalúalo.

1. Modelo: C(x) = 250 + 40x
2. Sustituye x = 6: C(6) = 250 + 40(6)
3. 40(6) = 240
4. 250 + 240 = $490

Dónde suele fallar la gente · El $240 aparece cuando calculas bien los gigas extra pero se te olvida sumar la renta fija. El $1,740 sale de hacer (250 + 40) × 6, que multiplicaría la renta mensual por cada giga. Escribe siempre la función completa antes de sustituir.

Repasa: Tema 1 — Evaluación de funciones

1. Modelo: C(x) = 149 + 35x
2. C(4) = 149 + 35(4)
3. 35(4) = 140
4. 149 + 140 = $289

Dónde suele fallar la gente · $184 es 149 + 35: cobraste solo una película en vez de cuatro. $736 es (149 + 35) × 4. Cuando veas "por cada", ese número es el que se multiplica, nunca la suma completa.

Repasa: Tema 1 — Evaluación de funciones

1. Modelo: G(x) = 1200 + 18x
2. G(45) = 1200 + 18(45)
3. 18(45) = 810
4. 1200 + 810 = $2,010

Dónde suele fallar la gente · $810 ignora el sueldo base y $1,218 cuenta una sola entrega. Un buen hábito: después de sustituir, pregúntate si el resultado tiene sentido. Nadie hace 45 entregas para ganar menos que su sueldo fijo.

Repasa: Tema 1 — Evaluación de funciones

P(x) es un polinomio, y los polinomios son continuos en todo número real. Cuando eso pasa, el límite se calcula sustituyendo directamente.

1. P(9) = 80 − 4(9)
2. 4(9) = 36
3. 80 − 36 = 44

El límite responde: si te acercas al día 9, ¿a qué valor se acerca el precio? A $44.

Dónde suele fallar la gente · El 76 sale de restar 80 − 4 y olvidar el 9. El 9 sale de contestar con el valor al que tiende x en vez del valor al que tiende P(x). El límite es la altura de la curva, no la posición en el eje horizontal.

Repasa: Tema 2 — Cálculo de límites

1. Sustitución directa: h(5) = 3(5) + 7
2. 3(5) = 15
3. 15 + 7 = 22

Dónde suele fallar la gente · El 15 es 3(5) sin sumar el 7: cuidado con dejar términos a medias. Escribe la sustitución completa antes de hacer aritmética.

Repasa: Tema 2 — Cálculo de límites

1. T(12) = 25 − 0.5(12)
2. 0.5(12) = 6
3. 25 − 6 = 19

Ten cuidado con el decimal: 0.5(12) es la mitad de 12, no 0.5 menos.

Dónde suele fallar la gente · 24.5 aparece si restas 25 − 0.5 e ignoras el 12. Cuando el coeficiente es decimal, resuélvelo aparte en una línea antes de restar.

Repasa: Tema 2 — Cálculo de límites

1. Sustituye: (4)² − 3(4)
2. (4)² = 16
3. 3(4) = 12
4. 16 − 12 = 4

Dónde suele fallar la gente · El 28 sale de calcular 4² − 3 = 13 y luego multiplicar por algo, o de tratar x² − 3x como (x − 3)x mal evaluado. El exponente afecta solo a la x que lo lleva.

Repasa: Tema 2 — Cálculo de límites

La ley del producto dice que el límite de un producto es el producto de los límites, siempre que ambos existan.

1. lím (x→4) f(x) = 4 + 2 = 6
2. lím (x→4) g(x) = 3(4) = 12
3. Multiplica: 6 × 12 = 72

También puedes multiplicar primero las funciones y luego sustituir; el resultado es el mismo. Esa es precisamente la utilidad de la ley.

Dónde suele fallar la gente · El 18 es 6 + 12: aplicaste la ley de la suma cuando el problema pedía un producto. Antes de calcular, subraya el símbolo que une a las dos funciones.

Repasa: Tema 3 — Ley del producto

Ley de la suma: el límite de una suma es la suma de los límites.

1. lím (x→8) f(x) = 250(8) = 2,000
2. lím (x→8) g(x) = 30(8) = 240
3. 2,000 + 240 = 2,240

Dónde suele fallar la gente · El 280 es 250 + 30: sumaste los coeficientes y olvidaste sustituir x = 8. El 2,000 solo considera una de las dos funciones. Resuelve cada límite en su propia línea antes de combinarlos.

Repasa: Tema 3 — Ley de la suma

La ley del cociente aplica siempre que el límite del denominador no sea cero. Aquí vale 4, así que puedes usarla.

1. lím (x→3) f(x) = 3² − 1 = 8
2. lím (x→3) g(x) = 3 + 1 = 4
3. 8 ÷ 4 = 2

Dónde suele fallar la gente · El 8 y el 4 son los límites parciales: alguien que se queda a la mitad elige uno de esos. Antes de contestar, revisa que hayas terminado la operación que unía a las dos funciones.

Repasa: Tema 3 — Ley del cociente

Se combinan tres leyes: múltiplo constante, diferencia y sustitución directa.

1. lím (x→2) f(x) = 2² = 4
2. El 5 sale del límite: 5 × 4 = 20
3. lím (x→2) g(x) = 4(2) = 8
4. 20 − 8 = 12

Dónde suele fallar la gente · El 28 sale de sumar en vez de restar. Cuando la expresión tiene un signo menos, conviene escribirla como 5f(x) + (−1)g(x) para no perder el signo a mitad del procedimiento.

Repasa: Tema 3 — Múltiplo constante y diferencia

1. lím (x→2) f(x) = 2 + 5 = 7
2. lím (x→2) g(x) = 4(2) = 8
3. 7 × 8 = 56

Si prefieres, multiplica primero: (x + 5)(4x) = 4x² + 20x, y en x = 2 da 16 + 40 = 56. Mismo resultado.

Dónde suele fallar la gente · El 15 es 7 + 8 (ley equivocada) y el 28 es 4(7), que mezcla el coeficiente de g con el límite de f. Calcula cada límite por separado y solo al final combínalos.

Repasa: Tema 3 — Ley del producto

Analiza cada término por separado.

1. El 500 es constante: no importa qué tan grande sea x, sigue valiendo 500.
2. En 8000/x el denominador crece sin límite mientras el numerador se queda fijo. Prueba: con x = 1,000 da 8; con x = 1,000,000 da 0.008. Se acerca a cero.
3. Entonces: 500 + 0 = 500 pesos

Interpretación: entre más pedidos proceses, el costo fijo se reparte entre más unidades y el costo promedio se estabiliza en 500. Esa recta y = 500 es la asíntota horizontal.

Dónde suele fallar la gente · Elegir 8000 es confundir el numerador con el límite. Elegir ∞ es asumir que "algo dividido entre infinito" crece. Recuerda: una constante entre un número enorme se hace diminuta, no grande.

Repasa: Tema 4 — Límites al infinito

Cuando x → ∞, lo único que importa son los términos de mayor grado. El +9 y el −4 se vuelven insignificantes frente a x².

1. Compara los grados: arriba grado 2, abajo grado 2. Son iguales.
2. Cuando los grados coinciden, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
3. Coeficiente de arriba: 1. Coeficiente de abajo: 1.
4. 1 ÷ 1 = 1

Compruébalo: con x = 100, el cociente vale 10009/9996 ≈ 1.0013. Ya casi es 1.

Dónde suele fallar la gente · Contestar 0 es pensar que "todo se hace chiquito"; contestar ∞ es pensar que "todo se hace grande". Ninguna de las dos: arriba y abajo crecen al mismo ritmo, así que su cociente se estabiliza.

Repasa: Tema 4 — Funciones racionales al infinito

1. Grado del numerador: 2. Grado del denominador: 2. Iguales.
2. Divide los coeficientes principales: 150 ÷ 50
3. = 3

Si quieres verlo formalmente, divide todo entre x²: (150 + 7/x²) / (50 − 3/x²). Los términos con x² en el denominador tienden a cero y queda 150/50.

Dónde suele fallar la gente · Los términos +7 y −3 no se dividen entre nada ni se suman al resultado. Solo los coeficientes de mayor grado deciden el límite. Un error frecuente es intentar simplificar 7 y 3 entre sí.

Repasa: Tema 4 — Funciones racionales al infinito

1. Grado del numerador: 1. Grado del denominador: 2.
2. El denominador crece mucho más rápido que el numerador.
3. Cuando el grado de abajo es mayor, el límite es 0.

Compruébalo con x = 1,000: arriba ≈ 5,002; abajo ≈ 1,000,001. El cociente ≈ 0.005. Con x más grande, más cerca de cero.

Dónde suele fallar la gente · Contestar 5 es aplicar la regla del cociente de coeficientes cuando los grados no son iguales. Antes de dividir coeficientes, siempre compara primero los grados.

Repasa: Tema 4 — Funciones racionales al infinito

1. Grado del numerador: 3. Grado del denominador: 2.
2. El numerador crece más rápido, así que el cociente crece sin límite.
3. El límite es ∞ (no existe como número finito).

Verifícalo: con x = 100, arriba ≈ 2,000,001 y abajo ≈ 10,004, lo que da ≈ 200. Con x = 1,000 daría ≈ 2,000. No se estabiliza.

Dónde suele fallar la gente · Contestar 2 es dividir coeficientes principales sin haber comparado los grados. Los tres casos son: grado de arriba menor → 0; grados iguales → cociente de coeficientes; grado de arriba mayor → ∞. Primero compara, luego calcula.

Repasa: Tema 4 — Funciones racionales al infinito

Revisa qué pasa con el denominador.

1. En x = 3 el denominador vale 0, pero el numerador vale 1.
2. Ese es el caso "número distinto de cero entre cero": la función se dispara.
3. Acércate por la derecha (x = 3.01): 1/0.01 = 100. Más cerca, 1/0.0001 = 10,000. Crece sin límite.
4. Por la izquierda (x = 2.99): 1/(−0.01) = −100. Se dispara hacia abajo.
5. Conclusión: asíntota vertical en x = 3.

Dónde suele fallar la gente · Las asíntotas verticales se buscan donde el denominador se anula; las horizontales se buscan haciendo x → ∞. Son preguntas distintas y se resuelven en momentos distintos. Y ojo: una asíntota vertical nunca se escribe como y = algo.

Repasa: Tema 4 — Asíntotas verticales

Una función racional es continua en todo su dominio. Así que la pregunta real es: ¿dónde no está definida?

1. Iguala el denominador a cero: x − 3 = 0 → x = 3
2. En x = 3 tendrías división entre cero, así que ahí no está definida.
3. En todos los demás reales sí lo está y es continua.
4. Respuesta: continua en todos los reales excepto en x = 3.

Ojo con la trampa: sí se puede simplificar, (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3. Pero esa simplificación no rescata el punto x = 3. La función original sigue sin estar definida ahí. Lo que existe es el límite (vale 6), no el valor de la función.

Dónde suele fallar la gente · El error más común es decir "es continua en todos los reales" porque la expresión se simplifica bonito. Simplificar no cambia el dominio original. Hay un hueco en x = 3, aunque no se note al graficar rápido.

Repasa: Tema 5 — Continuidad de funciones racionales

1. Denominador igual a cero: x + 4 = 0
2. Despeja: x = −4 (no +4; cambia de signo al pasar)
3. Respuesta: continua en todos los reales excepto en x = −4.

El numerador x² − 16 se factoriza como (x − 4)(x + 4), así que hay un hueco (discontinuidad removible) en x = −4, pero sigue siendo un punto donde la función no está definida.

Dónde suele fallar la gente · Elegir x = 4 es el error de signo más frecuente del tema. El denominador x + 4 se anula en −4. Resuelve la ecuación en el papel, aunque parezca obvia.

Repasa: Tema 5 — Continuidad de funciones racionales

Para clasificar una discontinuidad, la pregunta clave es: ¿existe el límite ahí?

1. Factoriza el numerador (diferencia de cubos): x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9)
2. Factoriza el denominador (diferencia de cuadrados): x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
3. Cancela el factor común (x − 3), válido porque x ≠ 3 al calcular el límite: queda (x² + 3x + 9)/(x + 3)
4. Sustituye x = 3: (9 + 9 + 9)/6 = 27/6 = 4.5
5. El límite sí existe y vale 4.5, pero E(3) no está definida. Eso es un hueco: discontinuidad removible.
6. Se corrige definiendo E(3) = 4.5.

Dónde suele fallar la gente · Es tentador decir "esencial" solo porque el denominador se anula. Pero anularse no basta: si el mismo factor aparece arriba y abajo, se cancela y el límite existe. Factoriza siempre antes de clasificar.

Repasa: Tema 5 — Tipos de discontinuidad

1. Numerador: x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1)
2. Denominador: x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
3. Cancela (x − 1): queda (x² + x + 1)/(x + 1)
4. Sustituye x = 1: (1 + 1 + 1)/2 = 3/2
5. Como el límite existe pero f(1) no está definida, la discontinuidad es removible.

Nota que en x = −1 el factor no se cancela: ahí sí hay una discontinuidad infinita.

Dónde suele fallar la gente · Decir "no hay discontinuidad" porque la expresión simplificada se ve continua es el mismo error de siempre: la función original no está definida en x = 1. Existe el límite, no el valor.

Repasa: Tema 5 — Tipos de discontinuidad

En funciones por partes, evalúa los dos límites laterales por separado.

1. Por la izquierda (x → 3⁻) usas la primera regla: 2(3) + 1 = 7
2. Por la derecha (x → 3⁺) usas la segunda regla: 3 + 5 = 8
3. 7 ≠ 8, así que el límite no existe en x = 3.
4. Cuando ambos límites laterales existen pero son distintos, la discontinuidad es de salto.

En la gráfica verías el precio brincar de $7 a $8 justo al cumplir 3 horas.

Dónde suele fallar la gente · Una discontinuidad de salto no se puede reparar redefiniendo un punto: por más que muevas el valor en x = 3, siempre quedará un lado en 7 y el otro en 8. Solo las removibles se arreglan redefiniendo.

Repasa: Tema 5 — Tipos de discontinuidad

1. El denominador se anula en x = 2, pero el numerador vale 1.
2. No hay factor común que cancelar: el 1 de arriba no contiene (x − 2).
3. Acércate: en x = 2.01, 1/(0.0001) = 10,000. En x = 2.001, vale 1,000,000. Crece sin freno.
4. Como el límite no existe (tiende a infinito), la discontinuidad es esencial o infinita, y hay una asíntota vertical en x = 2.

Dónde suele fallar la gente · No confundas "el denominador se anula" con "es removible". Para que sea removible necesitas que el mismo factor aparezca arriba y se cancele. Aquí el numerador es una constante, así que no hay nada que cancelar. Tampoco es de salto: por ambos lados va hacia +∞, no hacia dos valores distintos.

Repasa: Tema 5 — Tipos de discontinuidad